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第八章 立体几何
第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积
第一部分 六年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010 全国卷2理）（9）已知正四棱锥
SABCD
中，
SA23
，那么当该棱 锥的体
积最大时，它的高为
（A）1 （B）
3
（C）2 （D）3
【答案】C
【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.
【解析】设底面边长为a，则高所以体积
，
设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4
时，体积最大，此时，故选C.
2.（2010陕西文） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积是
（A）2
（C）



[B]


（B）1
（D）

2

3
1

3
【答案】 B
解析：本题考查立体图形三视图及体积公式
如图，该立体图形为直三棱柱
所以其体积为

2
1
2
1
1221

2

< br>3.（2010辽宁文）（11）已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的 点，
SA平面ABC
，
ABBC
，
SAAB1
，
BC2
，则球
O
的表面积等于
（A）4

（B）3

（C）2

（D）


【答案】A
【解析 】选A.由已知，球
O
的直径为
2RSC2
，

表面积 为
4

R
2
4

.

4.（2010安徽文）（9）一个几何体的三视图如图，该几
何体的表面积是
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
【答案】B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等
于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之
和。
S2(10810282)2(6882)360
.
【方法 技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体
的组合体，画出直观 图，得出各个棱的长度.把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积
加上面长方体的4个侧面积之和。
5.（2010重庆文）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个
【答案】 D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段
OO
1
、EF、
FG、 GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
所以排除A、B、C，选D
亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、
CD的距离相等
6.（2010浙江文）（8）若某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则此几何体的体积是
352
3
cm
3
320
3
（B）cm
3
224
3
（C）cm
3
160
3
（D）cm
3
（A）
【答案】B < br>【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的
计算，属 容易题
7.（2010北京文）（8）如图，正方体
ABCD-A
1
B1
C
1
D
1
的棱长为
2，动点E、F在棱
A< br>1
B
1
上。点Q是CD的中点，动点
P在棱AD上，若EF=1，DP=x，
A
1
E=y(x,y大于零)，
则三棱锥P-EFQ的体积：
（A）与x，y都有关； （B）与x，y都无关；
（C）与x有关，与y无关； （D）与y有关，与x无关；
【答案】 C
8.（2010北京文）（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的
正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该
集合体的俯视图为：


答案：C
9.（2010北京理）(8)如图，正 方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为

2，动点E、F在棱
A
1
B
1
上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，
A
1
E=x，DQ=y ，DＰ
＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积
（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关
（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关
（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关
（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关
【答案】D
10.（2010北京理）（3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几
何体的正（主）视图与侧（左 ）视图分别如右图所示，则该几何
体的俯视图为







【答案】 C
AA


BB


CC

,
CC

⊥平面ABC 且11.（2010广东理）6.如图1，△ ABC为三角 形，
3
AA

=
3
BB

=
CC

=AB,则多面体△ABC -
A

B

C

的正视图（也称主视图）是
2

【答案】D
12.（2010广东文）

< br>13.（2010福建文）3．若一个底面是正三角形的三棱柱
的正视图如图所示,则其侧面积等 于 ( )
．．．
A．
3

C．
23

【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为




B．2
D．6

2
3
423
，侧面积为
3216
，选D． < br>4
【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基
本能力。
14.（2010全国卷1文）（12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点， 若AB=CD=2,
则四面体ABCD的体积的最大值为
(A)
234383
(B) (C)
23
(D)
333
【答案】B
【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球 的性质、异面直线的距离,通过球这
个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析 】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为
h
,则有< br>112
V
四面体ABCD
22hh
,当直径通过AB与C D的中点时,
h
max
22
2
1
2
23,
323

故
V
max

43

3
二、填空题
1.（2010上海文）6.已知四棱椎
PABCD
的底面是边长为6 的正方形， 侧棱
PA
底
面
ABCD
，且
PA8
，则该四棱 椎的体积是 。
【答案】96
【解析】考查棱锥体积公式
V
1
36896

3< br>2
2.（2010湖南文）13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视 图，则
h= cm

【答案】4
3.（2010浙 江理）（12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积
是_________ __
cm
.
解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中
所给公 式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达
示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算， 属容易题





3

4.（2 010辽宁文）（16）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用
粗线画出了某多面体的三视图， 则这个多面体最长的一条棱的
长为 .
解析：填
23
画出直观图：图中四棱锥
PABCD
即是，
所以最长的一条棱的长为
PB23.

5.（2010辽宁理）（15）如 图，网格纸的小正方形的边长是1，
在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的
一条棱的长为______.
【答案】
23

【命题立意】本题考查了三 视图视角下多面体棱长的最值问题，
考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力。
【解析】由三视图可知，此多面体是一个底面边长为2的正方
形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱 锥，所以最长棱长
为
2
2
2
2
2
2
 23




6.（2010天津文）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这
个几何体的体积为 。
【答案】3
【解析】本题主要考查三视图的基础知识，和主题体积的计算，
属于容易题。
由俯视 图可知该几何体的底面为直角梯形，则正视图和俯视图
可知该几何体的高为1，结合三个试图可知该几何 体是底面为
直角梯形的直四棱柱，所以该几何题的体积为
B
A
C
D< br>P

1
（1+2）21=3

2
【温馨提示】正 视图和侧视图的高是几何体的高，由俯视图可
以确定几何体底面的形状，本题也可以将几何体看作是底面 是长为3，宽为2，高为1的长

方体的一半。

7.（2010天津理）（12）一个几何体的三视图如图所
示，则这个几何体的体积为
【答案】
10

3
【解析】本题主要考查三视图的概念与柱体、椎体体
积的计算，属于容易题。 由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2
的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正 四棱锥
组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥
的体积为
14
4 1
，所以该几何体的体积V=2+
33
410
=
33【温馨提示】利用俯视图可以看出几何体底面的形状，结合正视图与侧视图便可得到几何
体的形状， 求锥体体积时不要丢掉
三、解答题
1.（2010上海文）20.（本大题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2
小题满分7分.
如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩
形骨架 ，总计耗用9.6米铁丝，再用
S
平方米塑料片制成圆柱
的侧面和下底面（不安装上底 面）.
(1)当圆柱底面半径
r
取何值时，
S
取得最大值？并求出该
最大值（结果精确到0.01平方米）;
(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作
出
用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线 长为
l
，则
l
1.22
r
(0<
r
< 0.6)，

1
哦。
3
S
3

(< br>r
0.4)
2
0.48

，
所以当
r
0.4时，
S
取得最大值约为1.51平方米；

(2) 当
r
0.3时，
l
0.6，作三视图略．
2.（2010陕西文）18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥
P
—
ABCD
中，底面
ABCD
是矩形
PA
⊥平面
AB CD
，
AP
=
AB
，
BP
=
BC
=2，
E
，
F
分
别是
PB
,
PC
的中点.








( Ⅱ)连接
AE
,
AC,EC
,过
E
作
EG
∥
PA
交
AB
于点
G
,
则
BG
⊥平面
ABCD
,且
EG
=
(Ⅰ)证明：
EF
∥ 平面
PAD
；
(Ⅱ)求三棱锥
E
—
ABC
的体积V.
解 (Ⅰ)在△< br>PBC
中，
E
，
F
分别是
PB
，
P C
的中点，∴
EF
∥
BC
.
又
BC
∥
AD
,∴
EF
∥
AD
,
又∵
AD

平面
PAD
,E
F

平面
PAD
,
∴
EF
∥平面
PAD
.

1
PA
.
2
在△
PAB
中，
AD=
AB
,

PAB
°,
BP
=2,∴
AP
=
AB
=
2
,
EG
=
∴
S< br>△ABC
=
2
.
2

11
AB
·
BC
=×
2
×2=
2
,
22
11
2
1
S
△ABC
·
EG
=×
2
×=.
33
2
3
∴
V
E-AB
C
=
3 .（2010安徽文）19.(本小题满分13分)
如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，
E
F
B F=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；


【命题意图】本题考查空间线面平行、线面垂直、
面面垂直的判断与证明，考查体积 的计算等基础
A
B
D
C
H

知识，同时考查空 间想象能力、推理论证能力和运算能力.
【解题指导】（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明 EG∥FH，得
FH
∥平面
EDB
；
（2）利用线线、线面的平行与 垂直关系，证明FH⊥平面ABCD，得FH⊥BC，FH⊥AC，进而
得EG⊥AC，
AC
平面
EDB
；（3）证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B- DEF的高，进
而求体积.
(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG, GH，由于H为BC的中点，故
1
GHAB,
2
1
又EFAB,四 边形EFGH为平行四边形
2
EGFH，而EG平面EDB，FH平面EDB

【规律总结】本题是典型的空间几何问题，图形不是规则的空间几何体，所求的结论是线
面平行 与垂直以及体积，考查平行关系的判断与性质.解决这类问题，通常利用线线平行证
明线面平行，利用线 线垂直证明线面垂直，通过求高和底面积求四面体体积.
4.（2010四川理）（18）（本小题 满分12分）已知正方体
ABCD
－
A
'
B
'
C< br>'
D
'的棱长为1，点
D
M
是棱
AA
'的 中点，点
O
是对角线
BD
'的中点.
（Ⅰ）求证：
OM< br>为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角
M
－
BC
'－
B
'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥
M
－
OBC
的体积.



C
B
A
M

D
A
O
C
B
本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积 等基础知识，

并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能 力。
解法一：（1）连结
AC
，取
AC
中点
K
， 则
K
为
BD
的中点，连结
OK

因为
M< br>是棱
AA
’的中点，点
O
是
BD
’的中点
所以
AM

1
DD'OK

2
所以
MO
AK
由
AA
’⊥
AK
，得
MO
⊥AA
’
因为
AK
⊥
BD
,
AK
⊥< br>BB
’，所以
AK
⊥平面
BDD
’
B
’
所以
AK
⊥
BD
’
所以
MO
⊥
BD
’
又因为
OM
是异面直 线
AA
’和
BD
’都相交故
OM
为异面直线
AA< br>'和
BD
'的公垂线
（2）取
BB
’中点
N
，连结
MN
，则
MN
⊥平面
BCC
’
B
’
过点
N
作
NH
⊥
BC
’于
H
，连结
MH

则由三垂线定理得
BC
’⊥
MH
< br>从而,∠
MHN
为二面角
M
-
BC
’-
B< br>’的平面角
MN
=1,
NH
=
Bnsin
45°=

122


224
MN1
22
故二 面角
M
-
BC
’-
B
’的大小为
arctan2
2

NH
2
4
在
Rt
△
M NH
中，
tan
∠
MHN
=
(3)易知，
S
△
OBC
=
S
△
OA
’
D
’
， 且△
OBC
和△
OA
’
D
’都在平面
BCD
’
A
’内
点
O
到平面
MA
’
D
’距离
h
＝
1

2
1

24
V
M
-
OBC
=
V
M
-
OA
’D
’
=
V
O
-
MA
’
D
’< br>=
S
△
MA
’
D
’
h
=
解 法二：
1
3
以点
D
为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D
-
xyz

则
A
(1,0,0),
B
(1,1,0),
C
(0,1,0),
A
’(1,0,1),
C< br>’(0,1,1),
D
’(0,0,1)
(1)因为点
M
是 棱
AA
’的中点,点
O
是
BD
’的中点
所以
M
(1,0,
1111
),
O
(,,) < br>2222

11


OM(,, 0)
,
AA'
=(0,0,1),
BD'
=(-1,-1,1)
22


OM



A A'
=0,

OM



BD
'
1
2

1
2
+0=0所以
O M
⊥
AA
’,
OM
⊥
BD
’
又因为
OM
与异面直线
AA
’和
BD
’都相交 < br>故
OM
为异面直线
AA
'和
BD
'的公垂线.„„„ „„„„„„„„„4分
(2)设平面
BMC
'的一个法向量为

n

1
=(
x
,
y
,
z
) 
BM

=(0,-1,
1

2
),
BC'
＝(－1,0,1)




n

1

BM

y
1
z 0


0
即

n

2

1

BC'0


xz0
取
z
＝2,则
x
＝2,
y
＝1，从而

n

1
=(2,1,2)
取平面
BC
'
B
'的一个法向量为

n

2< br>＝(0,1,0)
cos



n
 
n
1

n
2
1
,n
2
|

n|

|

n


1

1

12
|
9

1
3
由图可知，二面角
M
-
BC
'-
B
'的平面角为锐角 < br>故二面角
M
-
BC
'-
B
'的大小为
arc cos
1
3
„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
(3)易知，S
△
OBC
＝
1
4
S
12
△
BCD
'
A
'
＝
4
12
4

设平面
OBC
的一个法向量为

n

3
＝(< br>x
1
,
y
1
,
z
1
)


BD

'
＝(－1,－1,1),

BC

＝(－1,0,0)

< br>

n

x
1
y
1
z
1
0


3


BD

'0
即

n0


1

BC< br>
x
1
0
取
z
＝1，从而

n

1
＝1,得
y
1
3
＝(0,1,1)
点
M
到平面
OBC
的距离
d
＝
|
 
1
BM



|

2
2< br>|n

4
V
M
－
OBC
3
|
2
1
3
S
1221
OBC
d
3

4

4

24
„„„„„„„„„„„„„„„„12分
＝

2009年高考题
一、选择题
1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.
2

23
B.
4

23
C.
2


【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为
2

,四棱锥的底面
边长为
2
，高为
3
，
2323
D.
4



33
2
2
1
所以体积为

3

23

23
3
2
2
2
侧(左)视图
所以该几何体的体积为
2


答案:C
23
.
3
2
正(主)视图
【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,
由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.

2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c
m
）为
（A）48+12
2
（B）48+24
2
（C）36+12
2
（D）36+24
2










2
俯视图

3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D- GAC与三棱锥P-GAC体积之比
为
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

x1
的值介于0到之间的概率为( ).
22
1212
A. B. C. D.
323


x


, ∴【解析】:在区间[- 1，1]上随机取一个数x,即
x[1,1]
时,

222

x
0cos1

2

x111
区间长度为1, 而
cos
的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C
2222
4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，
cos
答案 C < br>【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函
数值
cos

x
的范围,再由长度型几何概型求得.
2
1
。则该集合体
2
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
的俯视图可以是

答案: C
6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方
体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“

”的面的方位
是
A. 南
C. 西
B. 北
D. 下

解：展、折问题。易判断选B

7.如图，在半径为3的球 面上有
A,B,C
三点，
ABC90

,BABC
，
球心
O
到平面
ABC
的距离是
32
，则
B 、C
两点的球面距离是
2
A.

4

B.

C. D.
2


3
3
答案 B
8．若正方体的棱长为
2
，则以该正方体 各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为
A.
2
223
B. C. D.
3
633
答案 C 9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长
为4，且 垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）
答案 B
二、填空题
10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则a=_______
答案
3

11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是
33
，则
a
__________

12．若某几何体的三视图（单位：
cm
）如图所示，则此几何体的体积是
cm
．
答案 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为
1339
，上面的长方体体积为
3
3319
，因此其几 何体的体积为18
13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为
m
答案
3
答案 4
14. 直三棱柱
ABCA
1
B1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
ABACAA
12
,
BAC120
，则此球的表面积等于 。 解:在
ABC
中
ABAC2
,
BAC120
,可得
BC23
,由正弦定理,可得
ABC

外接圆半径r= 2,设此圆圆心为
O

，球心为
O
，在
RTOBO

中，易得球半径
R5
，
故此球的表面积为
4

R20

.
2
15．正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
内接于半径为
2
的球，若
A,B
两点的球面距离为

，则正三
棱
柱的体积为 ．
答案 8

16．体积为
8
的一个正方体，其全面积与球
O
的表面积相等，则球
O
的体积等
于 ．
答案
86



17．如图球O的半径为2，圆
O
1< br>是一小圆，
OO2
，A、B
1
是圆
O
1
上两点，若A，B两点间的球面距离为
答案

2
2

，则
AO
1
B
= .
3

18.已知三个球的半径
R
1
，
R
2
，
R
3
满足
R
1
2R
2
 3R
3
，则它们的表面积
S
1
，
S
2
，< br>S
3
，
满足的等量关系是___________.
答案
S
1
2S
2
3S
3

S
1< br>R
4
，则它们的半径之比
1
=_____________. S
2
R
2
19.若球O
1
、O
2
表示 面积之比
答案 2
三、解答题
20．（本小题满分13分）
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥
PEFGH
， 下半部分是长方体
ABCDEFGH
。图5、图6分别是该标识墩的正
（主）视图和 俯视图。
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：直线
BD
平面
PEG
.

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全 标识墩的体积为：
VV
PEFGH
V
ABCDEFGH



1
40
2
6040
2
2 0320003200064000


cm
2


3
（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,
PO
平面EFGH ,
POHF

又
EGHF

HF
平面PEG
又
BDPHF

BD
平面PEG；

2005—2008年高考题
一、选择题
1 .(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示
A，B，C
分别是
△GHI< br>三边的中点）
得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
H
B
A
I
C
G
侧视
D
F
图1
答案 A
2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长 为
7
，在该几何体的正视图中，这条棱的
投影是长为
6
的线段，在该 几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a
和b的线段，则a+b的最大值为（ ）
A．
22

答案 C
【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图
设长方体的高宽高分别为
m,n,k
，由题意得
B．
23
C．
4
D．
25

E
F
图2
B
A
C
B
E
A． B．
B
B
B
E
D
E
E
C．
E
D．

k
n
m
m
2
n
2
k
2
7
，
m
2
k< br>2
6
n1

1k
2
a
，
1m
2
b
，所以
(a
2
1)(b
2
1)6

a
2
b
2
8
，
∴( ab)
2
a
2
2abb
2
82ab8a< br>2
b
2
16

ab4
当且仅当
ab2
时取等号。
3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A.9π B.10π
C.11π D．12π

答案 D
【解析】考查三视图与几何体的表面 积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一
个圆柱组合而成的，其表面及为
S4

1
2


1
2
22

1312

.

3. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），
可得这个几何体的体积是（ ）









Ａ．
20
正视图
20
侧视图
20
俯视图
20
10
10
4000
3
8000
3
cm
Ｂ．
cm
Ｃ．
2000cm
3
Ｄ．
4000cm
3

33
答案 B
4. （2007 陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三
个顶点在该球的一个大圆上 ，则该正三棱锥的体积是（ ）

A．
333
33
B． C． D．
3412
4
答案 B
5.（2006安徽）表面积为
23
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体
积为
A．
12
22
2



B．

C．

D．
3
3
3
3
答案 A
3a
2
【解析 】此正八面体是每个面的边长均为
a
的正三角形，所以由
823
知，
4
a1
，则此球的直径为
2
，故选A。
6.（2006 福建）已知正方体外接球的体积是
32

，那么正方体的棱长等于（ ）
3
A.2
2
B.
答案 D
234243
C. D.
3 33
【解析】正方体外接球的体积是
32

，则外接球的半径R=2，正方体 的对角线的长为4，
3
棱长等于
43
，选D.
3
7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成
的角是60°则该截面的面积是 ( )
A．π B.2π C.3π D.
23


答案 A
【解析】过半 径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，
则截面圆的半径是
1
R=1，该截面的面积是π，选A.
2
8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )
A. 1∶
3
B. 1∶3 C. 1∶3
3
D. 1∶9
答案 C
【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为
1
3
a
，它的外接球的 半径为
a
，
2
2

故所求的比为1∶3
3< br>，选C.
9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为

，则球的表面积
为 ( )
A.
82


答案 B
10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且
B.
8

C.
42

D.
4


ADE、BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )
A.
C.
2

3
4

3


B.
D.
3

3
3

2
二、填空题
11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边
形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
底面周长为 3，则这个球的体积为 ．
答案
9
，
8
4


3
2
【解析】令球 的半径为
R
，六棱柱的底面边长为
a
，高为
h
，显然有a()R
，
h
2
2

3
2
9
a
1
44
ah

V6

3
R1
V

R

.
2
且

48

33

6a3

h3



12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其 侧棱垂直底面。已知该六棱
柱
的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为
3
，底面周长为3，那么这个球的体积
为_________
答案
4


3
1
，故其主对角线为１，从而球的直径
2
【解析】∵正六边形周长为３，得边长为

2R

3

2
1
2
2

∴
R1
∴球的体积
V
4

.
3
13. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条
棱
的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．
答案
14π

14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四
棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm
2
.
答案
242

15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥
PABCDEF
，则此正六棱
锥的侧面积是________．


B



答案
67

【解析】显 然正六棱锥
PABCDEF
的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底
面边长为 2，又正六棱锥
PABCDEF
的高依题意可得为2，依此可求得
67
.









A
F
C
D
E
P

第二部分 四年联考汇编
2010年联考题
题组二
（5月份更新）

1．（池州市七校元旦调研）在三棱柱
点< br>D
是侧面
ABCA
1
B
1
C
1
中 ，各棱长相等，侧掕垂直于底面，
BB
1
C
1
C
的中心，则
AD
与平面
BB
1
C
1
C
所成角的大小是 ( )

30456090
A． B． C． D．
答案 C
BBCCBBCC
解析：取BC的中点E，则
AE
面
11
，
AEDE
，因此
AD
与平面
11< br>所
AE
a
3
a
DE
0
2
，即有
tanADE3,ADE60
．
2
，成角即为
ADE
，设

2. (安徽六校联考)如图是一个简单的组合体的
直观图与三视图.下面是一个
棱长为4的正方体，正上面放
正视图

侧视图

一个球，且球的一部分嵌入正
方体中，则球的半径是( )
A. B.
1
C. D.
2

答案B
1
2
3
2
直观图

1

俯视图

P
作垂直于平面3．如图，动点
P
在正方体
ABCDA
1
BC
11
D
1
的对角线
BD1
上．过点
BB
1
D
1
D
的直线，与正方体表 面相交于
M，N
．设
BPx
，
MNy
，则函数
yf(x)
的图象大致是（ ）

D
1
A
1
D
M
C
1
B
1
P
N
C
B
y y y y
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
x
A

答案：B



4. （三明市三校联考）已知某几何体的三视图如右图所
示，则该几何体的体积为
答案23







5. （昆明一中三次月考理）四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分
别为
1 、6、3
，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
答案：
16



6．（池州市七校元旦调研）若某几何体 的三视图（单位：
cm
）如图
所示，则此几何体的体积是
cm
．
答案 18
【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为< br>1339
，上
面的长方体体积为
3319
，因此其几何体 的体积为18

7.（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）一个几何体的三
视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那
么该几何体几 的体积为 .
答案



3
3

2
俯视图
主视图
左视图

8．（安庆市四校元旦联考）（本题满分14分） 如图，在四棱锥
PABCD
中， ABCD是矩
形，
PA平面ABCD
，
P
PAAD1,AB 3
，点
F
是
PD
的中点，点
E
在
CD< br>上移动。
⑴求三棱锥
EPAB
体积；
⑵当点
E
为
CD
的中点时，试判断
EF
与平面
PAC
的关系，并说明 理由；
⑶求证：
PEAF
。
解：（1）

PA平面ABCD
，
F
A
D
E
B
C

V
EPAB
V
PABE

1113
S
ABE
PA131
3326
（2）当点
E< br>为
BC
的中点时，
EF||平面PAC
。
理由如下：

点
E,F
分别为
CD
、PD的中点，

EF| |PC
。

PC平面PAC
，
EF平面PAC
EF ||平面PAC

（3）

PA平面ABCD
，
CD平面ABCD

CDPA


ABCD是矩矩形
，
CDAD


PAADA
，
CD平面PAD


AF平面PAD

AFDC


PAAD
，点
F
是
PD
的中点
AFPD

又
CDPDD

AF平面PDC


PE平面PDC
，

PEAF

9. （ 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）如图，在三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，已
知
BC1,BB
1
2,
BCC
1


AB
侧面
BB
1
C< br>1
C
，
3
学，，，，，网，
A
A
1
B
C
E
C
1
B
1

（1）求直线C< br>1
B与底面ABC所成角正切值；
使得
EAEB
1
(要求说 明理由).
（2）在棱
CC
1
（不包含端点
C,C
1
)
上确定一点
E
的位置,
（3）在（2）的条件下,若
AB2
，求二面角
AEB
1
A
1
的大小.
解：（1 ）在直三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
C
1
C平面ABC

C
1
B
在平面
A BC
上的射影
为
CB
.

C
1
BC
为直线
C
1
B
与底面
ABC
所成角. „„„„
2



CC
1
BB< br>1
2,BC1
，
tanC
1
BC2

即直线
C
1
B
与底面
ABC
所成角正切值为2. „„„„
4



（2）当E为中点时，
EAEB
1
.
CEEC
1
 1,BCB
1
C
1
1

BECB
1
EC
1
45



BEB
1
90

，即
B
1
EBE
„„„„
6


又
AB平面BB
1
C
1
C
，
EB
1
平面BB
1
C
1
C
ABEB1



BEABB

EB
1
平面ABE
，
EA平面ABE
，
EAEB
1
„„„„
8




F
，则
FG
∥
A
1
B
1
，且
FG
（3）取
EB1
的中点
G
，
A
1
E
的中点
A1
B
1
EB
1
FGEB
1

连 结
A
1
B,AB
1
，设
A
1
BAB1
O
，连结
OF,OG,FG
，
A
1
A< br>1
B
1
，
2
A
1
O
B
E< br>F
G
C
1
B
1
C

OGF为二面角
AEB
1
A
1
的平面角. „„„„
10

1
则
OG
∥
AE
，且OGAE
AEEB
1
OGEB
1

2
OG
11212

AE1,FGA
1
B
1
,OFBE
，
OGF45

22222



∴二面角
AEB
1
A
1
的大小为45° „„„„
12


题组一
（1月份更新）
一、选择题
1.（2009滨州一模）设

、

是两个不同的平面，
l、m
为两条不同的直线，命题p：若< br>平面



，
l

，
m

，则
lm
；命题q：
l

，
ml
，< br>m

，则



，
则下列命题为真命题的 是
A．p或q
C．┐p或q
答案C
2.（2009玉 溪市民族中学第四次月考）若球O的半径为1，
点A、B、C在球面上，它们任意两点的球面距离都等于
B．p且q
D．p且┐q
（ ）

,
2
则过A、B、C的小圆面积与球表面积之比为 （ ）

11
B．
128
11
C． D．
64
A．
答案 C

3.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
（ ）
B．
3

D．
A．
23

C．
33

4
33

2
答案B
4.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面
积与体积分别为
A、
72,3
B、
82,3
C、
72,
答案C
5.（2009青岛一 模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为
2
的正三角形,其俯视 图轮廓为正方形，则其体积是
主视图
33
D、
82,

22
左视图

A．
3

B.

42

C．

43

D.

8

633
3
答案C
6.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得该几何体的表面积是………………………………………
（ ）
A．
10π

C．
12π

答案C

7.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的
体积等于
(A) 4 (B) 6
(C) 8 (D)12
答案A
8.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为



（ ）
A．
3


C．
B．
2


D．以上都不对


B．
11π

2
3
2 2
俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
D．
13


16


3
答案C








9.（200 9番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，
其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为
正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）．

A．12 B．
2

3
C．
3
D．6
2
答案 C


二、填空题
1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心O
到过球面上A、B、C三点的截面的距离等
于此球半径的一半，若
ABBC CA3
，则球的体积为________________。
答案
32


3
2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得 截面的面积为
2

cm
2
，已知
球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 cm
3
.
理第11题
答案
43


三、解答题
1.（2009上海普陀区）已知复数
z
1
cosxi
，
，且
z
1
z
2
5
.当实数
z
2
1sinxi
（
i
是虚数单位）
A
x

2

,2


时，试用列举法表示满足条件的
x
的取值集
合
P
. 解：如图，设
BC
中点为
D
，联结
AD
、
OD
.
O
第19题图
B
C
OBOC2
,
BOC60
,所以
△OBC
为由题意，
等边三角形，
故
BC2
，且
OD3
.
又
S
△AB C

所以
AO
1
BCAD3AD3
，
2
A
AD
2
OD
2
6
.
2
而圆锥体的底面圆面积为
S

OC4

,
O
第19题图
B
D
C

所以圆锥体 体积
V
146
S
△ABC
AO

. 33
2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A
1
B
1< br>C
1
中,∠ABC=90°, AB=BC=1.
(1)求异面直线B
1
C
1
与AC所成角的大小；
(2)若直线A
1
C与平面ABC所成角为45°,
求三棱锥A
1
-ABC的体积.
（1）因为
BCB
1
C
1
，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线
B
1
C1
与
AC
所成角
-------(3分)
∠ABC=90°, AB=BC=1，所以
BCA
即异面直线
B
1
C
1
与
AC
所成角大小为

4
， -------(2分)

。 -------(1分)
4
（ 2）直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，
A
即为直线A
1
C与平面ABC所
1
1
A平面ABC
，所 以
ACA
成角，所以
A
1
CA

4
。 -------(2分)
Rt

ABC
中，A B=BC=1得到
AC2
，
Rt

AAC
1
中， 得到
AA
1
AC2
， ------(2
分)
所 以
V
A
1
ABC

12
S

A BC
AA
1

-------(2分) < br>36
3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，（如图）
E
是棱
C
1
D
1
的中点，
F
是侧面
AA< br>1
D
1
D
的中心．
（1） 求三棱锥
A
1
D
1
EF
的体积；
求
E F
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1所成的角的大小．（结果用反三角
函数表示）
（1）
V
A
1< br>D
1
EF
V
EA
1
D
1
F< br>
A
1
F

D
1
E

B
1
C
1
D
C
B
11
11
．
33
A
（2）取
A
1
D
1
的中点
G
，所求的角的大小等于
GEF< br>的大小，
2
RtGEF
中
tanGEF
，所以EF
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成的角的大
2
D1
A1
B1
C1
E
D
A
C
B

小是
arctan
2
．
2
4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥
OABCD
中，底面
ABCD
是边长为2的正方形，
OA底面ABCD
，
OA2
，
M
为
OA
的中点．
（Ⅰ）求四棱锥
OABCD
的体积；
（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．





解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形
ABCD
的面积
S4
，………… …………………2分
所以，求棱锥
OABCD
的体积
V
分
（Ⅱ）方法一（综合法）
设线段
AC
的中点为
E
，连接
ME
，
则
EMD
为异面直线OC与
MD
所成的角（或其补角） ………………………………..1
分
由已知，可得
DE
B
A< br>C
D
M
O
18
42
………………………………………4
33
2,EM3,MD5
，
(2)
2
(3)
2
(5)
2

DEM
为直角三角形 …………………………………………………………….2分
tanEMD
DE

EM
2
3
， …………………………………………………………….4分
32
EMDarctan
．
3
所以，异面直线OC与MD所成角的大小
arctan
方法二(向量法)
32
． …………………..1分
3

以AB,AD,AO所在直线为
x,y,z
轴建立坐标系，
则
O(0,0,2),C(2,2,0),M(0,0,1),D(0,2,0)
, ………………………………………………2分
OC(2,2,2)
，
MD(0,2,1)
， …………………………………………………………………………..2分
设异面直线OC与MD所成角为

，
cos


|OC MD|
|OC||MD|

15
．……………………………………3分
5

∴
OC与MD所成角的大小为
arccos
15
．……………………………………………1分
5
,AB1
，点E5、（2009 东莞一模）如图，在长方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,ADAA
1
1
在棱AB上移动，小蚂蚁从点A沿长方 体的表面爬到点C
1
，所爬的最短路程为
22
.
（1）求证：D
1
E⊥A
1
D；
（2）求AB的长度；
（3）在线段AB上是否存在点E，使得二面角
D
1
ECD的大小为

4
。若存在，确定
点E的位置；若不存在，请说明理由.

解一：（1）证明：连结AD
1
，由长方体的性质可知：

AE⊥平面AD
1
，∴AD
1
是ED
1
在
平面AD
1
内的射影。又∵AD=AA
1
=1，
∴AD
1
⊥A
1
D
∴D
1
E⊥A
1
D
1
（三垂线定理） 4分
（2）设AB=x，∵四边形ADD
1
A是正方形，
∴小蚂蚁从点A沿长方体的表面爬到
点C
1
可能有两种途径，如图甲的最短路程为
|AC
1
|x
2
4

如图乙的最短路程为 < /p>

|AC
1
(x1)
2
1
x1
x
2
2x2

x
2
2x 2x
2
22x
2
4

x
2
422x2
„„„„„„9分
（3）假设存在，平 面DEC的法向量
n
1
(0,0,1)
，
D
1
C (0,2,1)


z2y
n(x,y,z)
设平面D1
EC的法向量
2
，则

x(2a)y


n
2
(2a,1,2)
„„„„„„„12分
< br>由题意得：
cosn
1
,n
2

2
(2 a)
2
1
2
2
2

2
2

解得：
a23或a23
（舍去）
即当点E离B为3时
，< br>二面角D
1
EDD的大小为

4
.
„„„14分




2009年联考题
一、选择题
1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）






A．
1
3
a

6
B．
1
3
a

2

C．
2
3
5
a
D．
a
3

36
答案 D

2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a
2
,则左视图的面积为（ ）
A．2a
2
B．a
2

2
a
a
a
3
2
C．
3a
D．
a

4
答案 C
3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，
则组成此几何体的长方体木块块数共有( )




A．3块 B．4块 C．5块 D．6块
答案 B
4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为
角为
60

的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.
23
B.
43

C . 4 D. 8

3
，且一个内
2
正视图 侧视图
答案 C
5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )
A．
3
B．
俯视图

3
6

2
C．
36
D．
34
r
答案 C

6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正
视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，

那么这个几何体的表面积为( )
A．Z
2

B．
5


2
C．
4

D．
5


答案 B
7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右
图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )
A．
9
与
13
B．
7
与
10

C．
10
与
16
D．
10
与
15

答案 C
主视图 俯视图
8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体
的表面积是( )




2




俯视图

A.
(2042)cm
2
B.21 cm
C.
(2442)cm
2
D. 24 cm
答案 A
9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，
可得几何体的表面积是( )

2


3



2 2
俯视图 主视图 左视图
2
主视图 左视图
1
2

A.22

B.12

C.4

＋24 D.4

＋32
答案 D
二、填空题
10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个
球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中
三角形(正四面体的截面)的面积是 .
答案
2

11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，D为棱
AA
1
的中点，若截
A1
C1
面
BC
1
D
是面积为6的直角三角形， 则此三棱柱的体积为 .
D
B1
答案
83

12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)
如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm
2
.








答案 80
5
5

8
正(主)视图
A
C
B
第（11）题


5

5




8
侧(左)视图

8
俯视图




13.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视
图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．

答案 2

2007—2008年联考题

一、选择题
1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中，
E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD
的体积是 （ ）
A.
2233
B. C. D.


12241224
答案 B

2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的 圆面面
积为

，则球的体积为 ( )
A.
8

32

82

B. C. D. 8


3
3
3
答案 A
3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离
都等 于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为
4

，则此球的体积为


A.
46

B.
43

C.
83

D.
86


答案 D
ABC120

，4. (湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知
ABC
中，AB=2，BC=1，< br>
（ ）
平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P
—
ABC的体积是（ ）

A．
5

2
B．
5

3
C．
5

4
D．
5

6
答案 D
23
5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）
3
A．

B．2π C．4π
答案C
6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，
侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
答案 A
8
3
D．


4
3