蒙娜丽莎的微笑-天下没有不散的

第一讲：分数百分数应用题
教学目标
1. 分析题目确定单位“1”
2. 准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题
3. 抓住不变量，统一单位“1”
知识点拨：
一、知识点概述
分数应用题是研究数量 之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方
面，它有其自身的特点和 解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之
间的对应是解题的关键 ．
关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称 为：单
位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量 三者的关系
例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”．
1
，乙比甲少几分之几？
8
19191
方法一：可设乙为单位“< br>1
”，则甲为
1
，因此乙比甲少

.
88< br>889
1
方法二：可设乙为
8
份，则甲为
9
份，因此 乙比甲少
19
.
9
（2）甲比乙多

二、怎样找准分数应用题中单位“1”
（一）、部分数和总数
在同一整体 中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么
总数就是单位“1 ”。
例如：
我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数， 世界人口就是单位“1”。
解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
（二）、两种数量比较
分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有 的则没有“比”字，而是带
有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中， 比后面的那个数量通常就
作为标准量，也就是单位“1”。
例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”），
解题关键：在另 外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”
谁的，“是”谁的 几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。
（三）、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也 不是部分数和总数的关系。这类分数应
用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类 似带“比”的文字，然后在分析。
例如：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。
完善后：水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1”
冰融化成水后，体积减少了→ “冰融化成水后，体积比原来减少了” →原来的冰是单位“1”
解题关键：要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析

例题精讲

【例 1】 (小数报数学竞赛初赛)甲、乙两人星期天一起上街买东 西，两人身上所带的钱共计是
86
元.在人
4
民市场，甲买一双运动鞋花去了 所带钱的，乙买一件衬衫花去了人民币
16
元．这样两人身上所
9
剩的钱正好 一样多．问甲、乙两人原先各带了多少钱?

5
【解析】 方法一：把甲所带的 钱视为单位“
1
”，由题意，乙花去
16
元后所剩的钱与甲所带钱的一样多， 那么
8616
9
5
5
元钱正好是甲所带钱的
1
，那么甲原来带了
(8616)(1)45
(元)，乙原来带了
8645 41
(元)．
9
9
方法二：
4份
甲
乙
16元
86元

设甲所带的钱数为
9
份，则甲和乙都还剩
5
份，所以每份是
(8616(95)5< br>(元)，则甲原来带了
5945
(元)，乙原来带了
551641< br>(元).

【巩固】 一实验五年级共有学生152人，选出男同学的
正好相等。五年级男、女同学各有多少人？
【解析】 根据题意画出线段图，找出量率对应：
1
和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女人数
11

题中所给的 已知数量虽然没有直接的对应关系，但从中可以看出，如果女工去掉5人就和男工人数
11
）相 对应，因此总人数也应去掉5人，相应的与男工人数的（1－＋1）相对应。因此
1111
1< br>男工有：（152－5）÷（1－＋1）=77（名）女工有：152－77=75（名） 答：男共有77名，女
11
的（1－
工有75名。
【巩固】 五年级有学生
238
人，选出男生的
问：五年级女生有多少人？
【解析】 男生人数为
(23814)(1)128
(人)，女生有：
128

1
【例 2】 甲、乙两个书架共有
1100
本书，从甲书架借出，从乙书架 借出
75%
以后，甲书架是乙书架的
2
倍
3
还多
1 50
本，问乙书架原有多少本书？
1
和
14
名女生参加团体操，这 时剩下的男生和女生人数一样多，
4
3
14110
(人)．
4
3
4

甲 甲

甲
共
1100
本
乙 乙 乙 乙
甲
还剩下~
乙 乙
甲

甲的
150本
21
比乙的多
150
本
32
同时扩大两倍
甲 甲

甲 甲

甲的
4
比乙多
300
本
3
【解析】
这个题目的难点就在于甲乙的数目同时发生了变化，变化之后 的关系是两倍还多
150
本，也就是说：
甲的
21
比乙的的两倍还多
150
本，如果能够正确地理解和转化这个条件，这道题也就迎刃而解了，
34
2121
比乙的的两倍还多
150
本”其实也就是“甲的比乙的多
150< br>本”，
3432
4
比乙多
300
本”，结合“甲乙的和为1100
本”
3
乙 乙
乙 乙
150本
150本
从上图中不难看出，“甲的
如果同时扩大两倍，他们之间的关系就变成了“甲的
这个条 件，这个问题就变成了一个简单的和倍问题了。
121
11
，
2
，
1
，
17 5%
，
1502300
（本）
42
334
21
(1100300)(22)600
（本）…………甲的书本数目
32
1100600500
（本）………………………………乙的书本数目 方法二：设甲原有x本书，


1

x150
< br>2

175%

x1100
，解得
x6 00
，则乙为500




1

3


本。

【例 3】 五年级上学期男、女生共有
300
人，这一学期男生增加
学年六年级男、女生各有多少人?
【解析】 方法一 ：此题我们用假设法来解答．假设这一学期五年级男、女生人数都增加
应为
300
1
，那么增加的人数
25
11
，女生增加，共增加了
13
人． 这一
2520
1
12
(人)，这与实际增加的
13
人相差
13121
(人)．相差
1
人的原因是把女生增加的
25

11
111
看成计算了，即少算了原女生人数的，也就是说这
1人正好相当于上学期女生

2025
2025100
111
人 数的
1%
，可求出上学期女生的人数：
(13300)()100
(人)，男生人数为：
252025
1
300100200
(人)，这学 年女生的人数：
100(1)105
(人)，这学年男生的人数：
20
1
200(1)208
(人)．
25
方法二：本题可以看成男生1份 ＋女生1份＝13（人），那么男生20份＋女生20份=13×20＝260
（人），对比分析可以看 出：300—260＝40（人）对应男生的25—20＝5（份），所以男生有40÷5
×（25＋1 ）＝208（人），女生有300＋13—208＝105（人）。

11
，把银放 在水里称，其重量减轻．现有一块金银合金重
770
克，
1910
放在水里称 共减轻了
50
克，问这块合金含金、银各多少克？
11
【解析】 方法一： 设合金含金
x
克，则银有
(770x)
克．依题意，列方程得：
x (770x)50
，
1910
解得
x570
，所以这块合 金中金有
570
克，银有
200
克．
方法二：本题可以看成金1份 ＋银1份＝50（克），那么金10份＋银10份=50×10＝500（克），对
比分析可以看出：7 70—500＝270（克）对应金的19—10＝9（份），所以金有270÷9×19＝570（人），银有770—570=200（人）。

42
【例 4】 光明小学有学生900
人，其中女生的与男生的参加了课外活动小组，剩下的
340
人没有参加． 这
73
所小学有男、女生各多少人?
2
2
【解析】 （用假设法） 假设男生、女生都有的人参加了课外活动小组，那么共有
900600
(人)，比现在3
3

24

多出了
600

90 0340

40
(人)，这多出的
40
人即为女生的



，所以女生人数为

37


24

40



420
(人)，男生人数为900420480
(人)．

37


3
【巩固】 二年级两个班共有学生
90
人，其中少先队员有
71< br>人，又知一班少先队员占全班人数的，二班少
4
5
先队员占全班人数的，求两个 班各有多少人？
6
【解析】 本题与鸡兔同笼问题相似，根据鸡兔同笼问题的假设法，可求得 一班人数为
553
(9071)()48
(人)，那么二班人数为
904842
(人)．
664

2
【例 5】 盒子里有红， 黄两种玻璃球，红球为黄球个数的，如果每次取出
4
个红球，
7
个黄球，若干 次后，
5
盒子里还剩
2
个红球，
50
个黄球，那么盒子里原 有________个玻璃球．
【解析】 由于红球与黄球个数比为
2:5
，所以若 每次取
4
个红球，
10
个黄球，则最后剩下的红球与黄球的个
数比仍 为
2:5
，即最后剩下
2
个红球，
5
个黄球，而实际上是每 次取
4
个红球，
7
个黄球，最后剩
2
个红球，
50
个黄球，每次少取了3个黄球，最后多剩下45个黄球，所以一共取了
45315
次，所
以球的总数为
(47)15250217
个．
【巩固】 甲乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，已知甲班参加的人数恰好是乙班未参
加人数 的三分之一，乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一，问甲班没有参加的人数是乙
班没有参加的 人数的几分之几？
【解析】 分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数，则：甲参+甲未=乙参+乙未，
甲
11118
将甲
参
乙
末
、乙
末
甲末
代入上式，得乙
末
甲
末
甲
末
乙
末
,解得
末


3434乙
末
9
【巩固】 把金放在水里称，其重量减轻

【例 6】 （
2009
年第七届“希望杯”五年级一试）工厂生产一 批产品，原计划15天完成。实际生产时改进
5
了生产工艺，每天生产产品的数量比原计划每天 生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了
11
生产任务。则这批产品有 件。
【解析】 设原计划每天生产
11
份，则实际每天生产
5
份加
10
件，而根据题意这批产品共有
1115165
份，所
以实际每天生 产
165(154)15
份，所以
15
份与
5
份加< br>10
件的和相同，所以每份就是
1
件，所以这
批产品共有
16 5
件.或用方程来解.

【例 7】 有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆 中白子都占28％．小明从某一堆中拿走一半棋子，
而且拿走的都是黑子，现在，在所有的棋子中，白子 将占32％．那么，共有棋子多少堆?
【解析】 设每堆棋子为100个有x堆棋子，那么每堆中白子 为28个，黑子为72个，那走一半棋子且为黑子
时，还剩白子为28x个，黑子为（72x—50）个 ，所以列方程为：
以有4堆。

【例 8】 我从飞机的舷窗向外看去，看见了部分 海岛、部分白云以及不大的一块海域，假定白云占窗口画
面的一半，它遮住了岛的
多少？
【解析】 512.
28x
32%
,解得
x=4
，所< br>100x50
11
，因此岛在窗口画面上只占，问被白云遮住的那部分海洋占画面的< br>44

1
【例 9】 养殖专业户王老伯养了许多鸡鸭，鸡的只数是鸭的只数的
1
倍．鸭比鸡少几分之几？
4
1
111
【解析】 方法一：把鸭看成单位“
1
”，那么鸡就是
1
，鸭比鸡少：
(1 1)1
(此时的单位“1”是鸡
4
445
的只数)．
1
方法二：设鸭有
4
份，则鸡有
5
份，所以鸭比鸡少
15
.
5

3
【巩固】 某校男生比女生多，女生比男生少几分之几？
7
3310
3103
【解析】 方法一：男生比女生多，则男生有
1
，女生比男生少

.
7 77
7710
3
方法二：设女生有
7
份，则男生有
10份，所以女生比男生少
310
.
10

【例 10】 学 校阅览室里有36名学生在看书，其中女生占
有看书人数的
4
，后来又有几名女生来看 书，这时女生人数占所
9
9
．问后来又有几名女生来看书?
19
4
【解析】 把总人数视为“1”，紧抓住男生人数不变进行解答．男生人数是< br>36(1)20
人，后来阅览室的
9
9
总人数是
20 (1)38
(名)，后来有
38362
(名)女生进来．
19

【巩固】 （2009年五中小升初入学测试题）工厂原有职工128人，男工 人数占总数的
工若干人，调入后男工人数占总人数的
1
，后来又调入男职
4< br>2
，这时工厂共有职工 人．
5
1
【解析】 在调入 的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为
128(1)96
人，调入后女 职工
4
233
占总人数的
1
，所以现在工厂共有职工
9 6160
人．
555

【巩固】 有甲、乙两桶油，甲 桶油的质量是乙桶的
乙桶的
5
倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是< br>2
4
倍，乙桶中原有油 千克．
3
55
【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的

，甲桶中倒 出5千克后剩下的油的质量是两桶油总质
527
54
44
量的
< br>，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为
5()35
千克，乙桶中原有油
77
437
2
3510
千克．
7

【例 11】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比元月份增产了还是< br>减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？
【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为：
1
< br>1+10%

=
因为
10
，三月份产量为：
110 %=0.9
，
11
10
＞0.9，所以三月份比元月份减产了
11
（2）设商品的原价是1，涨价后为
1+15%=1.15
，降价15%为：
1.15

115%

=0.9775
，现价和
原价比 较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。

【例 12】 某校三年级有学生240人，比四年级多
11
，比五年级少 ．四年级、五年级各多少人？
45
【分析】 比四年级,可以设四年级为4份,（一般情况下可设“比”、“是”、等词后面 的实际量的份数为分数的
分母），则三年级为5份恰有240人,所以一每份就是
2405 48
,所以四年级就有48

4

192人,
同理可设五年 级有5份,则三年级有4份恰是240人,所以五年级就有300人.

【巩固】 把
100
个人分成四队，一队人数是二队人数的
1
倍，一队人数是三队人数的
1
少个人?
【解析】 方法一：设一队的人数是“
1
”，那么二队人数是：
11
1
3
1
倍，那么四队有多
4
1
3
14
3
，三队的人数是：
11
，
45
4
3451
51

，因此，一、二、三队之和是：一队人数

，因 为人数是整数，一队人数一定是
20
4520
20
的整数倍，而三个队的人数 之和是
51
(某一整数)， 因为这是
100
以内的数，这个整数只能是< br>1
．所
以三个队共有
51
人，其中一、二、三队各有
20，
15
，
16
人．而四队有：
1005149
(人 )．
方法二：设二队有
3
份，则一队有
4
份；设三队有
4
份，则一队有
5
份.为统一一队所以设一队有
[4,5]20
份， 则二队有
15
份，三队有
16
份，所以三个队之和为
15162 051
份，而四个队的
份数之和必须是
100
的因数，因此四个队份数之和 是100份，恰是一份一人，所以四队有
1005149
人(人).
1

【例 13】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另 外两个班人数的
相当于另外两个班人数的
2
，美术班人数
5
3
，体育班有
58
人，音乐班和美术班各有多少人？
7
22
【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的

， 美术班的学生人数是所有班人数的
527
33
2329
29
所以体 育班的人数是所有班人数的
1
，所以所有班的人数为
58

，
140
人，
7310
71070
70
23
其 中音乐班有
14040
人，美术班有
14042
人.
710

【巩固】 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工 20个，丙加工零件数是乙加工零件数的
加工零件数是乙、丙加工零件总数的
4
，甲< br>5
5
，则甲、丙加工的零件数分别为 个、 个．
6
4
453
【解析】 把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为，甲加 工的零件数为
(1)
，由于甲比乙
5
562
334
多 加工20个，所以乙加工了
20(1)40
个，甲、丙加工的零件数分别为
40 60
个、
4032
225
个．

【例 14】 王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的
的年龄是另外三人年 龄和的
1
，李先生
2
11
，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王
34
先生多少岁吗?
【解析】 方法一：要求王先生的年龄，必须先要求出其他三人的年龄各是多少．而题目中出现了三个“ 另外
三人”所包含的对象并不同，即三个单位“
1
”是不同的，这就是所说的单位“< br>1
”不统一，因此，
解答此题的关键便是抓不变量，统一单位“
1
”． 题中四个人的年龄总和是不变的，如果以四个人的
年龄总和为单位“
1
”，则单位“< br>1
”就统一了．那么王先生的年龄就是四人年龄和的
先生的年龄就是四人年龄和的
11

，李
123
1111

，赵先生的年龄就是四人 年龄和的

(这些过程就是
134145
11113
所谓的转化 单位“
1
”)．则杨先生的年龄就是四人年龄和的
1
．由此便可求出 四人
34560
111

1

12040
(岁 )．
120
的年龄和：
26

1
(岁)，王先 生的年龄为：

3

121314

方法二：设王先 生年龄是1份,则其他三人年龄和为2份,则四人年龄和为3份,同理设李先生年龄为1
份,则四人年龄 和为4份,设赵先生年龄为1份,则四人年龄和为5份,不管怎样四人年龄和应是相同的,
但是现在四人 年龄和分别是3份、4份、5份，它们的最小公倍数是60份，所以最后可以设四人年龄
和为60份，则 王先生的年龄就变为20份，李先生的年龄就变为15份，赵先生的年龄就变为12份，
则杨先生的年龄 为13份，恰好是26岁，所以1份是2岁，王先生年龄是20份所以就是40岁.

1
【巩固】 甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的 ，乙队筑的
2
11
路是其他三个队的 ，丙队筑的路是其他三个队的 ，丁队筑了多少米？
34
【解析】 甲队筑的路是其他三个队的
111
=
； ，所以甲队筑的路占总公路长的
21+23
111
=
； 乙队筑的路是其他三 个队的，所以乙队筑的路占总公路长的
31+34
111
=
， 丙队筑的路是 其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的
41+45

111

所以丁筑路为：
1200

1

=260
（米）

345

3
，第二次运了
50
块，这时已运来的 恰
8

【例 15】 (迎春杯决赛)小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的

5
．问还有多少块蜂窝煤没有运来？
7
55
【解析】 方法一:运完第一次后，还剩下没运，再运来
50
块后，已运来的恰好是没运来的，也就是说没
87
7571

运来的占全部的，所以，第二次运来的
50
块占全部的：

，全部蜂窝煤有：
1281224
17
5012 00
(块)，没运来的有：
1200700
(块)．
2412
5
方法二：根据题意可以设全部为
8
份，因为已运来的恰好是没运来的，所以可以设全 部为
12
份，
7
5
10
份，为了统一全部的蜂窝煤，所以 设全部的蜂窝煤共有
[8,12]24
份，则已运来应是
24
757
14
份，第一次运来
9
份，所以第二次运来是
1091
份恰好是
50
块，因此没没运来的
24
75
运来的蜂窝 煤有
5014700
（块）.
好是没运来的

1
【巩固】 五(一)班原计划抽的人参加大扫除，临时又有
2
个同学主动参 加，实际参加扫除的人数是其余人
5
1
数的．原计划抽多少个同学参加大扫除？
3
【解析】 又有
2
个同学参加扫除后，实际参加扫除的人数与其余人数的比 是
1:3
，实际参加人数比原计划多
1111
1
．即全班共有
240
(人)．原计划抽
408
(人)参加大扫除．
5
1352020

【巩固】 某校学生参加大扫除的人数是未参加大扫除人数的
的人数是未参加人数的
【解析】
20


1
，后来又有20名同学参加大扫除，实际参加
4
1
，这个学校有多少人？
3
1

1


400
（人）.

3141

3
；如果小刚给
7
【例 16】 小莉和小刚分别有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少
小莉24个，则小刚的 玻璃球比小莉少
5
，小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？
8
434
【解析】 小莉给小刚24个时，小莉是小刚的 (=1一)，即两人球数和 的；小刚给小莉24个时，小莉
7711
88844
是两人球数和的(=)，因此24 +24是两人球数和的-=．从而，和是(24+24) ÷
11885111111
4
=132(个)．
11

【巩固】 某班一次集会，请假人数是出席人数的
数的
1
，中途又有一人请假 离开，这样一来，请假人数是出席人
9
3
，那么，这个班共有多少人？
22
1
，现在请假人数占总人数的
19
【解析】 因为总人数未变 ，以总人数作为”1”．原来请假人数占总人数的
331
，这个班共有：l÷(-)=50(人 )．
32232219

【例 17】 小明是从昨天开始看 这本书的，昨天读完以后，小明已经读完的页数是还没读的页数
比昨天多读了
14
页， 这时已经读完的页数是还没读的页数的
1
，他今天
9
1
，问题是，这 本书共有多少页？”
3
1
1
【解析】 首先，可以直接运算得出，第一天小 明读了全书的
9

，而前二天小明一共读了全书的
1
10
1 
9
1
3

1
，所以第二天比第一天多读的
14< br>页对应全书的
1

1
2
1
。所以整本书一共有< br>1
4
41020
1
3
1
14280
（ 页）。此外，如果对分数的掌握还不是很熟练的话，那么这道题可以采用设份数的
20
方法：把 这本书看作
20
份，那么昨天他看了
2
份，而今天他看了
2
份还多
14
页，两天一共看了
4
份
还多
14
页，或 者可以表示成
20

13

5
（份）。那么每份是< br>14

54

14
（页），这本书共
142 0280
（页）。两种方法都可以得到相同的结果。

24
比男生的少
20
人，那么男生比女生少多少人?
35
2442626
【解析】 方法一：女生的比男生的少
20
人，

，
2030
，所以女生比男生的少
30
人．男355355
3
66
生人数是
(46530)(1)225(人)，女生人数是
22530240
（人），男生比女生少
55
24022515
（人）。
【例 18】 某校有学生
465
人，其中女生的
方法二：
女生
男生
20人

通过画图比较女生的
1
份加10
人恰好等于男生的两份，因此给每份女生加
10
后，男女生总份数就变
为
32511
份，因此每份有
(465103)1145
人 ，男生有
455225
女生人数是
465225240
(人)，男生 比女生少
24022515
(人)．

1
1
【例 19】 某校四年级原有两个班，现在要重新编为三个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一
3
4
1
1
班的与原二班的组成新二班，余下的
30
人组成新三 班．如果新一班的人数比新二班的人数多
3
4
1
，那么原一班有多少人？
10
5
115
【解析】 新三班人数占原来两班人数之和的
1
，所以，原来两班总人数为：
3072
(人)，新
12
3412
1
一班与新二班人数之和为：
723042
(人)，新二班人数是：42(11)20
(人)，新一班人
10
数为：
42202 2
(人)，新一班与新二班人数之差为
22202
，而新一班与新二班人数之差为 (原
11
11
一班人数

原二班人数)
()
， 故：原一班人数

原二班人数
2()24
(人)，原一班人数
34
34
(7224)248
(人)．

【巩固】 某工厂对一、二两个车间的职工进行重组，将原来的一车间人数的
1
1
和二车间人数的分到一车间，
3
2
1
1
将原来的 一车间人数的和二车间人数的分到二车间，两个车间剩余的140人组成劳动服务公司，
3
2< br>1
现在二车间人数比一车间人数多，现在一车间有 人，二车间有 人．
17
11
11
【解析】 由“将一车间人数的和二车间人数的分到一车 间，将一车间人数的和二车间人数的分到二
33
22
115
车间”可知，现在 一、二两车间的人数之和为总人数的

，所以劳动服务公司的140人占总
236< br>51
15
人数的
1
，那么总人数为：现在一、二两车间的人数之和 为
840700
人．由
140840
人，
66
66
1
1
于现在二车间人数比一车间人数多，所以现在一车间人数为
700(1 1)340
人，现在二车
17
17
间人数为
700340 360
人．提示：可以继续求出原来一车间和二车间的人数．由于现在二车间比一
1111车间多20人，所以原来二车间人数的

比一车间人数的多20人，那么原来二车间人数 比
2366
1
乙车间人数多
20120
人，原来一车间有
(840120)2360
人，原来二车间有
360120480
人．
6

2008
年第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(小学组)决赛林林 倒满一杯纯牛奶，第一次喝了【例 20】
11
，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀，第 二次林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅
33
拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林 共喝了一杯纯牛奶总量的 (用分数表示)。
【解析】 大家要先分析清楚的是不论 是否加入豆浆，每次喝到的都是杯子里剩下牛奶的
一点那么这道题就变了一道找规律的问题了。
喝掉的牛奶
第一次
1
，要是能想清楚这
3
剩下的牛奶
第二次
第三次
第四次
112
1

333
212224




339
339
4122
（喝掉剩下的） （剩下是第一次剩下的）
9333
414428


93279327
4142
（喝掉剩下的） （剩下是第一次剩下的）
9393
81881

（喝掉剩下的）
273
2738 1
124865

所以最后喝掉的牛奶为


39278181

【例 21】 参加迎春杯数学竞赛的人数共有2000多人.其 中光明区占
121
，中心区占，朝阳区占，剩余的
375
11
全是远 郊区的学生.比赛结果，光明区有去的学生得奖，中心区有的学生得奖，朝阳区有的
1618
1
学生得奖，全部获奖者的号远郊区的学生．那么参赛学生有多少名?获奖学生有多少名?
7
【解析】 如下表所示，我们将题中所给的条件列在表格内：

12 119

而光明区、中心区、朝阳区获奖学生数占参赛总数
375105
111211111

的

，

，

.所以有参赛学生数是3、7、5、72、56、90的倍数，
324727165651890
有远郊区参赛的占参赛总数的1-
即为2520的倍数，而参赛学生总数只有2000多人,所以只能 是2520．光明区、中心区、朝阳区获
奖学生共35+45+28=108人，占获奖总数的
1
生有2520名，获奖学生有126名．

166

，所以获 奖学生总数为108÷=126.即参赛学
7
77
【例 22】 一炉铁水凝成铁块 ，其体积缩小了
了几分之几?
1
，那么这个铁块又熔化成铁水（不计损耗），其中体积增加
34

【解析】 方法一：设铁水的体积为
1
，则铁块为
1
133

．现在变回来，那么铁块的体积就要变为单位1，
3434
3334
34 1

则铁水的体积就为
1
，故体积增加了：
(1)1
.
3433
3333
1
.
33
方法二： 体积缩小是 铁块比铁水缩小,所以可以设铁水为34份,则铁块为33份,铁块又熔化成铁水,
体积增加是比铁块增 加,所以用差的1份除以铁块的33份就是答案
【巩固】 水结成冰后体积增大它的
1
. 问：冰化成水后体积减少它的几分之几？
10
1
.
11
1
；在上升的电梯中称
7
【解析】 设水的体积是
10
份，则结成冰后体积为
11
份，冰化成水后比冰减少
111

【例 23】 (2008年清华附中考题)在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少
重，显示的重量比实际体重增加
1
．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同 ，
6
小明和小刚实际体重的比是 ．
6
【解析】 小明在下 降的电梯中称得的体重为其实际体重的，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重
7
7的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的
6< br>
6

7

比是：

1
:

1

49:36
．

7

6


【例 24】 某工厂二月份比元月份增产
11
，三月份比二月份减产．问三月份比元月份增产了还是减产了？
1010

【解析】 工厂二月份比元月份增产
1111
，将元 月份产量看作1，则二月份产量为：
1(1)
，三月比二
101010
111199
1
，所以三月份比元月份减产了． 月减产，则三月份产量为：
(1)
101010100

11
【巩固】 一件商品先涨价，然后再降价，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？
55
11
【解析】
1(1)(1)0.961
，所以现在的价格比原价降低了.
55

【例 25】 如图⑴，线段
MN
将长方形纸分成面积相等的 两部分．沿
MN
将这张长方形纸对折后得到图⑵，
将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已 知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的
平方厘米．长方形的面积是多少？
N
3
，阴影部分面积为
6
10

【解析】 如图⑶ 所示，阴影部分是
2
层，空白部分是
4
层，如果将阴影部分缩小一半，即变为
3
平方厘米，
那么阴影部分也变成
4
层，此时覆盖面的面积占长方形 纸片面积的
长方形纸片面积的
(

M
(1)
M
(2 )
N
(3)
1
，即缩小的
3
平方厘米相当于
431
31
)
，所以长方形纸片面积为
3()60
(平方 厘米).
104
104
课后练习


7
，并且比一班多
3
20
练习1. 某小学六年级有三个班，一班和二班人数相等，三班的人数是全年级总人数的
人，六年级共有多少人？
【解析】 根据条件“三班的人数占全年级的
77
，并且比二班多3人”可知一班、二 班都比全年级的少3
2020
77
人，假设一班、二班都占全年级的，那么将比实际人 数多出3×2=6人，比单位“1”多出（
2020
77777
＋＋－1），两个数量 正好对应。因此全年级的人数为：3×2÷（＋＋－1）=120
2020202020
（人） 六年级共有120人。

练习2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色 棋子．第一堆里的黑子和第二堆里的白子
一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的
2
，把 这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之
5
几?
【解析】 不妨认为第二 堆全是黑子，第一堆全是白子，(即将第一堆黑子与第二堆白子互换)，第二堆黑子是
全部棋子的
的1-

12125
，同时，又是黑子的1-．所以黑子占全部棋子的÷(1-)= ，白子占全部棋子
35359
54
=.
99

练习3. 有红、黄、白三种球共160个。如果取出红球的13，黄球的 14，白球的15，则还剩120个；如
果取出红球的15，黄球的14，白球的13，则剰116个， 问：（1）原有黄球几个？ （2）原有红
球、白球各有几个？
【解析】 （1）两次共取出 球160×2-（120＋116）＝84（个），共取出红、白球的
推知原有黄球
(160
118
111

，黄球的

。
3515
442
881
84)()40(个)

15152
红白16040

红白120


（2）整理得< br>
1

1111
红40白160120红白30，解得 红=45，白=75

3

3455


练习4. 有一块菜地和一块稻田，菜地的一半和稻田的三分之一放在一起是13公顷，稻田的一半和菜 地的三
分之一合在一起是12公顷。那么这块稻田有多少公顷？
【解析】

菜地+稻田



1

11

+

=13+12
，整理得到
菜地+稻田=30
，

菜地+ 稻田

=15
，而题目中
2

23

11

11

菜地+稻田=13
，两者对比分析得到，稻田为

1513





12
(公顷)
23

23


练习5. 学校派出60名选手参加200 8年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”，其中女选手占
几名女选手因故缺席，这样就使女选手人数变为参赛 选手总数的
1
．正式比赛时有
4
2
．正式参赛的女选手有多少名？
11
【解析】 因为女选手人数有变化，男选手人数未变，所以抓住男选手人数不变求解．把总人数视为“1”， 男
1 2
)=45(人)，男选手人数占正式参赛选手总数的1-，所以正式参赛选手总数
41122
是：45÷(1-)=55(人)，正式参赛的女选手人数是55×=10(人)。
1111
选手人数是60×(1-

练习6. 四只小猴吃桃，第一只小猴吃 的是另外三只的总数的
第三只小猴吃的是另外三只的总数的
少个桃？
【解析】 根据题意知前三只小猴分别吃了总数的
所以四只小猴共吃了
46(1

1 1
，第二只小猴吃的是另外三只吃的总数的，
34
1
，第四只小猴将剩下的< br>46
个桃全吃了.问四只小猴共吃了多
5
111
，，，
456
111
)120
（个）
456
月测备选

【备选1】五年级选出男生的

1
和
12
名女生 参加数学竞赛，剩下的男生人数是女生的
2
倍．已知五年级共有
11
学生
156
人，其中男生有多少人?
15
【解析】 方法一：把男生人数视为单位“
1
”，未参加比赛的女生是：
(1)2
，
15612144
(人)是男
1111
5
生和剩下的女生人数 ，所以男生有
144(1)99
(人).
11
(111)2] 
(
9
人)，所以男生有方法二：设五年级男生有
11
份，所以每份 是
(15612)[(11
91199
(人).

1
【备选2】甲、乙两个书架，已知甲书架有
600
本书，从甲书架借出，从 乙书架借出
75%
以后，甲书架是
3
乙书架的
2
倍还多
150
本，乙书架原有多少本书？
1
1
【解析】 甲原有
600
本书，借出去之后还有
600 (1)400
本，这个时候是乙现在的两倍还多
150
，因此
3
3
现在乙剩下的书为
(400150)2125
本，而这
125本正好是乙借出去
75%
以后剩下的，因此乙原来
1
的书本数目便很容易 求出了。根据题意可知，乙书架原有
(600600150)2(175%)500本
3
书．

35
【备选3】甲、乙两班共有学生100人，甲班的比乙班的少1人，乙班有学生 人．
46
54104
【解析】 根据题意可知，甲班人数比乙班人数的

少人，那么甲、乙两班人数之和比乙班人数的
6393
104
410
(1)
少人，故乙班人数为
(100)(1)48
人．
93
39

【备选4】一堆围棋子，黑子的个数是白子的3倍，每次拿5枚黑 子，2枚白子，拿了若干次后，白子拿完，
还剩11枚黑子．这堆棋子中，共有白子 个．
【解析】 由于原来黑子的个数是白子的3倍，假如拿的时候每次拿6枚黑子和2枚白子，则当白 子拿完的时
候黑子也恰好拿完，而现在每次拿5枚黑子，比每次拿6枚少拿1枚，最后还剩下11枚黑子 ，所以
共拿了11次，这堆棋子中共有白子
21122
枚．

1
【备选5】某公司有的职员参加新产品的开发工作，后来又有
2
名职工主动参加，这 样参加新产品开发的职
5
1
工人数是其余人数的，原来有多少职工参加开发工作？
3
11
111
【解析】 后来参加新产品开发的职工人数是总人数的，

，所以新加入的2个人占总人数的

134
4520
11
那么职工总人数为
240
人，原来参加开发的职工数是
408
人．
5
20

【备选6】兄弟四人去买电视,老大带的钱是另外三人的一半,老二带的钱是另外三人的13,老三带
的钱是另外三人总钱数的14，老四带91元，兄弟四人一共带了多少钱？
【解析】 老大带 的钱是另外三人的一半，也就说老大带的钱是一共带钱的13，同理老二带的钱是一共带钱
的14，老三 带的钱是一共带钱的15，所以老四带的钱是一共带钱的：1-13-14-15=1360
四人一共带的钱：91除以1360=420（元）