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趣味数学故事之克莱因瓶
趣味数学故事之克莱因瓶
在1882年，著名数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)
发现了后来以他的名字命 名的著名瓶子。这是一个象球
面那样 封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它 却只有一
个面。在图片上我们看到，克莱 因瓶的确就象是一个瓶子。
但是它没有瓶 底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了 瓶
壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如 果瓶颈不穿过瓶壁
而从另一边和瓶底圈相 连的话，我们就会得到一个轮胎面。
我们可以说一个球有两个面--外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，
就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样 ，有内外表面之分。
但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在瓶外的
蚂蚁，可以轻松地 通过瓶颈而爬到瓶内去--事实上克莱因
瓶并无内外之分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流
型。
如果我们观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑--克莱
因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句 话说，瓶颈上的某些点和
瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实
却非如此。 事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真
正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活 的
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三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维
空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁 。这是怎么回事
呢？
我们用扭节来打比方。看底下这个图形，如果我们把它看作
平面 上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又
断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三 维空间
中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。
在平面上一条曲线自然做不 到这样，但是如果有第三维的
话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们
要把它 画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或
者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上 处于四
维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的
能工巧匠，也不得不把它做成 自身相交的模样；就好象最高
明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相
交的模 样。题图就是一个用玻璃
吹制的克莱因瓶。

大家大概都知道莫比乌斯带。你可以 把一条纸带的一段扭
180度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。
这也是一个只 有一 莫比乌斯带个面的曲面，但是和球面、
轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边 ）。
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如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你< br>就得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空
间中才能真正有可能完成这个粘合，否 则的话就不得不把纸
撕破一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，
我们就能得到两 条莫比乌斯带 除了我们上面看到的克莱因
瓶的模样，还有一种不太为人所知的８字形克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实
就是同一个曲面--克莱因瓶。

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