荆利杰-关于八月的唯美句子

复数代数形式的四则运算
___________________________ __________________________________________________ _____
________________________________________ __________________________________________
1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．
2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．
3．理解复数代数形式的乘、除运算法则．
4．会进行复数代数形式的乘、除运算．
5．了解互为共轭复数的概念．
一.复数的加法与减法．
1.复数的加、减法法则．
(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a ＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．
2.复数加法的运算律．
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z
1
， z
2
，z
3
∈C，有z
1
＋z
2
＝z2
＋z
1
，(z
1
＋z
2
)＋z
3< br>＝z
1
＋(z
2
＋z
3
)．
二．复数加、减法的几何意义．
→→
复数z
1
，z
2对应的向量OZ
1
，OZ
2
不共线．
→→
→
1．复数加法的几何意义：复数z
1
＋z
2
是以OZ
1
，O Z
2
为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应
的复数．因此，复数的加法可以按照向 量的加法来进行．
→→
2．复数减法的几何意义：复数z
1
－z
2
是连结向量OZ
1
，OZ
2
的终点，并指向被减向量所对应的
复数．
三．复数代数形式的乘法法则
(1)复数代数形式的乘法法则
已知z< br>1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z
1
·z
2
＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
(2)复数乘法的运算律
对于任意z
1
，z
2
，z
3
∈C，有z
1
·z
2
＝z
2
·z
1< br>，(z
1
·z
2
)·z
3
＝z
1
· (z
2
·z
3
)，z
1
(z
2
＋z
3
)＝z
1
z
2
＋z
1
z
3
．
四．共轭复数
已知z
1
＝a＋bi，z
2
＝c＋di，a ，b，c，d∈R，则z
1
，z
2
互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝< br>－d，z
1
，z
2
互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0．
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五．复数代数形式的除法法则
a＋biac＋bdb c－ad
(a＋bi)÷(c＋di)＝
＝＋
i(c＋di≠0)．
c＋d ic
2
＋d
2
c
2
＋d
2
类型一.复数的 加减运算
例1：若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4 C．3 D．－4
解析：z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.
答案：B
例2：已知z
1
=2+i，z
2
=1-2i，则复数z=z
2
-z
1
对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析:z=z
2
-z
1
=(1-2i )-(2+i)=-1-3i，故z对应的点为(-1，-3)，在第三象限.
答案:C
练 习1：3.若复数z
1
=a-i，z
2
=-4+bi，z
1
-z
2
=6+i，z
1
+z
2
+z
3
=1 (a，b∈R)，则z
3
为( )
A.-1-5i B.-1+5i C.3-4i D.3+3i
解析:∵z
1
-z
2
=(a-i)- (-4+bi)=a+4-(1+b)i=6+i，
∴a=2，b=-2，
∴z
3
=1-z
1
-z
2
=1-2+i+4+2i=3+3i.故选D.
答案:D
练习2：已知复数z
1
=(a
2
-2)+(a- 4)i，z
2
=a-(a
2
-2)i(a∈R)，且z
1
- z
2
为纯虚数，则a=________.
解析:z
1
-z
2
=(a
2
-a-2)+(a-4+a
2
-2)i=(a
2
-a-2)+(a
2
+a-6)i(a∈R)为纯虚数，
所以解得a=-1.
答案：a=-1.
类型二.复数的几何意义
例3：若复平面上的▱ABCD中，对应复数6+8i，对应复数为-4+6i，则对应的复数是( )
A.-1-7i B.2+14i C.1+7i D.2-14i
解析：设对应的复数 分别为z
1
与z
2
，则有于是2z
2
=2+14i，z2
=1+7i，故对应的复数是-1-7i.
答案：A
练习1：A，B分别是 复数z
1
，z
2
在复平面内对应的点，O是原点，若|z
1
+z
2
|=|z
1
-z
2
|，则三角形
AOB一定 是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形 解析:根据复数加(减)法的几何意义知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四
边 形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.
答案：B
类型三.复数的乘除运算
z
例4： 设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
1＋i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
z
解析：∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限．
1＋i
答案：A
练习1： 设复数z
1
，z
2
在 复平面内的对应点关于虚轴对称，z
1
＝2＋i，则z
1
z
2
＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
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解析：本题考查复数的乘法，复数的几何意义．
∵z
1
＝2 ＋i，z
1
与z
2
关于虚轴对称，∴z
2
＝－2＋i，
∴z
1
z
2
＝－1－4＝－5，故选B.
答案：B
1＋2i
练习2： 设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )
a＋bi
31
A．a＝
，b＝

22
B．a＝3，b＝1
13
C．a＝
，b＝

22
D．a＝1，b＝3
1＋2i
解析：由＝1＋i可得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，

a ＋bi

a－b＝1，
31
所以

解得a＝，b＝，故选A .
22

a＋b＝2，
答案：A
类型四.共轭复数
－
2－z，
－
例５： 设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则等于( )
z
A．－1－2i B．－2＋I C．－1＋2i D．1＋2i

－< br>2－z，2－－1＋i
3－i－1＋i
解析：由题意可得＝＝＝－1＋2i ，故选C.
z
－1－i
－1－i－1＋i
答案：C
13
练习1： 已知复数z＝－＋
i，则z＋|z|＝( )
22
13
A．－
－
i
22
13
B．－
＋
I
22
13
C.
＋
i
22
13
D．
－
i
22
1313
解析： 因为z＝－＋
i，所以z＋|z|＝－
－
i＋
2222
答案：D < br>1313
－

2
＋

2
＝－
i .
2222
－
练习2： 已知复数z满足(1－i)z＝i
2019
(其中i为虚数单位)，则z
的虚部为( )
1
A.

2
1
B．－
2
1
C.
i
2
1
D．－i
2
解析：∵2019＝4×503＋3，∴i
2019
＝i
3
＝－i.∴z＝< br>－i
111
＝－
i.∴z的虚部为－.故选B.
2
1－i
22
答案：B
1. 设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x
2
－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( )
A．充分必要条件
C．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
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答案：A
2. 若z
1
＝2＋i，z
2
＝3＋ai(a∈R)，且z
1
＋z
2
所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
答案：D
3.已知复数z
1
＝3＋2i，z
2
＝1－3i ，则复数z＝z
1
－z
2
在复平面内对应的点Z位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：A
4. 已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( )
－
A．z－z
为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数
C．i＋1的共轭复数为i－1
D．2＋3i的虚部为3
答案：D
z
1
5. 已知复数z
1
＝a＋i，z
2
＝1＋i，其中a∈R，
是纯虚数，则实数a的值为( )
z
2
A．－1
答案：A
1－z
6.设复数z满足
＝i，则|1＋z|＝( )
1＋z
A．0
答案：C
７． 已知复平面上正方形的三个顶点对应的复数 分别为1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个
顶点对应的复数是______________ __．
答案：2－i
1＋ai
８.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值 为________________
2－i
答案：2
→→
９.已知平行 四边形ABCD中，AB与AC对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD
相交于P点 ．
→
(1)求AD
对应的复数；
→
(2)求DB
对应的复数；
(3)求△APB的面积．
→→→ →→→
答案：(1)由于ABCD是平行四边形，所以AC＝AB＋AD，于是AD＝AC－AB，而( 1＋4i)－(3
B．1 C.2 D．2
B．1 C．－2 D．2
第4页共7页

→
＋2i)＝－2＋2i，即AD对应的复数是－2＋2i.
→→→ →
(2)由于DB
＝AB－AD，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，即DB对应的复数是 5.
1
1
→→
1
→
－，－2

， (3)由于PA
＝
CA
＝－
AC
＝


2

22
5

→
1
→
PB
＝< br>DB
＝


2
，0

，
2
517
→
5
→→→
于是PA
·PB
＝－，而|PA
|＝
，|PB
|＝
，
422
所以
1755
··cos∠APB＝－
，
224
17417
，故sin∠APB＝，
1717
因此cos∠ APB＝－
1
→→
11754175
故S
△
APB
＝
|PAPB|sin∠APB＝×××
＝
.
2222172
5
即△APB的面积为
.
2
______ __________________________________________________ _________________________
____________________ __________________________________________________ ___________
基础巩固
z
１．已知＝2＋i，则复数z＝( )
1＋i
A．－1－3i
答案：B
２． 若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1
答案：C
3π5π

３.若θ∈


4
，
4

，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限
答案：B
４． 设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
答案：3
５．设θ∈[0，2π]，当θ＝________________时，z＝1＋ sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
π5
答案：或
π
44６.在复平面内，z＝cos10＋isin10的对应点在第________________象限．
答案：三
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B．2 C.2 D.3
B．1－3i C．3＋I D．3－i
第5页共7页

→→→→< br>７.在复平面内，O是原点，OA、OC、AB对应的复数分别为－2＋i、3＋2i、1＋5i，那么B C对
应的复数为______________．
答案：4－4i
512
８.已知z
1
＝cosα＋isinα，z
2
＝cosβ－isinβ且z< br>1
－z
2
＝
＋
i，则cos(α＋β)的值为____．
1313
1
答案：

2
９． 设复数z＝lg(m
2
－2m－2)＋(m
2
＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时
(1)z是实数．
(2)z是纯虚数．
(3)z对应的点位于复平面的第一象限．
答案：(1)由m
2
＋3m＋2＝0且m
2
－2m－2>0，解得m ＝－1，或m＝－2，复数表示实数．
(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．
由lg(m
2
－2m－2)＝0，且m
2
＋3m＋2≠0，
求得m＝3，故当m＝3时，复数z为纯虚数．
(3)由lg(m
2
－2m －2)>0，且m
2
＋3m＋2>0，解得m<－2，或m>3，故当m<－2，或m>3时， 复
数z对应的点位于复平面的第一象限．
能力提升
１０.△ABC的三个顶点所对 应的复数分别为z
1
，z
2
，z
3
，复数z满足|z－z< br>1
|＝|z－z
2
|＝|z－z
3
|，
则z对应的点 是△ABC的( )
A．外心
答案：A
１１. 设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
31
A.
＋

42π
答案：D
－
１２. 设复数z
1
、z
2
满足z
1
－z
2
＝－1 ＋i，z
1
＝(a＋2)＋(a
2
＋a－2)为不等于0的实数，则|z2
|＝( )
A.2
答案：C
１３. 复数z
1
、z
2
满足z
1
＝m＋(4－m
2
)i，z
2< br>＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z
1
＝z
2< br>，则
λ的取值范围是( )
A．[－1，1]
答案：C
9
B．[－
，1]
16
9
C．[－，7]
16
9
D．[，1]
16
B．5 C.17 D．26
11
B．
＋

2π
11
C.
－

2π
11
D．
－

42π
B．内心 C．重心 D．垂心
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1４.已知关于x的方程x
2
＋( k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为
____________和_ ___________．

x
0
＝2，

x
0
＝－2，
答案:

或



k＝－22，

k＝22.
１５．设z＝a＋bi(a、b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－b i)＝33＋i，又ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z
－ω|的取值范围．
答案: ∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i，
∴6a＋2bi＝33＋i，


6a＝33，
∴


2b＝1，
∴z－ω＝

∴|z－ω|＝


a＝
2
3
，
∴

1
b＝

2
.

∴z＝
31
＋
i，
22
31

3－sinθ

＋

1
＋cosθ

i
＋
i
－(sinθ－icosθ)＝


22

2


2

3
－sinθ

2
＋

1
＋cosθ

2



2


2
2－2

31

sinθ－cos θ

2

2

＝2－3sinθ＋cosθ＝
＝< br>π
θ－

， 2－2sin


6

ππ
θ－

≤1，∴0≤2－2sin

θ－

≤4
∵－1≤sin


6

6

∴ 0≤|z－ω|≤2，故所求得z＝
|z－ω|的取值范围是[0，2]．
31
＋
i，
22
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