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第三讲 三角形的角与边

一、 基础知识

本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形 中的
边、角不等关系.

1.边与边的关系
(1)在同一个三角形中两边 之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存
在？）；
(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.角与角的关系
(1)三角形的内角和为
180
；
(2)直角三角形中两锐角互余;
(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.

3.边和角的关系
(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;
(2)在两个三角形中,如果有两条边 对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,
如果有两条边对应相等,那么 第三边大,则所对的角也大.

4.不等式变形时常用的性质
(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;
(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;
(3)若a>b,c>0,则ac>bc;
若a>b,c<0,则ac
11

ab
; (4)若a>b>0,则
(5)总量大于任何一个部分量.

5.三角形中的不等关系根源:
(1)两点之间线段最短;
(2)垂线段最短.

二、 例题

第一部分 边的问题
例1. (★★希望杯训练 题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的
所有不同 的三角形.
【分析与解答】:考点：三角形三边关系；

周长等于20的三解形中,最长边小于10,且大于等于
20
,由于边长是整数,所以最长边 可为9,8,7.用穷举
3
法可以得下面8个三角形:(9,9,2)、(9,8,3)、(9 ,7,4)、 (9,6,5)、(8,8,4)、(8,7,5)、(8,6,6)、(7,7,6).

例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（ a,b,c都是质数），且
a+b+c=16，则这个三角形是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形
【分析与解答】:考点：特殊的质数2；“两边之差小于第三边”；
因为a,b,c均为质数 且a+b+c=16,所以a,b,c中有一数为2,设a=2,则b+c=14,所以
|bc|2
.从而有
bc0
或
bc1
.当
bc1
时,b,c均不是整数,不合题意.因此,只有
bc0
即a=2,b=c=7,所以
三角形是等腰三角形.

例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中, 如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那
么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )
311
k1k1k1
1k2
432
A. B. C. D.
【分析与解答】:考点：在a>b>c时，三边关系只需要满足
abc
；

abc0

c
ac

题目可以转化为，已知< br>
b
，求的范围；
a
2



abc
由已知条件易得
ca3c
，即
1c
1
， 选B
3a

例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把 这个三角形的周长分成12cm和21cm
两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )
A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定
【分析与解答】:考点：特殊三角形的三边关系；分类讨论；
设腰长为a，底边长为b，此题可分为两类，

1

1
a a12aa21

22


a14

1

1
第一类无解；第二类解为

，

ba 21
或

ba12
，
22
b5

 

2ab

2ab


故选B.

例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,
求证:
1
(ABACBC)PAPBPCABACBC
.
2

【分析与解答】:易证AB1
(ABACBC)PAPBPC
.
2
延长BP交AC 于H.在
ABH
中BP+PHPHC
中,PC+得,BP+PH+PCBP+PC④+⑤+⑥,得2(BP+AP+PC)<2(AB+AC+BC).

BP+AP+PC1
(ABACBC)PAPBPCABACBC
.
2

例6. (★★★ 第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长 度为4和12,若第三条高的
长也是整数,试求它的长.
【分析与解答】:考点：三边关系，面积的过渡作用；
设第三边C边上高为h,三角形面积为S,高为4,12的两边为a,b,
1112S2S2 S
a4b12chS
22

a=
4
,b =
12
,c=
h
则有
2
2S2S2S2S2S111
412h4126h3

据三角形三边关系定理及推论,得,

h=4或5.又
h为整数
三角形为不等边三角形

h=5.

例7. (★★★)若三角形ABC的三边长是a,b,c,且满足:
a
4
b
4
c
4
b
2
c
2
,b
4
c
4
a
4
a
2
c
2,c
4
a
4
b
4
a
2
b
2
,则
ABC
是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【分析与解答】考点，三边关系之恒等变形；
将三个方程叠加得到，
a
2< br>b
2
a
2
c
2
b
2
c
2
a
4
b
4
c
4
，即
(a
2
b
2
)
2
(b
2
c
2
)
2
(c
2
a
2
)
2
0
， 则
abc
，选D.

第二部分 角的问题
例8. (★★) 如图
0
3-4,在三角形ABC
D,E,
中,
A42
,
ABC
和
ACB
的三等分线分别交于
求
BDC的度数.






【分析与解答】: 考点，三角形内角和；

简单，
BDC
=
88


例9. (★★★19 99年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为

,

,

,且





,


2

.则

的取值范围是( )
A.
36

45
B.
45

60
C.
60

90
D.
45

72

【分析与解答】:考点：三角形内角和； < br>
2



180

2
< br>,又






















由可得,即
00000000

2

,得
5

180

4

,解之, 得
36



45

,






180

3

 180

又




180

180

36

45


45

72
3
,

3
解这个不等式得，选D

例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD对边AD,BC交于F；DC,AB交于E,若
AED
,
AFB
平分线
EOF
1
(EA FBCD)
2
交于O,求证:

【分析与解答】:考点，角的关系；
延长FO交AE于H点，
2EOF2(FHEOEA)2(FAEAFHOEA)
；
EAFBCDFBE2OEAFAEFAE2AFH2OEAFAE

得证.

第三部分 边角综合
例11. (★★★ 2000年江苏 省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大
24
,
则
A
的取值范围是( ).
【分析与解答】:考点：角边对应关系；不等式推倒；
易错点：三角形ABC为“锐角三角形”；

0


因为AB>BC>AC,所以
CAB
.设
B
=x,则
C
=x+
24
,

A180x(x24 )1562x
,从而有所以

44x52,521562x68
所以.

x24

156

2x



1562xx

x24

90

,

例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，A B>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于
点D.
求证:(1)AB+AC>AD+BC;
(2)AB+AC>AP+BP+CP.





【分析与证明】:考点：边角对应关系；
(1) AB>AC,

ABDACD
.
ADBACD
,

ADBABD
.

AB>>BC,

AB+AC>AD+BC.
(2)过点P作< br>EFBC
,交AB,AC于E,F,则
AEFABC
,
AFE ACB
.由(1)知,
AE+AF>AP+EF,BE+EP>BP,CF+FP>CP ,

(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF,
即AB+AC>AP+BP+CP.

例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC
求证：AB+AC
【分析与证明】：考点，特殊三角形的三边关系，恒等变形；
过A作AC’垂直于AB交BC于C’
因为
11
AD*BC’=AB*AC ’，
AB
2
AC
,2
BC
,2

22
所以AB^2+2AB*AC’+AC’^2=BC’^2+2BC’*AD<(BC’+AD)^2
所以AB+AC’又因为在三角形ACC’中，AC- AC’（1）+（2）得AB+AC即AB+AC
例14. （★★★★）如图，在三角形ABC中，A C>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中
点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG


【分析与证明】：考点，边角综合；
取AC中点N,连EN 所以ENAB

EN=12AB 因此角NEF=角G
所以FN=FC- NC=12(AC+CD)-12AC=12CD=12AB
所以NE=FN 因此AF=AG








例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,
aAbBcC
60

求证:
abc

【分析与证明】:考点:边角关系；
由大边对大角知,当
ab
时,A
B;当
ab
时,
AB
所以总有a-b与A-B同号,由此 得(a-b)(A-B)

0.
同理可得(b-c)

(B-C)< br>
0,(c-a)(C-A)

0
即aA+bB

aB+bA,bB+cC

bC+cB,cC+aA



cA+aC.

以上

三式相加得
2(aA+bB+cC)

a(B+C)+b(A+C)+c(A+B)=a(
180
-A)+b(
1 80
-B)+c(
180
-C)=
180
(a+b+c)-(aA+ bB+cC)即
aAbBcC
60


3(aA+bB+cC )

180
(a+b+c).由此,得
abc
.

三、练习题

1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足
mnp
,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?
【分析与解答】:考点：三角形三边关系；
提示,

m+n+p=15,据 三角形三边关系定理,可知p15

2p<15 ,p<
2
mnp
,

p
151515
p
3

32
p为自然数

p=5,6,7.
若p= 7,当n=7时,m=1;当n=6时,m=2;当n=5时,m=3;当n=4时,m=4;若p=6,当n= 6时,m=3;当n=5时,m=4;
若p=5,则m=n=5综上所述,以m,n,p为三边长的三角 形共有7个.

2. (★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数, 其中某两条边长之差为5,若此三角形
周长为奇数,则第三边长的最小值为( )
A.8 B.7 C.6 D.4
【分析与解答】:考点，三边关系；
设a-b=5,由已知可得a+b+c为奇数,所以c为偶数,且c>a-b,所以c的最小值为6.

3. (★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上 述条件的三角形的个
数为( )
A.1个 B.3个 C.5个 D.7个

【分析与解答】:考点：三边关系，
bcabc
；
根据三角形三边 关系定理,可求出三角形的第三边的取值范围是:大于1999而小于2007,再依其周长为偶
数,可 知第三边应为2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,这七个数中选出,而 周长为偶数,已知一边长
为偶数,一边长为奇数,由此可知,可第三边边长应为奇数.所以第三边边长为 2001,或2003或2005.选B

4. （★ 2002，云南省中考题）两根木棒 的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个
三角形，若第三根木棒的长是acm ，则a的取值范围是( ).
【分析与解答】：3提示：根据三角形三边关系定理，可得10-7
5. (★)
ABC
的一个内角的大小是
40
0
,且
AB< br>,那么
C
的外角的大小是( )
A.
140
B.
80
或
100
C.
100
或
140
D.
80
或
140

【分析与解答】：简单，选D

6. (★★★)如图3-5,在
ABC
中,
ACB90
,D ,E为AB上的两点,若AE=AC,


DCE45

则图中与BC等长的线段是( )
-BE



【分析与解答】:考点，角度变换；
因为
245
,AE=AC,所以< br>523453
.又因为
4
是
ADC
的外 角,
5
是
BEC
的外角,
所以:

A B,15B(45

3)(90

A)3 A45

445

,由此得
4145

=
BCD
,
所以BC=BD.

7. (★★★)如图 3-6,在
ABC
中,
B
的平分线与
C
的外角平分线 相交于D,
D40
.则
A
等于
( D )
A.
50
B.
60
C.
70
D.
80





【分析与解答】:考点，角度关系；
依题意有
ABC21
,
ACE22

ACEABC2(21)
,根据三角形内角和定理 的推论,
有
ACEABCA
,
21D
,所以:




A2D

D40

A80

.
8. (★★ 第12届希 望杯竞赛题)如图3-9,
127.5
,
295
,
33 8.5
求
4
的大小.


【分析与解答】:
4
=
19
.

ADC23
,
ADC14180



2314180




9538.527.54180


419


9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8 ,BE是
ABD
的平分线,CF是
ACD
的平分线,BE与CF交于G,若
BDC140
,
BGC110
,求
A
的度数.

【分析与解答】:延长BD交AC于H,则
BDCHCDDHC


DHCAABH


BDCAABHHCD


BGCGECECG,GECAABE



BGCAABEECG



2BGC2A2ABE2ECG

即
2BGC 2AABHACD
由-得
2BGCBDCA



A2110

140

80



10. （★★★★）如图，三角形ABC中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ垂直于AD于Q，求
证：BP=2PQ

【分析与证明】：考点，三角形其他；
三角形ADC逆时针旋转120度即得三角形ABP
所以AD于BE成120度角
那么角BPQ=60度，角PBQ=30度，由BQ垂直于AD
所以BP=2PQ











课外小故事
五枚金币
有个叫阿巴 格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又
累又怕，到最后 快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴
格的手上，说： “人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是
埋在草地里的那 一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉
人生一世.今天 我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多
看看，不要让 你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了
家乡，成了 一名优秀的船长.
珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.