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《直角三角形的边角关系》复习教案

教学目标
1、通过复习进一步 理解锐角三角形函数的概念，能熟练地应用sinA，cosA，
tanA表示直角三角形(其中有一个 锐角是A)中的两边的比，熟记30°，45°，60°
角的各三角函数的数值，会计算含有这三个特殊 锐角的三角函数值的式子，会由
一个特殊锐角的三角数值说出这个角的度数.
2、理 解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，直角三角形的
两个锐角互余及锐角三角函数解直角三 角形，并会用解直角三角形的有关知识来
解某些简单的实际问题(包括一些能用直角三角形解的斜三角形 问题)从而进一
步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识.
3、通过解答与三角形或四边形有关的问题，增强分析能力和逻辑推理能力.
教学过程:
一、情景导入
我们地区大棚是主要的经济来源之一，几乎家家都有大棚，那你们知道大棚是怎
么建的吗？应用到我们学习的哪些数学知识呢？例如：怎样在一块对边平行的地
面上建一个矩形 棚身？
学生思考，小组交流，得到解决方案。
有的说：用量角器测量直角。————方法正确，但是实际操作不可行。
有的说：勾股定理的逆定理，分别测量6米，8米，10米，在地上测量，找到直
角三角形。
有的说：利用矩形的判定方法，对角线互相评分且相等。

直角三角形在我们的 实际生活也有应用。那直角三角形还有哪些性质呢？让我们
一起回顾一下：
二、教学过程
一）知识回顾
1、直角三角形中的边角关系：
B
（1）三边关系：_________________________
（2）两锐角关系：_________________；
（3）边、角间的关系 正弦sinA=
余弦cosA=
正切tanA=
2、特殊角的三角函数值

sinA
cosA
tanA
30°



45°



斜边
A的对边
C
A
A的邻边
60°



3、解直角三角形的应用
①仰角、俯角：
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角
铅
在水平线下方的叫做俯角。
垂

线


②坡度（坡比）、坡角：坡面的铅直高度h和水平宽度

的比叫做坡
度，即i= 坡面与水平面的夹角

叫做坡角。
h



视线
仰角
俯角
视线
水平线
i=

l
h
l

③方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角。
北
如图北偏东60°。

60
注意：东北方向指北偏东45°方向，西南方向是指南偏西45°方向。
西
O
A
东
二）、典例探究
考点（一）：求三角函数值
南
例题1 如图，已知直线l
1
∥l
2
∥l
3
∥l
4
，相邻两条平行直线间的距离都是1，如
果正方形ABCD的四个顶 点分别在四条直线上，则tanα=__________

考点（二）：特殊角的三角函数值
例题2（﹣1）
2011
﹣（）
3
+（cos68°+
﹣
）
0
+|tan60°-1|+
3
8


考点（三）：解直角三角形
例题3 如图，一艘渔船以6海里时的速度至西向东航行，小岛周围 海里内
有暗礁，渔船在A处，测得小岛 P在北偏东60°方向上，航行2小时后在B处，
测得小岛P在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航 向有没有触礁危险？

P
北
60°
A
30°


三、考点精炼：
B
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5， BC=3，则cosA的值是________
2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则

tan∠ABC=___________

3、如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：
的长度是____________m.


4、如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里
的 点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处，海轮
航行的距离AB长是（ ）

A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里

5、计算：（1）sin
2
45°+cos30°•tan60° （2）



6、如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角 为32°，底部C
的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为多少m。
（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6 ）
2
cos45
0
sin60
0
2tan45
0

2
，堤高BC=10m，则坡面AB


四）本课小结
本章的重点是直角三角形中锐角三角函数的定义，特殊锐角的三角函数值，
及互余两角的三角函数关系，运用这些知识解直角三角形的实际应用，既是重点
也是难点.

解直角三角形的思路是：
(1)解直角三角形的方法可以概括为“有 弦(斜边)用弦(正弦，余弦)，无弦用切(正
切，余切)，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边 时，可用正弦或余弦；既
可由已知数据又可由中间数据求解时，取原始数据，忌用中间数据.
(2)解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形的中线，高，角平分线，周
长，面积等)一般将非 基本元素转化为基本元素，或转化为基本元素间的关系式，
再通过解方程组求解.
解直角三角形在实际应用中的解题步骤如下：
(1)审题：要弄清仰角，俯角，坡度，坡角，水平距离，垂直距离，水平等概
念的意义，要审清题意.
(2)画图并构造要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可添加适当的
辅助线把它 们分割成一些直角三角形和矩形(包括正方形).
(3)选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.
(4)按照题中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答
案及注明单位
五）课后练习
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是________
2、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大两倍，那么锐角A的各三角函数值（ ）

A．都扩大两倍 B．都缩小两倍 C．不变 D．都扩大四倍 < br>3、轮船从B处以每小时25海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测
灯塔A位于南 偏东75°方向上，轮船航行1小时到达C处，在C处观测灯塔A
位于北偏东60°方向上，则C处于灯 塔A的距离是（ ）海里．

A．25


4、甲、乙两条轮船 同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方
向航行，乙轮船以每小时15 海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与
B．25 C．25 D．50

乙船会和，于是甲船改变了行进的方向 ，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇、
假设乙船的速度和航向保持不变，求：港口A与小岛 C之间的距离？


5、如图，线段AB，CD表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间 的距离BD是60
米．某人站在A处测得C点的俯角为37°，D点的俯角为48°（人的身高忽略不< br>计），求乙楼的高度CD．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin48°≈
≈< br>



，tan48°
）


三、教学反思
本课是对于直角三角形边角关系的一堂复习课，“解直角三角形仰角、俯角”< br>的应用要求学生首先掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断初步培养学生将
实际问题转化为解 直角三角形问题的能力．体验数学思想（方程思想和数形结合
思想）在解直角三角形中的魅力，这节课是 学习了解直角三角形后的一个探究与
实践课，应用解直角三角形的知识来解决现实生活中建筑物高度的测 量和类似问
题． 成功之处：1、学生讲解思路清晰，点评及时全面；2、学生参与课堂展示
积极高涨，敢于表达自己的不同见解，有几个题目出现了一题多解情况；3、在
展示过程中，学生不怕挫 折，不怕失败，对每一个题目积极探究避繁就简，寻求
解题的最优方案。 在本课的教学中，我利用解 直角三角形的知识和学生一起解
决了一些应用题，类似于方程、函数、不等式，解直角三角形的知识也是 解决实

际问题的有效工具，利用它解决实际问题的一般过程也是实际问题—数学问题—< br>数学问题的答案—实际问题的答案．在教学过程中要引导学生结合实际问题利用
解直角三角形的知 识来解决，也可以引导将这一过程与方程、函数、不等式解决
实际问题的过程进行比较，进一步体会数学 在解决数学问题中重要作用．在教学
过程中没有将实际问题进行分类，更没有给出解决不同类型实际问题 的套路，从
而避免学生生搬硬套，不利于学生的思维能力，限制了学生解决实际问题的能力
的发 展．练习题和思考题都是根据学生实际进行编制，尽量从学生周围举出例子，
这样既能激发学生的学习兴 趣，又比较生动形象主要是运用解直角三角形的知识
来解决有关仰角与俯角的应用题．使学生形成把实际 问题通过建立数学模型，转
换成数学问题进行求解的思想，并运用构建方程的思想达到数与形的结合．培 养
学生探索知识，理论联系实际的能力． 不足之处：本课主要是运用解直角三角
形的知识来 解决有关仰角与俯角的应用题．有时学生感觉较难，由于学生的层次
不一样，有些学生掌握较好．通过本 节课的学习，绝大多数学生能灵活运用两种
方法进行解题．但也有少数学生不能巧妙设未知数、运用方程 的思想进行解题．因
此，课后仍要加强训练，并做好个别辅导工作． 教学效果：这堂课由于是一堂应用的复习课，一些基础知识学生基本掌握，学生学得轻松，基本上每个学生都
能参与到活动中来． 达到了本课的教学目标，当然有少部分学生胆小加上性格内
向，老师对他们注意不够，在今后的教学中要 加以注意．