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第一部分 单元复习与检测
第1章 三角形的初步知识单元复习

1.了解三角形的有关概念，理解三角形的三边关系，理解三角形的内角和等于180°及外角的性质.
2.了解全等三角形的概念，掌握三角形全等的判定方法，会证明两个三角形全等，掌握全等三角形的性 质.
3.理解三角形是最简单的几何图形，能在复杂的几何图形中找到三角形，并运用三角形的边角关 系以及三
角形的全等等知识解决问题.

考点一：三角形的三边关系
例1 （玉环市）如果三角形的两边长分别是5cm,7cm，那么这个三角形第三边的长可能是( )
A.12cm B.10cm C.2cm D.1cm
例2 （杭州市江干区）一根长为1的绳子恰好围成一个三角形，则这个三角形的最长边x的取值范围
是 .

1.三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.
2 .在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验.检验时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

1.（天台县）下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A.4，5，9 B.8，8，15 C.5，5，10 D.6，7，14
2.（宁波市海曙区）若4，5，x是一个三角形的三边，则x的值可能是 .（写一个即可）
考点二：三角形的内角和与外角的性质
例3 （杭州市西湖区）在△ABC中，△A，△C与△B的外角度数如图所示，则x的值是( )
A.60 B.65 C.70 D.80
例4 （金华市）将如图所示的一把直角 三角尺放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE,EF分别经过点
B,C，若△A＝70°，则△ ABE+△ACE＝ .
例5 如图所示，△MON＝90°，点A,B分别在OM,ON上运动（不与点O重合）.
（1）如图1所示，BC是△ABN的平分线，BC的反向延长线与△BAO的平分线交于点D.
①若△BAO＝60°，则△D的大小为 .
②猜想：△D的度数是否随点A,B的移动发生变化？请说明理由.
（2）如图2所示，若△ ABC=
3
△ABN，△BAD=
3
△BAO，则△D的大小为 ；若 △ABC=
n
△ABN，△BAD=
n
△BAO，
则△D的大小为 （用含n的代数式表示）.
1111

图1 图2

1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形的外角性质：①三角 形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3.三角形内角和定理 主要应用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形
中角的关系，用代数方 法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.运用
时注意结合三角形角平 分线、高线的定义.

3.（杭州市萧山区）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE是角 平分线，若△B＝72°，△DAE＝16°，则△C＝ .

(第3题） (第5题）
4.（嘉善县）在△ABC中，若△A=
2
△B=
3
△C，则△A＝ ，△ABC是 三角形.
5.如图所示，在△ABC中，AE是△CAB的平分线，D是AB上的点，AE,CD相交于点F.

（1）若△ACB＝△CDB＝90°，求证：△CFE＝△CEF.
（2）若△ACB＝△CDB＝m（0°＜m＜180°）.
①求△CEF-△CFE的值（用含m的代数式表示）；
②是否存在m，使△CEF小于△CFE？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由.











考点三：命题与证明及简单的几何作图
例6 （杭州市萧山区）判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请给出证明.
（1）若a＞b，则a
2
＞b
2
.
（2）三个角对应相等的两个三角形全等.









例7 （杭州市西湖区）如图所示，已知线段a，b和△ 1，用直尺和圆规作△ABC，使AB＝a，AC＝b，△A＝
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△1.（不 写作法，保留作图痕迹）









1.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命 题非真即假.要说明一个命题是真命题，一般需要推理、
论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个 反例即可.
2.尺规作图指只用圆规和直尺（无刻度）作出几何图形，主要依据几何图形的基本性质或 判定定理作图，
常见的尺规作图有作线段的中垂线、作一个角等于已知角和作角的平分线等，其作图原理 大多与全等三角
形有关.

6.（绍兴市柯桥区）下列选项中，可以用来证明命题“ 若|a|＞0，则a＞0”是假命题的反例的是( )
A.a＝-1 B.a＝0 C.a＝1 D.a＝2
7.（杭州市江干区）如图所示，P是△ABC内一点.用直尺和圆规作图：
（1）过点P作BC的垂线，垂足为D；过点P作AB的垂线，垂足为E.
（2）在射线BC上取一点F，使BF＝2BD-PE.






考点四：全等三角形的判定
例8 （杭州市江干区）如图所示，在 △ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，BE，CD相交于点P，
PB＝PC.求证： AD＝AE.

例9 （宁波市北仑区）如图所示，点E在△ABC的外部，点D在边BC 上，DE交AC于点F，若△1＝△2＝△3，
AB＝AD，求证：

（1）△E＝△C.
（2）△ABC△△ADE.

全等三角形的判定：
（1）判定定理1：SSS——三条边分别对应相等的两个三角形全等.
（2）判定定理2：SAS——两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.
（3）判定定理3：ASA——两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.
（4）判定定理4：AAS——两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
（5）判定定理5：HL——斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

8.如图所示，点E，F在BC上，BE＝CF，△A＝△D，△B＝△C，AF与DE交于点O.

（1）求证：△ABF△△DCE.
（2）若△AOE＝80°，求△OEF的度数.






9.（天台县）如图所示，△ACB＝90°，AC＝BC，AD△CE，BE△ CE，垂足分别为D，E，若AD＝a，DE＝b.

图1 图2

（1）如图1所示，求BE的长，并写出求解过程.（用含a，b的式子表示）
（2）如图2所示，当点D在△ABC内部时，直接写出BE的长： .（用含a，b的式子表示）







考点五：全等三角形的性质与应用
例10 （嘉兴市）用尺规作图作△BAC的平分线AD，痕迹如图所示，则此作图的依据是( )





例11 （绍兴市柯桥区）观察发现：
如图1 所示，OP平分△MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA＝OB，再在OP上任取一点D，连结AD，BD.请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由.
拓展应用：

< br>如图2所示，在△ABC中，△ACB是直角，△B＝60°，AD，CE分别是△BAC，△BCA的平 分线，AD，CE相交于
点F，请你猜想FE与FD之间的数量关系，并说明理由.

图1 图2






1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
2.①全等三角形的对应边 上的高、中线以及对应角的平分线相等；②全等三角形的周长相等，面积相等；
③平移、翻折、旋转前后 的图形全等.
3.要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地，对应边、对应角是对两个 三角形而言，而对
边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角.

10.（杭州市拱墅区）如图所示，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，P B，AB上的点，且AM＝BK，
BN＝AK，若△MKN＝43°，则△P的度数为

11.（临海市）如图1所示，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连 结AO，BO，并分
别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连结CD.
（1）求证：AB＝CD.
（2）如图2所示，受地形条件的影响，采取以下措施：延长AO 至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行
线CE，延长BO至点F，连结EF，测得△CEF＝14 0°，△OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽
度AB.

图1 图2

备用图

(第11题）

本章主要易错点
1.利用三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形时 ，要注意三边中的任意两边之和都要大于第三边，
而习惯上我们一般把较小两条线段的和与最长的线段作 比较，当已知三角形两边求第三边的取值范围时既
要考虑两边之和大于第三边，又要考虑两边之差小于第 三边.
2.三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形的内部，但高线不一定在三角形的内部，因此 在解决涉及
到三角形高线的问题时要注意图形的不确定性.
3.判定全等有五个定理：SSS ,SAS,ASA，AAS和HL，注意“SSA”是一个假命题，证明时注意选用正确的判定定
理.
4.几何命题的证明过程中，要注意思维清晰、推理严谨，要保证推理过程完整并合理.
练习
1.（绍兴市柯桥区）在△ABC中，△A是钝角，下图中作BC边上的高线正确的是( )
A.
B.
C. D.
2.（金华市婺城区）对于命题“若a
2
＞b
2
，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题
的是( )
A.a＝3，b＝-2 B.a＝-2，b＝3 C.a＝2，b＝-3 D.a＝-3，b＝2
3.（嵊州市）如图所示，已知△ABC△△EDF，点F，A，D在同一条直 线上，AD是△BAC的平分线，△EDA＝30°，
△E＝70°，则△ADC的度数是 .

(第3题） (第5题）
4.（嘉兴市）当三角形中有一 个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中
β称为“特征角”.若一个 “特征三角形”是锐角三角形，则其“特征角”β的取值范围是 .
5.如图所示， 点B,C,E在同一条直线上，AC＝BC，CD＝CE，△ACB＝△DCE＝60°.现有下列结论：①△A CE△△BCD；
②CG＝CF；③若连结GF，则GF△BE；④△ADB△△CEA.其中一定成立 的有 (填序号).
6.（嘉兴市）如图所示，在△ABC中，AB＝2AC，AD平 分△BAC，且AD＝BD.求证：CD△AC.



(第6题）