愚人节表白句子-人与狗

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精锐教育学科辅导讲义
学员编号： 年 级：九年级 课 时 数： 3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 张俊
授课类型
授课日期及时段
家庭作业
T 同步课堂


C专题 T 能力提升
教学内容
同步课堂
一、知识点梳理：
1.三角形一边的 平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.
A
E
A
D
B
C
D
E
B
C

DEADAE
ADAEADAEDBEC


,,
BCABAC
DBECABACABAC
2.三角形一边的平行线 性质定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的 三边对应成比例.

三角形重心要掌握三点：
1.定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.
2.作法：两条中线的交点.
3.性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.
3、三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边.
A

D
B
E
C

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三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三 角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的
对应线段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边.
E
A
D
B
C

4、平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
AD
E
B
C
F

用符号语言表示：

AD∥BE∥CF,

ABDEBCEFABDE
,,
.
BCEFACDFACDF
平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行的直线所截， 如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.

（一）、比例式
比例式：1、设2y－3x＝0（y≠0），则
xy
＝ ．
y
比例中项：1、已知线段a=2，b=8，若线段c是线段a与b的比例中项，则c＝ ．
（二）、A字型
1、在△ABC中，已知点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC． 如果AD＝1cm，AB＝3cm，DE＝4cm，那么BC＝
cm．
2、已知：在 △ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC．如果AD＝4cm，AB＝6cm，DE＝3cm， 那么BC
＝ cm．
A

3、如图，在△ABC中，DE∥BC，




AD1DE
＝， 则＝ ．
DB2BC
B
D
E
C
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4、已知：如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分 线，过点D作DE∥CB，交AB于点E，
DE＝6，则AB＝ ．



（三）、X型
1、如图，ABCD，AD与BC交于点O，若
A
O
C
D

B
D
AD1
＝，
3
DC
E
B
C
OC5AO

，则= ．
OD3BO

2、如图，E是平行四边形ABCD边AD上一点，且AE∶ED=1∶ 2，CE与BD交于点O，则BO：OD= ．
A
E
O
B
C
D
（四）、中间比
1、如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AB，那么下列比例式中正确的是（ ）
（A）
AEBFAECFDEADDEDF
＝； （B）＝；（C）＝； （D）＝．
EBFCEBFBBCBCAB
B
DC
（五）、重心
1、如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为 ．
2、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3.6，BC＝4.8，点G为△ABC的重心，则 点G到AB中点的距离为 ．
3、如图，BE、CD是△ABC的边AC、AB上的中线，且相交于点F．则


O
F
E

B
C

4、如图，已 知点O是△ABC的重心，过点O作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若BC＝6，则EF＝ ．
A



E
D
C

F
DF
＝ ．
A
FC




B
D
F
E
C



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专题

一、填空题：
1．若

xy

:y1:2
，则
x:y
___ _．
2．已知线段
a
，
b
，
c
满足关系式
3．已知
ab

，且
b3
，则
ac
_ _．
bc
xyz

，且
xyz18
，则
x2yz
．
345
4．如图1－1所示，在△
ABC
中，
D
，
E
分别在
AB
，
AC上，且
DE
∥
BC
，
AD=3
，
AB=5，
CE=1
，那么
AC=
．
A
A< br>D
E
F
C
A
A
E
D
E
B< br>F
C
D
B
1－1
E
B
1－2
CB
1－3
C
D
1－4

AD1EF

，那么

．
DB2BF< br>6．如图1-3所示，在△
ABC
中，
BD
平分
ABC，交
AC
于
D
，
DE
∥
BC
，交AB
于点
E
，若
AB=6
，
DE=4
，
则
BC=
．
7．如图1－4所示，
EF
平行< br>BC
，
FD
平行
AB
，
AE=18
，
BE=12
，
CD=14
，则
BD=
．
5．如图1－2所示，在△
ABC
中，
DE
∥
BC
，如果
A
D
E
A
D
E
F
D
AE
G
D
F
A
C
B
1－5
C
B
1－6
B
F
1－7
C
B
E
1－8
C

8．如图1－5所示，△
ABC
中，
DE
∥
B C
，
AB4
，
AC8
，
DBAE
，则
AE
．
9．如图1－6所示，△
ABC
中，< br>DE
∥
FG
∥
BC
，若
DE:FG:BC=2:5: 9
，则
AD:DF:
FB=
．
10．如 图1－7所示，
AB
⊥
BC
于
B
，
EF
⊥
BC
于
F
，
DC
⊥
BC
于
C< br>，
AB=4
，
DC=14
，且
BF:FC=2:3
． 则
EF
的值为 ．
11．如图1-8所示，
ABCD
中，
DE
平分
ADC
，
AB=2
，
AD =3
，则
DF：FE=
．
CD4
， 12．如图1－9所示，直角梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
DCBC
，
AD3
，
BC6
，则
AO< br> ．
A
D
O
B
1－9
C


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13．如图1－10所示，△
ABC
中 ，
DE
∥
AC
，
FD
∥
AB
，则
A
DEDF

的值为 ．
ACAB
D
O
1－12
F
C
B
E
D
C
A
BF
E
B
D
1－10
C
C
F
A
E
E
A

14．在△
ABC
中，如果
ABAC 5
厘米，
BC8
厘米，那么这个三角形的重心
G
到
BC< br>的距离是 ．
15．如图1－11所示，
E
为
A BCD
的边
AD
延长线上一点，且
D
为
AE
的黄金 分割点，即
AD
交
DC
于点
F
，已知
ABD
1－11
B
1-13
51
AE
，
BE2
51
，则
CF
的长是 ．
16．如 图1－12所示，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
AC
，
BD
相交于点
O
，过
O
点做
AD< br>的平行线交
AB
于点
E
，
交
CD
于
F
，若
AD3
，
BC5
，则
EF
．
17．如果线段
a
，
b
满足
2a3ab5b0< br>，则

18．平行四边形
ABCD
中，对角线
BD
的 四等分点为
O
1
，
O
2
，
O
3
，
AO
1
的延长线交
BC
于
E
，
EO
3
的延长线交
AD
于
F
，则
AF:FD
．
19．如图1－13所示，在△
ABC
中，
C
90
，
AC3
，
D
为
BC
上一点，过点
D
作
DEBC
交
AB
于点
E
，
若
ED1< br>，
BD2
．则
DC
的长为 ．
20．如图 1－14所示，边长为8的正△
ABC
，
DE
∥
BC
，面积 比
S
△BCD
:S
△ABC
1:4
，则
EC< br> ．
A
22
a
的值是 ．
b
A
B
F
E
Q
H
D
A
D
B
E
C
C
1-14
1-15
D
C
F
E
B
1-16

21．若
k
abc

，则
k
= ．
bcacab
EFEQ

．
ABCD
23．如图1－16所示，
E
是△
ABC
中BC
边的中点，
F
是
BC
边上任一点，过
F
作
FH
∥
AE
，交
BA
的延长线
FDFH
 
． 于点
D
，交
CA
于点
H
， 则
AEAE
22．如图1－15所示，四边形
ABCD
，
EQ
∥
CD
，
EF
∥
AB
，则



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24．已知
a:b:c2:3:5
，
abc5
，求
a
，
b
，
c
的值 ．
25．已知
aa
a
1
a
2
a
35
aa

，则
12
= ，
13
= ．
b
1
b
2
b
3
8b
1
b
3
b
1
b
2
a c24ac

，则= ．
bd34bd
a2b3c

． 27．已知
a:b:c2:3:4
，则有
a
26．已知
28．
2
，< br>3
，
6
的第四比例项是 ．
二、解答题：
1．如图1－31所示，
B
，
C
是△
APM
边
AP
上的两点，过
B
作
BN
∥
AM
交
PM于
N
，过
N
作
ND
∥
MC
交
AP
于
D
．
求证：
PAPC

．
PBPD
M
N
A
BCD
1-31
P
2．如图1－32所示，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，对角线
AC
，
BD
相交于
O
，过
O
作< br>AD
的平行线与两腰分别相
交于
E
，
F
，比较
OE
与
OF
的大小关系，并说明理由．
A
E
O
D
F
B
1-32
C
3．已知线段
a
，
b
，
c
如图1－33所示，求作线段
x
，使
x
a
b
c
1-33
bc
．
2a






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4．如图1－34所示，在△
ABC
中 ，
ABAC12
，
BC4
，
BD
平分
AB C
，
DE
∥
BC
．
求△
ADE
的周长．
A
E
D
B

5．如图1－35所示，已知在△
AB C
中，
EFCD
是菱形，且
AD3
，
BF5
． 求菱形
EFCD
的边长．
A
1－34
C
E
D
B

6．如图1－36 所示，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相较于点< br>O
，
E
是
CD
的中点，
AE
交
BD
与点
F
．
求
F
1－35
C
DF
的值．
FO
D
F
O
A
E
C

1-36
B

7．如图1－37所示，在△
ABC
中，EF
∥
BC
,
DF
∥
EC
．求证：
A E
是
AD与AB
的比例中项．
A
A
D
D
E
B
F
C
1-37
B
1-38
E
C
F

8．如图1－38所示，在△
ABC
中，
AD
11
AB
，延长
BC
到点
F
，使得
CFBC
．连接
DF
，交
AC
于点
E
，
33
求证：（1）
DEEF
；
（2）
AE2EC
．


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9．如图1－39所示，
AD
∥
EF
∥
BC
，
AD5
，
BC7
，
E
是
AB
的黄金分割点，
AEBE
．
求
EF
的长．
A
D
EF
B
1-39
C

10．如图1－ 40所示，已知
E
是平行四边形
ABCD
的边
CD
上的一点 ，连接
AE
并延长交
BC
的延长线于点
F
．
求证：
AD:FBDE:DC
．
A
D
E
B
C
1-40
F

11． 已知
a
，
b
，
c
，
d
四条线段能够成比例 ，
a2
厘米，
b3
厘米，
c5
厘米．求线段
d
的长度．




12．如图1－41所示，在
D
ABCD
中，
E
是
AB
的中点，
AF
C
AG
1
DF
，
EF
交
AC
于点
G
．求的值．
AC
2
F
G
A
E
1-41
B
< br>13．如图1－42所示，
D
为△
ABC
中
BC
上一 点，
EF
∥
BC
交
AD
于点
H
．求证：< br>A
EHBD

．
HFCD
E
H
F
B
D
1-42
C

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14．如图1－43所示，在△
ABC
中，
ADBC
于点
D
，
BEAC
于点
E
，
H
为
AC
上一点，且
AHAD
，过
点
H
作
HF
∥
BC
交
AB
于点
F
．
求证：
FHBE
．
A
E
F
B
D
1-43
H
C

课后总结：





能力提升
一、填空题：
1．如图1—61所示，梯形
ABCD
中，
DC∥
AB
，
DC
=3，
AB
=5,
E
是
DA
的黄金分割点，且
EF
∥
AB
交
BC
于点
F
，则
EF
= ．
A
DC
A
C
1
B
2
B
1
C
A
E
D
D
2
D
1
E
1
E
2
E
3
E
n
E
A
1-61
F
B
F
D< br>3
D
n
C
2
A
1
B
A
2< br>1-62
B
1-63
C
B
1-64
C


ABC
的边
BC
，
CA
，
AB
的三等分点，若△
ABC
的2．如图1—62所示，点
A
1
，
A
2
，
B
1
，
B
2
，
C
1
，
C
2
分别是△
周长是
m
，则六边形
A
1
A
2
B
1
B
2
C
1
C
2
的周长是 ．
3．如图1—63所示，
AD
∥
EF
∥
BC
,
AD
=12，
BC
=17，
AE
:
EB
=2:3，则
EF
= ． 1
a
；若
D
2
，
E
2
分别是
D
1
B
，
E
1
C
的中
2
1131 37
点，则
D
2
E
2
=
(aa)a
； 若
D
3
，
E
3
分别是
D
2
B，
E
2
C
的中点，则
D
3
E
3
=
(aa)a
；…；若
D
n
，
224248
4．△
ABC
中，
BC
=
a
，若
D
1，
E
1
分别是
BC
，
AC
的中点，则
D
1
E
1
=
E
n
分别是
D
n1
B
，
E
n1
C
的中点，则
D
n
E
n
= ．
5．如图1—64所示，△
ABC
中，
BC
=
a
．
（1）若
AD
1
=
11
AB
，
AE
1
=
AC
，则
D
1
E
1
= ；
3
3
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11
D
1
B
，
E
1
E
2
=
E
1
C
，则
D2
E
2
= ；
3
3
11
（3 ）若
D
n1
D
n
=
D
n1
B
，
E
n1
E
n
=
E
n1
C
， 则
D
n
E
n
= ．
33
6．如图 1—65所示，已知
DE
∥
BC
，且
BF
：
EF< br>=3：2，则
AC
：
AE
= ，
AD
：
DB
= ．
（2）若
D
1
D
2
=
A
A
D
B
D
F
B
1-65
C
E
A
F
E
D
F
O
E
C
E
M
B
1-66
F
C
C1-67
D
A
1-68
B

7．如图1—66所示，四 边形
ABCD
中，
A=C=90
，
M
为
BD< br>上一点，
MEAB
于点
E
,
MFCD
于点
F
，
MFME

= ．
BCAD
8．如 图1—67所示，
AF
∥
BE
∥
CD
，
AF
=12，
BE
= 19，
CD
=28．则
FE
：
ED
的值等于 ．
9．如图1—68所示，
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，
E
是
CD
的中点，
AE交
BD
于点
F
．则
DF
：
FO
= ．
则
10．如图1－69所示，
DC
∥
MN
∥
PQ
∥
AB
，
DC2
，
AB3.5
，
DMMPPA
，则
MN
，
PQ
．
C
D
D
M
P
A
1-69
C
N
Q
B
A
E
L
1
C
k
F
E
N
M
D
L
2
F
A
B
1-701-71
B
L
3

11．如图1－70所示，在梯形
A BCD
中，
AB
∥
CD
，
AB3CD
，
E
为对角线
AC
的中点，直线
BE
交
AD
于点F
，
则
AF:FD
的值等于 ．
CN4.2
，
AM3
，
BM5
，
EF12
，12．如图 1－71所示，
L
1
∥
L
2
∥
L
3
，则
DN
，
EK
．
13 ．如图1－72所示，已知
A
B
D
E
ABDF

, 则
l
1
∥
l
2
∥
l
3
，此命题是 （真、假）命题．
BCEF
1
2
C
1-72
F
3

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课后作业：
1．如图1－83所示，已知D
是△
ABC
中
AC
边的中点，过点
D
的任意 直线交
AB
于点
E
，交
BC
的延长线于点
F
．
求证：
BECFBFEA
．
A
E
D
B
1-83
C
F

2．如 图1－84所示，在△
ABC
中，
D
是
AB
的中点，
E
是
AC
上一点，延长
DE
交
BC
的延长线于点
F
．
求证：
AEBF

．
ECFC
A
D
E
BF
C
1-84


3．如图1－85所示，
D
，
E
是△
ABC的
AB
，
BC
边上的点，连接
DE
并延长交
A C
的延长线于点
F
，
BD:DEAB:AC
．
求证：△
EFC
是等腰三角形．
A
C
E
B
1-85
F
D

4．如 图1－86所示，已知四边形
ABCD
是正方形，
FG
∥
CD
．求证：
BFGF
．
D
C
F
A
B
1-86
G
E





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5．如图1－87所示，在平行四边形
ABCD
中，
E
为
AB
中点，
G
是对角线
AC上一点，且
AG:GC1:5
，
EG
的
延长线交
AD
与点
F
．求
DF:FA
的值．
DC
F
A
G
E
1-87
B

6． 如图1－88所示，
D
为△
ABC
中
AC
边上的一点，E
为
CB
延长线上的一点，
ADEB
，
DE
交
AB
于点
F
．求
证：
EFBCDFAC
．
A
D
F
E
B
C
＊188

7．如 图1－89（1）所示，
AB
⊥
BD
，
CD
⊥
BD
，垂足分别为点
B
，
D
，
AD
和
BC相交于点
E
，
EF
⊥
BD
，
111
+ =
成立（不要求证明）．
ABCDEF
若将图1－89（1）中的垂 线改为斜交，如图1－89（2），
AB
∥
CD
，
AD
与< br>BC
相交于点
E
．过点
E
作
EF
∥
AB
，交
BD
于点
F
．则：
111
+=
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； < br>ABCDEF
垂足为点
F
，我们可以证明
（2）请找出面积
S
△ABD
，
S
△BED
和
S
△BDC
间的 关系式，并给出证明．
A
E
B
（
A
C
B
1-89
E
D
）
C
）
（
1
F
D< br>F
2

8．如图1－91所示，如果
M
是△
ABC< br>中
BC
边的中点，
P
是
CM
上任一点，过点
P
作
PR
∥
AM
，交
BA
延长线
于点Q
，交
CA
于点
R
．求证：
Q
A
R< br>C
P
M
191
B
PQPRBC

．
AMAMBM
＊



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9．如图1－90（1）所示，
D
是△
ABC
的
BC
边上的中点，过点
D
的一条直线交
A C
于点
F
，交
BA
的延长线于点
E
，
AG
∥
BC
交
EF
于点
G
，我们可以证明
EG DCED

AG
成立（不要求证明）．
（1）如图l－90（2）所 示，若将图1－90（1）中的过点
D
的一条直线交
AC
于点
F，改为交
CA
的延长线于点
F
，
交
BA
的延长 线于点
E
，改为交
BA
于点
E
，其他条件不变，则
EGDCEDAG
还成立吗？如果成立，请给
出证明；如果不成立，请说明理由； （2）根据图1－90（2）所示，请你找出
EG
，
FD
，
ED
，
FG
四条线段之间的关系，并给出证明；
（3）如图l－90（3）所示 ，若将图1－90（1）中的过点
D
的一条直线交
AC
于点
F
，改为交
CA
的反向延长线于点
F
，其他条件不变，则（2）得到的结论是 否成立？

E
F
A
B
F
D
1（）
G
A
G
C
G
E
B
A
B
D
2
C
E
D
（
C
（）
3）
＊190
F




10．如图1－92所示，已知△
ABC中
ACB=90
，以
BC
为边向外作正方形
BCDE
，连接
AE
交
BC
于点
F
，作
FG
∥AC
交
AB
于点
G
．求证：
FCFG
．

D< br>C
F
A
G
1
B
E
＊92

11．如图1－93所示，△
ABC
中，
DE
∥
BC
，CD
，
BE
交于点
O
，过点
O
作
MN
∥
BC
，分别交
AB
，
AC
于
点
M
，
N
．
求证：
112

．
DEB CMN
A
M
B
D
O
E
N
C
＊19 3




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12．如图1－94所示，以
AC
，< br>BC
为底向
AB
同侧作两个顶角相等的等腰△
ADC
，△CEB
，若
AE
，
DC
交于点
P
，
B D
，
CE
交于点
Q
．
求证：
CPCQ
．
D
E
P
Q
A
1
C
B
＊94

13．如图1－95所示，
BD
∥
FG
，
BE
∥< br>FC
．求证：
DC
∥
EG
．
F
E
D
A
B
C
195
G
＊

14．如图1－9 6所示，在平行四边形
ABCD
中，
E
是边
AB
的中点，点
F
在边
BC
上，且
CF3BF
，
EF
与
BD
相交于点
G
．求证：
DG5BG
．
A
E
G
B
C
D


15．如图1－97所示，在等腰△
ABC
中，
ABAC
，底边< br>BC
外接正方形
BCDE
，
AD
，
AE
分别 交
BC
于点
F
，
G
，过
F
点作
F H
∥
CD
交
AC
于
H
．求证：
GFHF
．
A
H
C
B
GF
＊
F
196
1＊
E
97
D



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16．如图l－98所示，已知：梯形
ABCD
，
AB
∥
CD
，且
AB7
，
CD4< br>，延长
AD
，
BC
交于点
E
，过
E
作
平行于
AB
的直线，分别交
AC
，
BD
的延长线 于
M
，
N
．
求：
MN
的长．
N
E
M
D
A
C
B
1＊98
17．如图1－99所示，在平行四边形
ABCD
中，
EH
交
B A
，
BC
延长线于
E
，
H
点，且交
AD< br>，
DC
于
F
，
G
，
交
BD
于
P
点．
求证：
EPPFPHPG
．
E
A
P
F
G
D
B
1-99
CH

1 8．如图1－100所示，在四边形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，对角线
AC
，
BD
相交于
F
，
EG
过
F
点且与
AB
平行．
求证：
EGEG
2
．
ABCD
A
E
D
F
B

G
1-100
C

19．如图1－101所示，△
ABC< br>中，
AP
平分
BAC
，
BEAP
，垂足为
Q
，
BE
交
AC
的延长线于
E
，
M为
BC
的中点，延长
AM
交
BE
于
N
，连结
NP
．求证：
NP
∥
AB
．
A
C
M
B
P
N
Q
1-101
E


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