白璧微瑕的意思-秋思教学反思

第六讲 直线型计算中的倍数关系




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迄今为止，同学们已经学会了很多图形计算面积的方法．在计算这些面积的时候，只要知道相应线段的长度，然后利用公式即可以计算．例如计算长方形的面积，只需知道长方形
的长和宽 即可利用长方形的面积
长宽
进行计算．但很多时候，题目中并不给出长和宽，
那怎 么来求面积呢？我们来看下面这个例题．

例题1. 如图，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、
4
12、16、20平方米．其余4个长方形的面积分别是多少平方米？
8
「分析」 如果两个长方形的一条边相等，我们可以比较它们的另一条边来求
它们的面积关系，看看下图，能利用左 上角的三块面积求出①的面积吗？


12
16
20
对于长方形，我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等，那么它们的面积的比等于
它们宽（长）之 比．例如：如图所示的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同，那么
长方形ABCD的面积:长方 形BEFC的面积AB:BE
．
A
B
E
D

练 习
1

C
F

如图，有7个小长方形 ，其中的5个小长方形的面积分别为20，4，6，8，10平方
厘米．求阴影长方形的面积是多少平方 厘米？
4
20
10

6

8
从上面的例题可以看出，求一个图形的面积不一定要通过公式，有些时候我们也可以利
用图形各部分之间 的面积关系进行计算．
实际问题中，各图形的形状各异．我们很难直接看出面积间的关系，更容易发现 的是长
度之间的倍数关系．本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化．
过三角形一 个顶点的直线将三角形分为两个小三角形，则这两个小三角形面积之比等于

该直线分对边 所得的两条线段长度之比,这是由两个小三角形有共同的高决定的．
A

B
E D
C
三角形ABD的面积:三角形ADC的面积BD:DC


例题2. 下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中
点，AD的 长是AE长的3倍．那么三角形ABE的面积是多少平
方厘米？
「分析」你能从图中发现前面讲过的基本图形吗？如何利用其中的
比例关系解题呢？

练 习
2

B
D
A
E
C < br>如图，三角形
ABC
中，
D
为
AB
的中点，
E
为
BC
的中点，
F
为
BE
中点，如果三角形ABC
的面积是
120
平方厘米，那么三角形
DEF
的面积是多 少？

A
D
C


在实际问题中，给出的图 形结构往往只能满足上述形式的一部分．比如知道两条线段的
长度关系，却找不到合适的图形引出面积关 系．此时，我们可以添加适当的辅助线，使得两
个图形之间可以找到一个过渡的量，这个量和两个图形都 有比较紧密的联系．

例题3. 如图，把三角形DEF的各边分别向外延长1倍后得到三
A
角形ABC，已知三角形DEF的面积为1，那么三角形ABC的
面积是多少？
「分析」容易看出，本题也需要通过边长的倍数关系去求三角形
D
面积之间的关系． 但是我们所求的是三角形DEF的面积，而已知
的是三角形ABC的面积，这两个三角形之间一条直接相 连的边也
E
没有．那么我们该怎么办呢？
B



B
F
E
F
C

练 习
3

如图，把三角形
DEF
的各边分别向外延长
1
倍、
2
倍、
3
倍后得到三角形ABC
，已知
三角形
DEF
的面积为
1
，那么三角形< br>ABC
的面积是多少？

A
E
F
D
C


除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外，我们有时候也利用面积 的倍数关系反推出
长度的倍数关系．


例题4. 如图，E是AB上靠近 A点的三等分点，梯形ABCD的
面积是三角形AEC面积的4倍，那么梯形的下底长是上底
长 的几倍？
「分析」本题中我们并不知道图形的具体面积，而只知道面
积的倍数关系．需要求的 则是长度的倍数关系，所以我们考虑如
何利用面积的关系求出长度关系．
我们不妨假设三角形 AEC的面积是“1”份，那么梯形ABCD的面积就是“5”份．接
着可以看看“E是AB上的三等分 点”这个条件能得出什么结论，看看怎么利用求出的面积
来比较梯形的上下底？




练

习
4

B
C
A
E
D
B

如图，将一个长为18
的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形
的
5
倍，那么三角形底边
BE
的长是多少？

A
D

B
E
C
4
除了利用长度间的倍数关系外，我们有时候也能从 公式入手，寻找图形面
积的倍数关系．


例题5. 把一个正方形的相邻两 边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增
加了50平方厘米，那么原正方形的面积为多少平方厘米？


「分析」由于阴影部分是一个不规则图形，我们需要把它转化为规则形
状 ，可以将它分割成几块．如图所示，我们将阴影部分分割为①、②、
③三个长方形．其中，③的长和宽分 别为4、2，可以求出它的面积．那
么①和②的面积能求出来吗？关键是找出它们面积的关系．





例题6. 如图，直角三角形ABC套住了一个 正方形CDEF，E点恰好
在AB边上．又已知直角边AC长20厘米，BC长12厘米，那么
正方形的边长为多少厘米？
「分析」注意到EF垂直于AC，ED垂直于BC．我们可以连接CE，< br>将三角形ABC分成两个三角形，这两个三角形的底都给出了长度，而
它们的高相等．我们的目标 就是求这个高．


2
②
2
4
①
③
A
F
E
C
D
B

欧拉的故事
欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微 积分等好
几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。欧拉小时候帮助爸爸放羊，他一面
放羊， 一面读书。他读的书中，有不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小 了，爸爸决定建造一
个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面< br>积正好是600平方米，平均每一头羊占地6平方米。正打算动工的时候，他发现
他的材料只够围 100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其
周长将是110米（15+15+4 0+40=110）父亲感到很为难，若要按原计划建造，就
要再添10米长的材料；要是缩小面积，每 头羊的面积就会小于6平方米。
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原 来的计划。
他有办法。父亲不相信小欧拉会有办法，没有理会他。小欧拉急了，大声说：“只
要 稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。”
父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情？”但是 ，小欧拉却坚信，
他一定有两全齐美的办法。父亲终于同意让儿子试试看。
小欧拉见父亲同意 了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，
将原来的40米边长截短，缩短到25米 。父亲着急了，说：“那怎么成呢？那怎
么成呢？这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另 一条边上，将原
来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中
的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，
篱笆也够了，面积 也够了。”
父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不
少， 全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常高兴！

作业
1.
如图，一个长方形被分成了四个小长 方形，长方形
A
的面
积是
45
平方米，长方形
B
的 面积是
15
平方米，长方形
C
的面
积为
15
平方米 ，则长方形
D
的面积是多少？


D
为
AB
边上的三等分点，作业
2.
如图，已知三角形< br>ACD
面
积为
12
，则三角形
BCD
面积是多少？< br>


作业
3.
如图，
D
、
E< br>分别为
AB
、
BC
边上的三等分点，已知三
角形
AB C
面积为
72
，则三角形
CDE
面积是多少？



作业
4.
如图，把三角形
DEF
的各边向外延长
2
倍后得到三角形
ABC
，已知三角形
DEF
的面积为
1
，那么三角形
ABC
的面积
D
是多少？


C


作业
5.
点
B
是正方形一条边 上的四等分点．连接
AB
、
BC
，点
D
、
E
又是
AB
、
BC
的四等分点，连接
CD
、
DE< br>．如果正方形
边长为
24
厘米，那么：（
1
）三角形
ABC
的面积是多少？（
2
）
三角形
CDE
的面积是多少？







C
24厘米
E
A D
B
B
E
F
A
A
D
C
E
B
A
D
B
C
A
B
C
D

第六讲 直线型计算中的倍数关系

例题1. 答案：如图所示
详解：长方形一边确定，面积的倍数关系与另一邻边的倍数关系相同．
4
8
8
16
12
24
30


例题2. 答案：30
详解：△ABD与△ADC的面积比是1:1，可求出△ABD的面积 是90平方厘米．△ABE
与△BDE的面积比是1:2，那么△ABE的面积是
90

12

30
平方厘米．

例题3. 答案：7
详解：连结AE、BF、CD，由等高三角形可以推出图中的7个小三角形面积相等．
10
20
A
1
1
D
1
1
1
1
B
1
E
F
C


例题4. 答案：3倍
详解：设△AEC的面积是1份，那么有梯形的面积是4份，△ABC 的面积是3份．所
以△ACD的面积是1份．而△ADC与△ABC的高相同，所以底的比等于面积的比 ，即
AD:BC=1:3．

例题5. 答案：49
详解：
设正方形边长为a，则有
2a4a2450
，a=7．

例题6.
答案：7.5
详解：连结CE，将三角形切成两个小三角，设 正方形边长为a厘米．可列
方程
20122

20a12a

2
，a=7.5．

练习
1.
答案：
15
简答：先求出面积为
6
的 长方形下面长方形的面积，应该是
84612
平方厘米．再
求阴影部分的面积，
20102
，

46812

215
．

4
20
10
8
6


练习
2.
答案：
15
平方厘米

简答：因为D
是
AB
的中点，可知△
BDC
的面积是△
ABC面积的一半，
120260
．
E
F
是
BE
的中点，点是
BC
的中点，那么△
DEF
的面积是△
BCD
的四分之一，
60415
．


练习
3.
答案：
18
简答：如图所示，连结
AF
、
BD
和
CE
．根据等高三角形的性质可以求出其他三角形的
面积．

A
3
E
1
1
F
2
3
2
D
6
C

B

练习
4.
答案：
6
简答：如图所示，连结
EF
，使得
ABEF
是一 个长方形．那么长方形
CDFE
的面积是长
方形
ABEF
的两倍，所 以
EC
是
BE
的两倍，
BE
长为
6
．
A F
D

B

作业
1.
答案：
5
简答：长方形
A
的面积是长方形
B
的面积的3
倍，因此长方形
C
的面积也是长方形
D
的面积的
3< br>倍，因此长方形
D
的面积为
5
．

E
C

作业
2.
答案：
24
BD
长 度是
AD
长度的
2
倍，简答：因此三角形
BCD
面积也是三 角形
ACD
面积的
2
倍，
因此三角形
BCD
面积为
24
．


作业
3.
答案：
16 简答：由
D
、
E
分别为
AB
、
BC
边 上的三等分点，可求得三角形
BCD
面积为
48
，三角
形
C DE
面积为
16
．


作业4. 答案：19
简 答：如图所示，连接AE、BF、CD．由
AD2DF
，
BE2ED
，< br>CF2FE

，可知三角形ADE，三角形BEF，三角形CEF的面积
A
D
都是2，而三角形ABE、三角形CBF、三角形ACD的面积都是4．三
角形A BC的面积是
444222119
．


作业5. 答案：288；162
C
B
E
F
24
2
简答：△ABC的面积是正方形面积的一半，即
288
平方厘米；△BCD的面积是△
2
333
ABC的，即
288216
平方厘米；△CDE的面积是三角 形BCD的，即
444
3
216162
平方厘米．
4