lol菲兹-关于爱情的qq签名

处理球的“内切”“外接”问题

1、已知正三角形
ABC
的边长为
a
，则三角
形
ABC
的高为：
3
a

2
S
ABC

3
2
a
；重心
O
分中线
AD
的比为
2:1
，
4
即
OD 1
33

；
AOa,ODa

AO2
36


2、知正四面体
ABCD
的棱长为
a
，则正四面体的
表面 积为：
3a
2
，
正四面体的高：
h
正四面体的体积： < br>113
2
62
3
VS
ABC
haaa
；
334312
6
a
；
3
直线
AB< br>与
SC
所成的角为:
45


正四面体的外接球半径：
R
6
a
；
4
6
a
；
12
正四面体的内切球半径：
r3、已知球的半径
R
为，则球的
表面积
S4

R
2
；
4
体积
V

R
3
；
3
内接正四面体的棱长为：
a

26
R

3
外切正四面体的棱长为：
a26R


4、正方体的内切球：
设正方体的棱长为
a
，求（1）内切球半径；（2） 外接球半径；（3）与棱相切的球半
径。

a
；
2
（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4
（1）截面图为正方 形
EFGH
的内切圆，得
R
作截面图，圆
O
为正方形EFGH
的外接圆，易得
R
2
a
。
2
正方 体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面
AA
1
作截面图
得，圆
O
为矩形
AAC

1
11
C
的外 接圆，易得
RAO









3
a
。
2
图3
图4
图5
例1、在球面上有四个点
P
、
A
、
B
、
C
.如果
PA
、
PB
、
PC
两两互相 垂直，且
PAPBPCa
,求这个球的表面积是
3

a
2
.
【构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题
正棱柱的外接球，其球心定在 上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心
及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。】 例2、已知底面边长为
a
正三棱柱
ABCA
1
B
1< br>C
1
的六个顶点在球
O
1
上，又知球
O
2< br>与此正三棱
柱的5个面都相切，求球
O
1
与球
O
2< br>的体积之比与表面积之比。
分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。
解：如图6，由题意得两球心
O
1
、
O
2
是重合的，过正 三棱柱的一条侧棱
AA
1
和它们的球心作
截面，设正三棱柱底面边长为
a
，则
R
2

3
a
，
6
正三棱 柱的高为
h2R
2

中，得
3
a
，由
RtA
1
D
1
O
3
图6
22

3

3

3

5
22



a
2
R
1


a
< br>R
2


aa

3

6

12

3

2
，
R
1
5
a
12
S
1
:S
2
R
1
:R
2
5:1
，
V
1
:V
2
55:1

22

例3、正三棱锥
SABC
，底 面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少？



例4 、正四棱锥
SABCD
，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少？




练习：
1.（球内接正四面体问题）一个四面体 的所有棱长都为
2
，四个顶点在同一球面上，则此球
的表面积为
2. （ 球内接长方体问题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的
长分别为1，2 ，3，则此球的表面积为。
3．设
P,A,B,C
是球
O
面上的四 点,且
PA,PB,PC
两两互相垂直,若
PAPBPCa
,
则球心
O
到截面
ABC
的距离是.
4.（球内接正三棱锥 问题）在正三棱锥
SABC
中，侧棱
SC侧面SAB
，侧棱
SC 2
，
则此正三棱锥的外接球的表面积为
5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边 长为
3
，棱长为
6
的正六棱柱的所有顶点都在一个平
2
面上 ，
则此球的体积为．
6.（正三棱柱内切球、外接球问题）一个正三棱柱恰好有一个内切球 (球与三棱柱的两个底面和
三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的6个顶点),则此内切球与 外接球表面积之比
为。
7.（球内接正四棱锥问题）半径为
R
的球内接一个 各棱长都相等的正四棱锥．则四棱锥的体积
为．
8.（正三棱锥球内切问题） 正三棱锥的 高为3，底面边长为
83
，正三棱锥内有一个球与其四
个面相切．则球的表面积与体积 分别为．
9. 三棱锥
ABCD
的两条棱
ABCD6
,其 余各棱长均为
5
，求三棱锥的内切球半径.
说明：球与正三棱锥四个面相切，实际上 ，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面
的距离相等，都为球半径
R
．这样 求球的半径可转化为求球心到三棱锥面的距离，而点面距离
常可以用等体积法解决．
1
3

；2
14

；3

9264256
3


4
12

；5

；6
1:5
；7
R
3
；8

;
a
；
981
23
6