实数，并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人，然后每个人将他相邻的两
个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报4的人心里想的
数是 9 ．


【分析】设报4的人心想的数是x，则可以分别表示报1，3，5，2的人心想的
数 ，最后通过平均数列出方程，解方程即可．

【解答】解：设报4的人心想的数是x，报1的人 心想的数是10﹣x，报3的人
心想的数是x﹣6，报5的人心想的数是14﹣x，报2的人心想的数是 x﹣12，

所以有x﹣12+x=2×3，

解得x=9．

故答案为9．

【点评】本题属于阅读理解和探索规律题，考查的知识点有平均数的相 关计算及
方程思想的运用．规律与趋势：这道题的解决方法有点奥数题的思维，题意理解
起来比 较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首
选的方法，而且，多设几个未知 数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题
意进行整合，问题即可解决．本题还可以根据报2的人心 想的数可以是6﹣x，
从而列出方程x﹣12=6﹣x求解．



三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17．（5分）计算：（﹣π）
0
﹣|1﹣2|+﹣（）
﹣
2
．

【分析】本题涉 及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计
算时，需要针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1﹣（2
=1﹣2
=﹣2．

【点评】本题主要 考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题
型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指 数幂、零指数幂、二次根式、绝对
+1+2﹣4，

﹣1）+2﹣4，

值等考点的运算．



18．（5分）求不等式组的正整数解．

【分析】根据不等式组解集的表示方法：大小小大中间找，可得答案．

【解答】解：
解不等式①，得x＞﹣2，

解不等式②，得x≤，

，

，

不等式组的解集是﹣2＜x≤
不等式组的正整数解是1，2，3，4．

【点 评】本题考查了解一元一次不等式组，利用解一元一次不等式组的解集的表
示方法是解题关键．



四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式=[
=
=x﹣3，

把x=代入得：原式=﹣3=﹣．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题
关键．



20．（6分）如图，已知一次函数y
1
=k
1
x+b（k
1
≠0）与反比例函数y
2
=
的图象交于A（4，1） ，B（n，﹣2）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（k
2
≠0）
×（x﹣3）
2

+]×（x﹣3）
2

（2）请根据图象直接写出y
1
＜y
2
时x的取值范围．


【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k
2
的值，
进而可得出反比例函数的解析式，由点B的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐
标特征 可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次
函数的解析式；
（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出y
1
＜y
2
时x的取值范围 ．

【解答】解：（1）∵反比例函数y
2
=
∴k
2
=4×1=4，

∴反比例函数的解析式为y
2
=．

∵点B（n，﹣2）在反比例函数y
2
=的图象上，

∴n=4÷（﹣2）=﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．

将A（4，1）、B（﹣2，﹣2）代入y
1
=k
1
x+b，

，解得：，

（k
2
≠0）的图象过点A（4，1），

∴一次函数的解析式为y=x﹣1．

（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2和0＜ x＜4时，一次函数图象在反比例函
数图象下方，

∴y
1
＜y
2
时x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4．

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数图象上点的坐
标特征，解题的 关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点B的坐

标；（2） 根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式y
1
＜y
2
的解集．



五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21．（ 7分）某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果
8元千克，乙种水果18元 千克．6月份，这两种水果的进价上调为：甲种水果
10元千克，乙种水果20元千克．
（1）若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300
元，求该店5月份 购进甲、乙两种水果分别是多少千克？

（2）若6月份将这两种水果进货总量减少到120千 克，且甲种水果不超过乙种
水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？
【分析】（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据总
价=单 价×购进数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进甲 种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120
﹣a）千克，根据总价=单价×购进数 量，即可得出w关于a的函数关系式，由
甲种水果不超过乙种水果的3倍，即可得出关于a的一元一次不 等式，解之即可
得出a的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，

根据题意得：
解得：．

，

答：该店5月份购进甲种水果190千克，购进乙种水果10千克．

（2）设购进甲 种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果（120
﹣a）千克，

根据题意得：w=10a+20（120﹣a）=﹣10a+2400．

∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，

∴a≤3（120﹣a），

解得：a≤90．

∵k=﹣10＜0，

∴w随a值的增大而减小，

∴当a=90时，w取最小值，最小值﹣10×90+2400=1500．

∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函
数的应用，解题的关 键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）
根据各数量之间的关系，找出w关于a的 函数关系式．



22．（7分）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度A D=2米，且两扇门的大小相
同（即AB=CD），将左边的门ABB
1
A
1
绕门轴AA
1
向里面旋转37°，将右边的门CDD
1
C
1
绕门轴DD
1
向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果< br>保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）


【分析】作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，< br>则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得
出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．

【解答】 解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，
如图所示．

∵AB=CD，AB+CD=AD=2，

∴AB=CD=1．

在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，

∴BE=AB•sin∠A≈0.6，AE=AB•cos∠A≈0.8．

在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，

∴CF=CD•sin∠D≈0.7，DF=CD•cos∠D≈0.7．

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴BE∥CM，

又∵BE=CM，

∴四边形BEMC为平行四边形，

∴BC=EM，CM=BE．

在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，

∴EM=≈1.4，

∴B与C之间的距离约为1.4米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性
质，构造直角三角形 ，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．



六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23．（8分）某校体育组为了 解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部
分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完 整的统计图．请你根据统计图
回答下列问题：

（1）喜欢乒乓球的学生所占的百分比是多少？并请补全条形统计图（图2）；

（2）请你估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有多少名？

（3）在扇形统计图中，“篮球”部分所对应的圆心角是多少度？

（4）篮球教练在 制定训练计划前，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名
同学中任选两人进行个别座谈，请用列表法 或树状图法求抽取的两人恰好是甲和
乙的概率．

【分析】（1）先利用喜欢足球的人 数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再

计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；

（2）用500乘以样本中喜欢排 球的百分比可根据估计全校500名学生中最喜欢
“排球”项目的写生数；

（3）用360°乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可；

（4）画树状图展示所有1 2种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是甲和乙
的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）调查的总人数为8÷16%=50（人），

喜欢乒乓球的人数为50﹣8﹣20﹣6﹣2=14（人），

所以喜欢乒乓球的学生所占的百分比=
补全条形统计图如下：

×100%=28%，


（2）500×12%=60，

所以估计全校500名学生中最喜欢“排球”项目的有60名；

（3），篮球”部分所对应的圆心角=360×40%=144°；

（4）画树状图为：


共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2，

所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率==．

【点评】本题考查了列表法与树状图法： 利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概 率公式计算事
件A或事件B的概率．也考查了统计图．



24． （8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD

的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）求证：BD=CF．


【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠
O AE=90°，可得：AE是⊙O的切线；

（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠ BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质
得：∠ADF=∠ABC=60°，

得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．

【解答】证明：（1）连接OD，

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，

∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，

∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，

∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠ADF=∠ABC=60°，

∵AD=DF，

∴△ADF是等边三角形，

∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，

即∠BAF=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF．

【点评】本题考查了全 等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆
等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等 边三角形的性质是关键．



七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25．（10分）如图，已知 二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交
于另一点B，且对称轴是直线x=3．
（1）求该二次函数的解析式；

（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交 OA于N，当△ANM面积最大时，求
M的坐标；

（3）P是x轴上的点，过P作P Q⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，
当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶 点的三角形相似时，求P点的
坐标．


【分析】（1）先利用抛物线的对称 性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解
析式；

（2）设M（t，0），先其 求出直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式为y=2x
﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣ 2t，再通过解方程组得N（t，t），

接着利用三角形面积公式，利用S< br>△
AMN
=S
△
AOM
﹣S
△
NOM
得到S
△
AMN
=•4•t﹣
•t•t，然后根据二次函数的性质解决问题 ；

（3）设Q（m，m
2
﹣m），根据相似三角形的判定方法，当
∽△COA，则|m
2
﹣m|=2|m|；当=
=时，△PQO
时，△PQO ∽△CAO，则|m
2
﹣
m|=|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的 P点坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，

∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，

∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x
2
﹣x；

（2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x，

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得
∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

，解得，

解方程组得，则N（t，t），

∴S
△
AMN
=S
△
AOM
﹣S
△
NOM

=•4•t﹣•t•t

=﹣t
2
+2t

=﹣（t﹣3）
2
+3，

当t=3时，S
△
AMN
有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；

（3）设Q（m，m
2
﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴当=时，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m
2
﹣m|=2|m|，

解方程m
2
﹣m=2m得m
1
=0（舍去），m
2
=14，此时P点坐标为（ 14，28）；

解方程m
2
﹣m=﹣2m得m
1
=0（舍 去），m
2
=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，4）；

∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m
2
﹣m|=|m|，

解方程m
2< br>﹣m=m得m
1
=0（舍去），m
2
=8（舍去），

解方程m
2
﹣m=﹣m得m
1
=0（舍去），m
2
=2， 此时P点坐标为（2，﹣1）；

综上所述，P点坐标为（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【点评】本 题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征
和二次函数的性质；会利用待定系数 法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵
活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解 决数学问题．



26．（10分）已知正方形ABCD中AC与BD交于 O点，点M在线段BD上，作直
线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N ．


（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB；

（3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN
2
=NC•AC ．

【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出

∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；

（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠
AM B=67.5°，即可得出结论；

（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=< br>据勾股定理得，AC=（a+b），

a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△
AD E，得出
AC=
，进而得出a=
b，AN=AC﹣CN=
b，即可表示出CN =b，
b，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O，

∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，

∴∠OND+∠ODN=90°，

∵∠ANH=∠OND，

∴∠ANH+∠ODN=90°，

∵DH⊥AE，

∴∠DHM=90°，

∴∠ANH+∠OAM=90°，

∴∠ODN=∠OAM，

∴△DON≌△AOM，

∴OM=ON；


（2）连接MN，

∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，

∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，

∵OD=OD，

∴DM=CN=EN，

∵EN∥DM，

∴四边形DENM是平行四边形，

∵DN⊥AE，

∴▱DENM是菱形，

∴DE=EN，

∴∠EDN=∠END，

∵EN∥BD，

∴∠END=∠BDN，

∴∠EDN=∠BDN，

∵∠BDC=45°，

∴∠BDN=22.5°，

∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，

∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB，

∴BM=AB；


（3）设CE=a（a＞0）

∵EN⊥CD，

∴∠CEN=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠CNE=45°=∠ACD，

∴EN=CE=a，

∴CN=a，

设DE=b（b＞0），

∴AD=CD=DE+CE=a+b，

根据勾股定理得，AC=AD=（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，

∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，

∴△DEN∽△ADE，

∴，

∴
∴a=
∴CN=
，

b（已舍去不符合题意的）

a=b，AC=
b，

b•b=2b
2

（a+b）=b，

∴AN=AC﹣CN=
∴AN
2
=2b
2
，AC•CN=
∴AN
2
=AC•CN．

< br>【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的
判定，全等三角形 的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出
四边形DENM是菱形是解（2）的关键， 判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．