2017高考语文试卷-培训发票

隔板法解决排列组合问题
Prepared on 22 November 2020

“隔板法”解决排列组合问题
（高二、高三）


< br>排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有
序分组问题，采用“隔板 法”可起到简化解题的功效。对于不同元素只涉及名额
分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型 例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒
子中至少有一个小球的不同放法有多少种
（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多
少种
（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，
要求每个盒子中的小球个 数不小于其编号数，问不同的方法有多少种
解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在 这11个间隔中选
出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，< br>从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应
放入2个，4个， 4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一
种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间 隔的组合对应于一种放法，所以
3
不同的放法有
C
11
=165种。
1
4
种；②装入两个盒子，即12
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有
C
4
1
66
种;③装入
个相同的小球装入两个不同的盒子 ，每盒至少装一个有
C
4
2
C
11
三个盒子，即12个相同 的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有
32
C
4
C
11=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每
3
165< br>种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
盒至少装一个有
C
11

法2：先给每个 小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个
3
455
种。
小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有
C
15
（3）法1：先给每个盒 子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则
12
C
4
10
种。
这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有
C
4
法2：先给每个盒 子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6
个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装 一个，由隔板法有
C
5
3
10

由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少
分一个的问题。 例2、（1）方程
x
1
x
2
x
3
x4
10
的正整数解有多少组
(2) 方程
x
1
x
2
x
3
x
4
10
的非负整数解有多少组 < br>（3）方程
2x
1
x
2
x
3
x10
3
的非负整数整数解有多少组
解：（1）转化为10个相同的小球装入4 个不同的盒子，每盒至少装一
个，有
C
9
3
84
种，所以 该方程有84组正整数解。
（2）转化为10个相同的小球装入4个不同的盒子，可以有空盒，先给每
个小盒装一个，进而转化为14个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少
3
28 6
种，所以该方程有286组非负整数整数解。
装一个，有
C
13
（3）当
x
1
0
时，转化为3个相同的小球装入9个不同的盒子，可以有空 盒，
3
165
种。当
x
1
1
时，转化为1个小 球装入9个不同的盒子，可以有空
有
C
11
1
盒，有
C9
=9种；所以该方程有165+9=174组非负整数整数解。
例3、已知集合




，选择 
的两个非空子集
A,B
，且
A
中最大的元
素比
B
中最小的元素小，则选择方法有多少种

解：由题意 知
A,B
的交集是空集，且
A,B
的并集是

的子集
C
，所以
C
至少含
有两个元素，将
C
中元素按从小到大的 顺序排列，然后分为两部分，前边的给
A
，后边的给
B
，
A,B至少含有1个元素，设
C
中有
n
个元素，则转化为
n
个
1
相同的小球装入2个不同的盒子，则有
C
n
种装法，故本题有< br>31151
C
5
2
C
5
C
2
C
5
4
C
3
C
5
C
4
49种选择方法。
总之，凡是处理与“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”。若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，向
每组元素数目至少一 个的模型转化，然后用“隔板”法加以解决。