练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排 法？
5

C
10

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7
种分依此类推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

n
的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种


练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前 又增加了两个新节目.如果将这两个节目插
入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与 坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4
并从此 位置把圆
形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作< br>
1
m

圆形排列共有
A
n


n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两 排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种, 再排后4
5
A
4
A
4
A
5
个位置上的特殊 元素丙有
A
1
4
种,其余的5人在5个位置上任意排列有
A
5
种,则共有
215
6
8
种


一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研


练习题 ：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不
能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素 (包含一个复合元素)装
24
入4个不同的盒内有
A
4
4
种 方法，根据分步计数原理装球的方法共有
C
5
A
4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任< br>务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
2
解：把１,５ ,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
再排小集团内部共有
A
2
2
种排法，
2
A
2
种排法，
由分步计数原理共有< br>A
2
A
2
A
2
种排法.
222

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A
2
A
5
A
4

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也 相邻的排法有
A
2
A
5
A
5
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６
个位置插 个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法
6
共有
C
9
种分法。
255
254




将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

m1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n1

练习题：
4
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9

3
2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5个偶数5
3
12
个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
,只含有1个偶数的取法有
C
5
C
5
,和为偶数的取
123123
法共有
C
5
C
5
C
5
。 再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
C
5
C
5
C
5
9


有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求


出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>C
4
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABC DEF，若第一
222
步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF ),则
C
6
C
4
C
2
中还有
222
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB ,CD)共有
A
3
3
种取法 ,而这些分法仅
2223
是( AB,CD,EF)一种分法,故共有
C
6
C
4
C
2
A
3
种分法。

n

平均分成的组,不管它们的顺序如 何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
(
n
为均分

的组数)避免重复计数。

练习题：
5442
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（
C
13
C< br>8
C
4
A
2
）
名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 < br>排2名，则不同的安排方案种数为______（
C
4
C
2
A
6
A
2
90
）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞
的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究
22
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
C
3
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
112
22
C
5C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
5
C
5
种，由分类计数原理共有
2211222

C< br>3
C
3
C
5
C
3
C
4
 C
5
C
5
种。
2222


解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做

到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不
同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船
或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只 路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯 方法有多少种？
3
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯 有
C
5
种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒

模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右 两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设 有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要< br>求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
2
解： 从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5
种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作 法，如
果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同 理3号
2
球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
种


3号盒 4号盒 5号盒


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收

到意想不到的结果

练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中 起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
12345
所有的偶因数为：
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
8
1258
,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
358174
对异面直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题

逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到

问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解 ：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,
有多少选 法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如
111
此继续 下去.从3×3方队中选3人的方法有
C
3
再从5×5方阵选出3×3方阵便可
C
2
C
1
种。
33
解决问题.从5×5方队中选取3行3 列有
C
5
C
5
选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在
同 一列的3人有
C
5
C
5
C
3
C
2
C
1
选法。



处理复杂的排列组合问题时可以把一个 问题退化成一个简
要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，
从而进下一步解决 原来的问题
33111



练习题:某城市的街区由12个全等 的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少
3
种？(
C
7
35
)

十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 54321
解:
N2A
5
2A
4
A
3< br>A
2
A
1
297


数字排序问题可用查字典法,查字典的法

应从高位向低位查,依次求出其符合要求

的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大 排列起来,第71个数
是 3140
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的手中,则不 同
的传球方式有______
N10


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果


练习: 分别编有1，2， 3，4，5号码的人与椅，其中
i
号人不坐
i
号椅（
i1,2,3 ,4,5
）的不同坐法有
多少种？
N44

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有 A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均
有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1




C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
C
3

C
5
C
2

取法



一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复

遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好


二十一：住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另 一类不能重复，把不能重复
的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店 ”，五项冠
军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.


5
染色问题的计数方法
一、 区域染色问题
1. 根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法。
例1 要用四种颜色给四川、 青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图1）
每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色 ，则不同染色的方法有多少种？
西
藏
分析 先给
青海
四川
云南
四川染色有4种方法，再给青海染色有3种
方法，接着给西藏染色有2种方法，最后给云 南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色
方法共有4×3×2×2＝48种
2. 根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出
不同年拾方法种数。
例2 （2003年全国高考题）如图2，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻
区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？

2
3
4
分析 依题意至少要
15
图2
选用3种颜色。
（1）当选用三种颜色时，区域2与 4必须同色，区域3与5必须同色，有
（2）当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色 ，有
则区域2与4不同色，有
A
4
种。
3
A
4< br>4
种；若区域3与5同色，
A
4
种，故用四种颜色时共有2
4
3
A
4
4
4
4
种。
由加法原理可知满足 题意的着色方法共有
A
4
＋2
A
＝24＋2×24＝72种。 3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计
算出 两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数。
例3 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“ 田”字形的四个小方格内（图3），每格涂一种颜
色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用 ，共有多少种不同的涂色方法？
2
3

1
4
图3

（1）四格涂不同的颜色，方法数为
A
4
5
；
（2）有且 仅有两格涂相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同颜色，涂法种数为2
（1)两组对角小方格涂相同 颜色，涂法种数为
＋
C
A
5
1
5
1
24
；
2
4
A
。因此，所求的涂法种数为
5
2
A
＋2
5
4
C
A
A
2
5
＝260种
3.根据相间区域使用颜色的种类分类讨论
例4 如图4，一个六边形的6个 区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一区
F
A
B
E< br>D
C
域染同一种颜色，相邻的两个区域不得使用
图4
同一颜色，现有 4种不同
的颜色可供选择，则有多少种不同的着色方法。
解： （1）当相间区域A、C、 E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3
种着色方法故有4×3×3×3＝108 种方法

（2）当相间区域A、C、E着两种不同颜色时，有
×2种着色方法， 故共有
C
A
3
3
4
2
2
4
种着色 方法，此时B、D、F有3×2
C
A
3
2
2
4
×3 ×2×2＝432种着色方法。
(1)当相间区域A、C、E着三种不同颜色时，有
方法，此 时共有
A
种着色方法，此时B、D、F各有2种着色
A
3
4
×2×2×2＝192种方法。
故总计有108＋432＋192＝732种方法
二 点染色问题
点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有:（1）根据共用了多少种颜色分类讨论 ；（2）
根据相对顶点是否同色分类讨论。
例5将一个四棱锥S－ABCD的每个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有
5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法1 满足题设条件的染色至少要用三种颜色
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中 任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两
种染A、B、C、D四点，，此时只能A与C，B与D 分别同色，故有
C
A
5
1
2
4
＝60种方法。 < br>（1）若恰用四种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两
种染 A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
2
4
种染法；再从余下的两种颜色 种任选一种染D
或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
（1）若恰用五种 颜色，有
C
A
CC
5
4
2
1
2
1 1
2
＝240中方法。
A
5
5
＝120种染法。综上，满 足题意的染色方法数为60＋240＋120
＝420种。
解法2 设想染色按S－ A－B－C－D的顺序进行，对S、A、B染色，有5×4×3＝60种染
色方法。由于C点的颜色可能 与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨
论：
C与A同色时（此时C对 颜色的选取方法唯一），D与A、C、S不同色，有3种选择；C与A不
同色时，C有2种选择的颜色， D有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1×3＋2×2＝7种
染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数是60×7＝420种
评注 图中的连接状况是本质条件，而 是否空间图形则无关紧要，试看下面的两个问题，尽管
与例5表述方式不同，但具有相同的数学模型，所 以都可以转化为例5来解决。您不妨一试。
（1） 用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A、B、C 、D、E染色，要求相邻两个车站间的
候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法（图6）
（2） 如图7所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的
区 域不同色，共有多少种方案？
三、线段染色问题，要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：
（1） 根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2） 根据相对的线段是否同色分类讨论。
例5 用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，
且使相邻 两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法（图8）
解法1 （1）使用四种颜色有
A
4
4
种；

（2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有
（3） 使用两种 颜色时，则两组对边必须分别同色，有
因此，所求的染色方法数为
CC
A
42
11
2
3
种；
A
2
4
种。
A
CC
A
＋
4
42
4
11
＋
32
A
2
4
＝84种
解法2 染色按AB-BC-CD- DA的顺序进行，对AB、BC染色有4×3＝12种染色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：
当 CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择；当CD与AB
不同色 时，CD有2种可供选择的颜色，DA有2种可供选择的颜色，从而对CD、DA染色有1×3
＋2×2 ＝7种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法数为12×7＝84种。利用相同的方法可解决例7
例6 中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自4个单位，分别在图9中4个
区域内坐定。 有4种不同的颜色服装，每个区域的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两个区
域的颜色不同，不相邻区 域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法
2
4
1
3
共有多少种 ？
例7 用六种颜色给正四面体A－BCD的每条棱染色，要求每条棱只能染一种颜色
且共 顶点的棱染不同的颜色，问有多少种不同的染色方法（图10）
分析 正四面体有三组对棱AB与CD、AC与BD、AD与BC。满足题设条件的染色至少要用三种
颜色。
解 （1）若恰用三种颜色染色，则每组对棱必须染同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有
A
3
6
种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，则三组对棱中有两组对棱的 组内对棱同色，但组与组之间不同色，
故有
C
A
2
3
46
种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，则三组对棱中有一组对棱染同一种颜色，故有
（4） 若恰用六种颜色染色，则有
C
A
1
3
5
6
种方法。
A
6
6
种不同的方法。
3
综上，满足题意的总的染色方法 数为
A
C
A
＋
6
1
3
5
6
＋
A
6
6
＝4080种
四 面染色问题
例9 （ 1996年全国高中数学联赛题）从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方
体的6个面染色 ，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色，则不同的染色方案共有多少种？
（注：如果我们对两个相同 的正方体染色后，可以通过适当翻转，使得两个正方体的上、下、
左、右、前、后6个面对应面的染色都 相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同）
分析 显然，至少需要三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原
理分步进行讨论。
解 根据共用了多少种不同的颜色分类讨论。
（1） 用了六种颜色，确定某种颜色（例如 红色）所染面为下底（根据题注，对此处的两种

不同染色方案，这里的“第一面”总是相 同的），则上底颜色可有5种选择，在上、下底已染好
后，再确定其余4种颜色中的某一种所染面为左侧 面，则其余3个面有3！种染色方案，根据乘
法原理n
1
＝5×3！＝30种
（2） 用了五种颜色，选定五种颜色有
C
5
6
＝6种方法，必有两 面同色（必为相对面），确定
为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方 法数取决于右侧面
的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）n
2
＝
（3 ） 用了四种颜色，仿上分析可得n
3
＝
（4） 用了三种颜色，n
4
＝
C
5
6
×5×3＝90
CC
6
42
4
＝90
C
3
6
＝20
故总的染色方案有n＝n
1
＋ n
2
＋n
3
＋n
4
＝230种。