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排列组合中的分组分配问题（分享）
分组分配问题是排列组合教学中的一个 重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问
题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题 ，分定向分配和不定
向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题 有不平
均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与
组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然
是可区分的 .对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
C
2
6
C4
C
2
=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。我们不妨把六 本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两
种分法：(1，2)(3，4)(5，6 )与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，
又与顺序无关，所以这 两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因
此还应取消分组的顺序，即除以组数 的全排列数
A
3
3
，所以分法是
C
6
C
4
C
2
=15(种)。
3
A
3
222
23
3
(2)先分组，方法是
C
1
6
C
5
C< br>3
，那么还要不要除以
A
3
？我们发现，由于每组的书的本数
23
是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有
C
1
6
C
5
C
3
=60(种) 分法。
11
(3)分组方法是
C
4
6
C
2
C
1
=30(种) ，那么其中有没有重 复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由 于书的本数不一样，
CC
2
C
1
=15(种)。 不可能重复。所以 实际分法是
6
2
A
2
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问 题的一般方法。
结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m
1
，m
2
，„，
411
CC
m
p
，其中k组 内元素数目相等，那么分组方法数是
m
1
n
m
2
nm1
C
m
3
nm
1
m
2

C
m
p
p
m
A
k
k
。
- 1 -

三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配 问题，由分布
222411
123
计数原理不难解出：分别有
C
6< br>C
4
C
2
=90(种)，
C
6
C
5
C
3
=60(种)，
C
6
C
2
C
1
=30(种)。
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的 问题。由于分配给
三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组 ，再
将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以
A
3
即< br>3
，
C
6
C
4
C
2
3
=9 0(种)，
A
3
3
A
3
222
CCC
A
1
6
2
5
3
3
3
3
=360(种 )
C
6
C
2
C
1
3
=90(种)。
A
3
2
A
2
411
结论2. 一般地，如果把不同 的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的
元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列 的问题，即分组方案数乘以不同对象数的
全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人 都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑
先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢 ？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、
二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据 加法原理，分组法是
C
6
C
4
C
2
+
12 3
+
C
6
C
2
C
1
=90(种)。再考虑 排列，即再乘以
3
。所以一共有540种不
C
6
C
5
C
3
A
3
32
A
3
A
2
同的分 法。
四、分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多
- 2 -

222411

少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒 子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将
CCC
2
(种)，然后将这四个不 同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有
43
2
A
2
三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有
112
C
4
C
3
C
2
3
=144(种)。
A4
2
A
2
例6有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承 担，从10人中选派4
人承担这三项任务，不同的选法有多少种？
分析：先考虑分组，即10 人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共
112
CC
9
C8
(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任有
10< br>2
A
2
112
CC
9
C
8
2
=2520(种)务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
10
2A
2
A
2
不同的选法。
例7设集合A={1，2，3，4}， B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合
B的不同的函数有多少个？
分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集
合B的每个元素 接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配
的问题。先考虑分组，集合A中 4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共
112
CCC
2
(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以
3
，所以共有
C
4
C
3
C
2
3
=36(个)有
43
A
3
A
3
22
A
2
A
2
不同的函数。
总之 ，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。而且，学会了分配问题，还能
将一些其他的排列组合 问题转化为分配问题来解决。

练习：把编号为1,2,3,4,5的五个球完全放入编号为 1,2,3的三个盒子中，每个盒子中至少放
一个球，则不同放法的总数是：
（A）60


（B）150 （C）300 （D）540
112112
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