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二十种排列组合问题的解法
排列组合问题联系实际生动有 趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，
弄清楚是排列问题、组合问题还 是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方
法来处理．
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．
2.掌握解决排列组合问题的常用策略 ;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问
题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中 有
m
1
种不同的方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的方法 ，…，
在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件 事共有：
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法 ．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第 1步有
m
1
种不同的方法，做第2步有
m
2
种不同的方法， …，做
第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样 做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类．
3 .确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有
C
3
排法；
1
然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有
C
4
种排法；
最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有
A
4
种排法；
113
∴由分步计数原理得
C
4
C
3
A4
288

3
131

C
4
A
4
C
3
练习题:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的
种法？
解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有
A
4
不同种法，再其它葵花有
A
5
不同种法，所以
25
共有不同种法
A
4
A
5
121201440
种不同的种法．
2
5
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进
522
行排列，同时对相邻元素内部 进行自排．由分步计数原理可得共有
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法．
甲乙
丙丁

练习题:
某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20
2< br>解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有
A
5
20
种不的情形．
三.不相邻问题插空策略
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例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不 能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间
包含首尾两个空位共有种A
6
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
A
6

练习题：
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原
节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总
7
A
7
排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
3

A
3
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A
7
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1
454
5
种坐法， 则共有
A
7
种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法 ,再把其余4四人依次插入共有
C
7
A
4
方法．（
先选三个 座位坐
下甲，乙，丙共有
C
7
种选法，余下四个空位排其它四人共有
334
A
4
4
种排法，所以共有
C
7
A
4
种方法．）
34
4
练习题:
10人身高各不相等,排成前后排， 每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C
10

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依
此类推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法
练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插 入原
节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7

六.环排问题直排策略
如果在圆周上
m
个不同的位置编上不同的号码，那么 从
n
个不同的元素的中选取
m
个不同的元素排
在圆周上不同的位置， 这种排列和直线排列是相同的；如果从
n
个不同的元素的中选取
m
个不同的元 素排
列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不 同的，
这就是环形排列的问题．一个
m
个元素的环形排列，相当于一个有
m< br>个顶点的多边形，沿相邻两个点的
弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个
m< br>个元素的环形排列对应着
m
个直线排列，设从
n
个
元素中取出
m
个元素组成的环形排列数为
N
个，则对应的直线排列数为
mN个，又因为从
n
个元素中取
出
m
个元素的排成一排的排列数为< br>A
个，所以
mNA
m
n
m
n
，所以
5
6
8
m
A
n
N
．
m
m< br>A
n
即从
n
个元素中取出
m
个元素组成的环形排列数 为
N
．
m
n
A
n
n!
n
个元 素的环形排列数为
N(n1)!

nn
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所 以固定一人
A
4
并从此位置把圆形展
成直线其余7人共有
(81) !7!
种排法，即
7!7654321840
种
4
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C
D
E
F
B
A
AB
C
DEFGHA
H
G

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有
15
A
2
4
种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
4
种 ,其余的5人在5个位置上任意排列有
A
5
种,
则共有
A
4
A
4
A
5
种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两 排即可）
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，
并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
解：由于甲乙二人 不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，
111 1
与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列
C
6
C
18
C
14
C
17
108238346

215
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素(包含一个 复合元素)装入4
个不同的盒内有
A
4
种方法，根据分步计数原理装球的方法 共有
C
5
A
4

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长 各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,
且正副班长有且只有1人参加,则不同的 选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没 有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有
多少个？（
注 ：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构
的外 围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．

222
解：把１,５,２ ,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
种排法，再排小集团内部共有
A
2
A
2
种排法，由
分步计数原理共有
A
2
A2
A
2
种排法.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种 的必须连
在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A
2
A< br>5
A
4

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻 的排法有
A
2
A
5
A
5
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位
置插 个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
9种
分法．
注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的 问题是邮筒不同，但信是
相同的．即班级不同，但名额都是一样的．





一二三四五六七

班班班班班班班

练习题：
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6
222
424
2
254
255

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10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9

2.
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2, 3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有 5个偶数5个奇
数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
,只含有1个偶 数的取法有
C
5
C
5
,和为偶数的取法共有
123123< br>C
5
C
5
C
5
．再淘汰和小于10的偶数共9种， 符合条件的取法共有
C
5
C
5
C
5
9

312
4
3
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团 支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得C
6
C
4
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不 妨记6本书为ABCDEF，若第一步取
AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD, EF),则
C
6
C
4
C
2
中还有
(AB, EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共 有
A
3
种取法 ,而这些分法仅是
22
C
6
2C
4
C
2
(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法．
3
A
3
3
222
222


n< br>平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n(
n
为均分的

组数

)避免重复计数。
练习题：
54
C
13
C
8
4
C
4
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）
2
A
2
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 < br>222
C
4
C
2
A
6
排2名，则不同的安排 方案种数为______（
90
）
2
A
2
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演 出一个2人唱歌2人伴舞的节
目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
C
3
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
112
C
5
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
5
2
C
5
2
种，由分类计数原理共有
2211222

C
3
C
3
C
5
C
3
C
4
C< br>5
C
5
种．
22

解含有约束条件的排列组合问题 ，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。
分步层次清楚，不重不漏，分 类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否 选上唱歌人员为标准；
○
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；
○
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果
○
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须 既有男生又有女生，则不同的选法
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共有34
B
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3
只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

十四.构造模型策略
例14. 马 路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或
A
3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当 作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5
种
一些 不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可
使问 题直观解决
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多 少种？（120）


十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2 ,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每
个 盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒 子对号有
C
5
种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩
下3 ,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时，则
4,5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
种 .
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张
别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
则不同的着色方法有 72种
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
12345
所有的偶因数为：
C
5
C
5
C
5
C
5
C
5

2
2
3
1
3
2
5
4
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)
4
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
8
1 258
,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成
358174
对异面直线
分 解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然
后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复
杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解 ：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多
少选 法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下
去.从3×3 方队中选3人的方法有
C
3
C
2
C
1
种．再从5× 5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5
×5方队中选取3行3列有
C
5
C
5
选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有
33111
C< br>5
C
5
C
3
C
2
C
1
选法 ．从
33
方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,
111
33
所以每行必有一人,据此,从每行任了




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练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，
3
从A走到B的最短路径有多少种？(
C
7
35
)
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个
没有重复的比324105大的数？
54321
解:
N2A
5< br>2A
4
A
3
A
2
A
1
2 97


数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计

数原理求出其总数。
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的 四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
3140
十九.树图策略 例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传 求后,球仍回到甲的手中,则不同的传
球方式有______
N10


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中
i
号人不坐
i号椅（
i1,2,3,4,5
）的不同坐法有多
少种？
N44


二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只 ,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且
三色齐备,则共有多少种不 同的取法

解:


1 1 2 3
红 1 2



1 2 3 1 2 1

黄

兰 3 2 1 2 1 1
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经 常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,
11121311
C
5
C< br>4
,能达到好的效
C
5
C
4
果.
C
5
C
4
C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2
C
5
3
C
2
能保证题 中须满足的条件
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策 略加以复习巩固．排列组合历来是学习中的难点，通过
我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点 是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞
大，难以验证．同学们只有对基本的解题策略熟练 掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来
解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将 几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，
触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础．
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