排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版精选版

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排列组合问题的解题方
法与技巧的总结完整版
Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT- BST108】

学员数学科目第次个性化教案
授课时间
学员年级
课时总数

教师姓名

备课时间

高二

共

课时
课题名称
教育顾问

排列组合问题的解题策略
学管
邱老师

教学目标
教学重点
教学难点
1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性
质的掌握；
3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
1、两个计数原理的掌握与应用；
2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性
质的掌握；
运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题（多为排列与组合的混合问题）
教师活动
一、作业检查与评价（第一次课程）
二、复习导入

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问
题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次
要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

三、内容讲解
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的方法，…，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做第2步有
m
2
种不
同的方法，…，做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事
件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分
多少步及多少类。 < br>3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出
多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法
教学过程

解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其
他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
NMM
评注：一般地: n站成一排,其中某m个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有
A
NM
A
M
种
排法。
练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法
二、不相临问题——选空插入法
例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总
数应为：< br>A
6
2
A
5
5
种 .
插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有
限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若N
个人站成一排，其中M个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排
法。
练习：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要
求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法
分析此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,
在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.

解先排学生共有种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其
中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.
三、复杂问题--总体排除法或排异法
有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简
捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意
几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三< br>角形共有个.
解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和
顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32
个.
练习：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在
内的抽法有多少种
分析此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成
各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,
而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有种,所以正副
班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有种.
四、特殊元素 --优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其
他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不
排在两端，则共有不同的排法
种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位

置，有
3
种，而其余学生的排法有种，所以共有

＝72种不同的排法.
例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3
名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的
出场安排共有种.
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有

种排法，而其余7名队员选出2名
安排在第二、四位置，有种

排法，所以不同的出场安排共有＝252种.
五、多元问题--分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个
新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（

）
A．42B．30C．20D．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有

种；2.相临：共有

1
种。故不同插法的种数为：
A
6
2
+

A
2
2
A
6
=42 ，故选A。
例7．（200 3年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地
区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）

解：由题意，选用3种颜色时
，
C
4
种颜色，
必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色
33
方法有C
4
A
3
=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有
14
C
2
A
4
=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72
3
六、混合问题--先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4
人，则不同的分配方案共有（）
种
A. 种
C. 种 D.
解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不
同的路口的不同的分配方案共有：

种，故选A。
例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3
种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C
3
2
种，在不同土质的三块土地上种植的方
法是A
3
3
，
∴种法共有C
3
2
A
3
3
=18，故选B．
七．相同元素分配--档板分隔法
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的
书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考
这些方法是否适合更一般的情况本题考查组合问题。
解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保
证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个
相同“I”（一般可视为“隔板”）共有
C
6
2
种插法，即有15种分法。
2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得
的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有
种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有
本，有< br>种分法；③某两个阅览室各得2
种分法.由加种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1 本，有
+=15种. 法原理，共有不同的分法3
八．转化法:
对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单
的、具体的问题来求解
。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额
分配方案有多少种
分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,
就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.
解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须
把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即
可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.
九．剩余法:
在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难
时,可转化为求剩法.
例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法
分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌
乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问
题.

解?把所有的硬币全部取出来,将得到×23+×10=元,所以比2元多元,所以剩下元即剩
下3个5 分或1个5分与1个1角,所以共有2种取法.
十．对等法:
在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只
要求出全体,就可以得到所求.
例13?期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序
分析对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情
况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得
到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.
解不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排
在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有种.
十一．平均分组问题:
例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
（2）分为三份，每份2本；
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。
解：6xC24=90；
2.(C26xC24)A33=15；
6xC25=60；
6xC25xA33=360；
5.【(C26xC24)A33+C16xC25+C16xC15A22】xA33=540.
总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无
序组合；分类为加，分步为乘。
具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：
（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。
（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。
四、巩固练习
五、
课堂总结

六、课后作业容布置（分数混合运算的复习习题）
七、课后教学反思（该部分课后手写）
不足之处：
成功之处：
（及时反思，持之以恒，量变引起质变，一天积累一小点，学习提升一大点）

学科带头人
课前审核签
名

时
间

其它说
明

课后反馈表

学管在阅读完教案、课后反馈表后，签名：日期：