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几类常见排列组合问题解题策略

排列组合问题是高中数学中的一个 难点，也是高考的必考内容。其思考方法独特，解题
思路新颖。如果对题意认识出现偏差的话，极易出现 计数中的“重复”和“遗漏”。在初学
阶段，提高学生解排列组合题的有效途径之一是将一些常见题型进 行方法归类，构造模型解
题。这样有利于学生认别模式，并进而熟练运用。本文列举了八种常见的排列组 合典型问题
的解题策略，希望能对大家有所帮助。
1 重复排列“住店法”
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看
作“客”，能重复 的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 （ ）
33
A
8
B
3
C
A
8
D
C
8

38
[解析] 冠军不能重复，但同一个学生可获得 多项冠军。把8名学生看作8家“店”，3
项冠军看作3个“客”，他们都可住进任意一家“店”，每个 客有8种可能，因此共有
8
种
不同的结果。选（A）。
[评述]类 似问题较多。如：将8封信放入3个邮筒中，有多少种不同的结果？这时8
封信是“客”，3个邮筒是“ 店”，故共有
3
种结果。要注意这两个问题的区别。
8
3
2 特色元素“优先法”
某个（或几个）元素要排在指定位置，可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，
3名主力队 员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么
不同的出场安排共有__ _______种（用数字作答）。
3
[解析]3名主力的位置确定在一、三、五位中选择， 将他们优先安排，有
A
3
种可能；
32
2
然后从其余7名队 员选2名安排在第二、四位置，有
A
7
种排法。因此结果为
A
3
A
7
=252种。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？
[解析]按一定次序排列的一列数叫做数列。由 于7个位置不同，故只要优先选两个位置
22
安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“ 1”再填“2”）。因此，一共可以组成
C
7
C
2
=21
个 不同的数列。
3 相邻问题“捆绑法”
把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大 元素”，与其余普通元素全排列，是为“捆
绑法”，又称为“大元素法”。不过要注意“大元素”内部还 需要进行排列。
例4（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2 本，其他书3
本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排
法共有____________种（结果用数字表示）。
5
[解析]将数学书与外 文书分别捆在一起与其它3本书一起排，有
A
5
种排法，再将3本
3532< br>数学书之间交换有
A
3
种，2本外文书之间交换有
A
2
种，故共有
A
5
A
3
A
2
=1440种排法。
2

[评述]这里需要说明的是，有一类问题是两个已知元素之间有固定 间隔时，也用“捆绑
法”解决。如：7个人排成一排，要求其中甲乙两人之间有且只有一人，问有多少种 不同的
排法？可将甲乙两人和中间所插一人“捆绑”在一起做“大元素”，但甲乙两人位置可对调，125
而且中间一人可从其余5人中任取，故共有
C
5
A
2A
5
1200
种排法。
4 相间问题“插空法”
元素不相邻问题，先安排好其他元素，然后将不相邻的元素按要求插入排好的元素之间
的空位和两端即可 。
例5（2003年北京春季高考题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前
又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同
插法的种数为 （ ）
A 6 B 12 C 15 D 30
[ 解析]原来的5个节目中间和两端可看作分出6个空位。将两个新节目不相邻插入，相
2
当于从 6个位置中选2个让它们按顺序排列，故有
A
6
。
30
种排法， 选（D）
[评述]本题中的原有5个节目不需要再排列，这一点要注意。请练习以下这道题：马路
上有编号为1、2、3、···10的十盏路灯，为节约用电又能照明，现准备把其中的三盏灯，
但不 能关掉相邻的两盏或三盏，两端的灯也不许关掉，求不同的关灯方式有多少种？可得结
3
果为< br>C
6
=20种。你能很快求解吗？
5 多元问题“分类法”
对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论，然后根据分类计数原理将各种
可能性相加即得。 需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。
例6（1999年全国高考题）在一块并排10垄的 田地中，选择2垄分别种植A、B两种作
物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长，要求A、B两种作 物的间隔不小于6垄，则不
同的选垄方法共有____________种（用数字作答）。
[解析]先考虑A种在左边的情况，有三类：A种植在最左边第一垄上时，B有三种不同
的种植方法；A 种植在左边第二垄上时，B有两种不同的种植方法；A种植在左边第三垄上
时，B只有一种种植方法。又 B在左边种植的情况与A在左边时相同。故共有
2(321)
=12
种不同的选 垄方法。
例7 有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日 语都
精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这
两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？
[解析]假设先安排英文翻译，后 安排日文翻译。第一类，从5名只能翻译英文的人员中
选4人任英文翻译，其余6人中选4人任日文翻译 （若“多面手”被选中也翻译日文），则
44
有
C
5
C
6< br>；第二类，从5名只能翻译英文的人员中选3人任英文翻译，另从“多面手”中选
314
1人任英文翻译，其余剩下5人中选4人任日文翻译，有
C
5
C
2
C
5
；第三类，从5名只能翻
译英文的人员中选2人任英文翻译，另外安排2名“多面手 ”也任英文翻译，其余剩下4
224
人全部任日文翻译，有
C
5
。
C
2
C
4
。三种情形相加即得结果185（张）
[评述]本题当然也可以先安排日文翻译再安排英文翻译，请大家自己列式看看。

6 分球问题“隔板法”
计数问题中有一类“分球问题”，说的是将相同的球分到不同的盒中。如 ：将10个相同
的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，要求每个盒中至少一个球，问有多少种不 同的
放法？这时可以用“隔板法”解题。即将10个相同的球排成一排，中间看作有9个空，从
3
中选出3个不同的空插入3个“隔板”，则每一种插法对应一种球的放法，因此共有
C
9
=84
种不同的放法。用“隔板法”可很快地解决以下问题。
例8（2002年 全国高中数学联赛题）已知两个实数集合
A{a
1
,a
2
, ,a
100
}
与
B{b
1
,b
2
, ,b
50
}
，若从A到B的映射f使得B中每一个元素都有原象，且
f(a
1
)f(a
2
)f(a
100
)
，则 这样的映射共有 （ ）
50504949
A
C
100
B
C
99
C
C
100
D
C
99

[解析 ]本题可以将A中的100个元素按
a
1
,a
2
,,a
100
的顺序排成一排，中间有99个空，
49
从中选出49个插上隔板就是结果， 即
C
99
，选（D）。
7 正难则反“排除法”
有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，从反面入手考虑，往往会取得意
想不到的效果。
例9（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 （ ）
A 70个 B 64个 C 58个 D 52个
4
[解析]直接统计较繁，可从反面入手。从8个顶点中任取4个有
C
8
种取法，而四点共
4
面的情况有6个表面和6个对角面，因此结果为C
8
。
1258
个，选（C）
例10（1997年全国高 考题）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共
面的点，不同的取法有 （ ）
A 150种 B 147种 C 144种 D 141种
4
4
[解析]10个点任取4个有
C
10
种取法。 其中同一个面内6个点中任意4点共面，有
4C
6
种；又每条棱上3点与对棱中点四点 共面，有6种；且各棱中点中4点共面的情形有3种。
44
故10点中取4点，不共面的取法有
C
10
。
4C
6
63141
种，选（D）
8先选后排“综合法” < br>“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我
们总是先从 几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上。
例11 对某产品的6件不同正品和4件 不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。
若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试 方法有多少种可能？
[解析]第5次必测出一个次品，其余3个次品在前4次中被测出。从4 个中确定最后一
个次品有
C
4
种可能；前4次中应有1个正品3个次品，有< br>C
6
C
3
种；前4次测试中的顺序
1
13