substantially-余秋雨散文

高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实 际问题上
的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的< br>计数方法，不可废弃.
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分 步与分类同时进行,确定
分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 (有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取
出多少个元素.
解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
解 排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事
情的发生的连续过程分 步，做到分步层次清楚.
一．“相邻”与“不相邻”问题
【例1】甲、乙、丙、丁四名同学 排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：
（1）甲不在排头、乙不在排尾；
（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；
（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．
[来源学科网]


【 点评】对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时
要考虑相邻元素 的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先
排其他元素，然后将这些要求 不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”
或者“不在”的排列问题的计算方法主要 有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．

【牛刀小试】某学校组织演讲比赛，准备 从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、
乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时 ，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同
的演讲顺序的种数为______________.
【答案】1140
【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C2
•C
6
•A
4
=960种情况；
[来源:学科网]< br>134

2242232
若甲乙两人都参加，有C
2
•C6
•A
4
=360种情况，其中甲乙相邻的有C
2
•C
6
•A
3
•A
2
=180种情况；
则不同的发言顺序种数960+360﹣180=1140种．
二． 涂色问题
【例2】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，
要求这3张 卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_____________.
【分 析】如何分类是解题的关键.“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的
三种颜色不同”．
第一类，含有1张红色卡片，第二类，不含有红色卡片，由分类加法计数原理球结果.
【点评】准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种
颜色或三 种颜色”都满足要求．
【牛刀小试】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用 )，要求每个
区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________.

【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻，由条件宜采用分步处理，又相邻区域不同色，因 此
应按区域1和区域3是否同色分类求解．
【解析】按区域1与3是否同色分类；
3
(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A3
种
方法．
∴区域1与3涂同色，共有4A
3
3
＝24种方法．
(2)区域1 与3不同色：先涂区域1与3有A
4
种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第
三步 涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．
2

∴这时共有A
2
4
×2×1×3＝72种方法，
故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.
【点评】（1）解决涂色问题，一定要分清所给的颜色是否用完，并选择恰当的涂色顺序．
（2）切实选择好分类标准，分清哪些可以同色，哪些不同色．
三．分配问题
【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成每组都是2本的三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，每人2本．
【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.

【点评】不 同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均
匀分组；②均匀分组；③ 部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
【牛刀小试】某公司招聘来
8< br>名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻
译人员不能分在同一个部门，另外三 名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分
配方案共有______________种
【答案】
36

【解析】由题意，有①甲部门2个电脑编程人员，有3种可能 ，翻译可能2种，剩下1人有
3种可能，故共有18种分配方案；②甲部门1个电脑编程人员，有3种可 能，翻译可能2
种，剩下2人有3种可能，故共有18种分配方案，由分类计数原理得不同分配方案共有 18
＋18＝36种．
四．排数问题
【例4】在某种信息传输过程中，用四个数字 的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息，
不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0，1，则与 信息0110之多由四个相对应位置上数
字相同的信息个数为_______.
【分析】信息 0110是四个数字，此类“至多”、“至少”类型的问题，可以直接利用分类讨
论求解，也可以转化为 反面的问题，利用间接法求解.

12
【解析一】（直接法）若0相同，只有1 个；若1相同，共有
C
4
若2相同，共有
C
4
4
个；
6
个，故共有
14611
个.
2
【解析二】 （间接法）若3个数字相同，共有
C
4
6
个，若4个数字相同共4个，二不 同排
列个数为
216
个，所以共有
16(14)11
个.
【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同，易出现的问题是分类混淆，漏掉
各位 数字信息均不同的情况，解决此类问题的关键是准确确定分类标准，分类计数时要做到
不重不漏. 【牛刀小试】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶
数共有______________个
【答案】120
3
【解析】据题意，万位 上只能排4、5．若万位上排4，则有
2A
4
个；若万位上排5，则有
3< br>33
个．所以共有
2A
4
3A
4
524 120
个．学科网
3A
4
4
五．摸球问题
【例5】将 四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号
l，2，„，8.则红球 的编号之和小于黑球编号之和的排法有种.
【分析】注意到4个相同的红球没有区别，4个相同的黑球 也没有区别，先求出任意排放的
排法
C
8
70
，编号相等的结果必 有四组，其中每组一黑球一白球的编号和为9，则有
(1,8)
，
4
(2,7 )
，
(3,6)
，
(4,5)
四种，红黑互换编号就有8种，因为红 球的编号之和小于黑球编号之
和的排法和大于的排法一样，则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有
7062
31
种.
2
【点评】要搞清组合与排列的区别与联 系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以
分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．
【牛刀小试】四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中则恰有一个空盒的放法共有
种（用数字 作答）．

【答案】42
【解析】根据题意，分2步进行分析，
2
①、先在编号为1，2，3的三个盒子中，取出2个盒子，有
C
3
3
种取法，
②、将4个小球放进取出的2个盒子中，每个小球有2种放法，则4个小球一共有
2×2×2×2=2种，
其中有1个空盒，即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；
则将4个小球放进取出的2个盒子中，且不能有空盒，其放法数目为（2﹣2）=14种，
故 四个不同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法为3×14=42
种；
故答案为：42．
六．“至多”、“至少”问题
【例6】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中
（1）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
【分析】“无序问题”用组合，注意分类处理．
4
4

【点评】 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也
可能遇到“至多”或 “至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切
记不要因为“先取再后取”产生顺 序造成计算错误．选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出
现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用．
【牛刀小试】某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，
每 人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同
的报考方法种数 共有____________种
【答案】150
5
【解析】间接法处理，所有的 排法有
3243
种，从中减去5人只参加了2个学校考试的
212
排法C
5
C
5
A
3
90
种和1个学校考试的排 法3种，所以共有243-90-3=150种．


七．信息迁移题
【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 24 9等．显
然2位回文数有9个：11,22,33，„，99.3位回文数有90个：101,111, 121，„，191,202，„，
999.(*)
则：（1）4位回文数有________个；
（2）2n＋1(n∈N
*
)位回文数有________个．(**)
【分析】由(*)式，理解“特殊”背景——回文数的含义，借助计数原理计算．
结合(** )，可从2位回文数，3位回文数，4位回文数探索求解方法，从特殊到一般发现规
律．
【解 析】（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位
一样，有10种 填法．共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．由计数原理，共有9×10种填空．
【点评】（1）一题两问，以“回文数”为新背景，考查计数原理，体现了化归思想，将确定
回文数的问 题转化为“填方格”问题，进而利用分步乘法计数原理解决，将新信息转化为所
学的数学知识来解决．
（2）从特殊情形入手，通过分析、归纳，发现问题中隐含的一些本质特征和规律，然后再
推广 到一般情形，必要时可以多列举一些特殊情形，使规律方法更加明确．
【牛刀小试】将正整数n表示成 k个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数n分
成k个部分的一个划分，一个划分中的各加数 与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同
的划分，将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为 P（n,k），则P（10,3）的值为
___________________.
【答案】8
【解析】由题意知本题是要把10划分成3部分，可以列举出所有的情况（1、1 、8）（1、2、
7）（1、3、6）（1、4、5）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（ 3、3、4）共有8种结果学科
网

n

【迁移运用】
来源学。科。网Z。X。X。K]

1. 【河南省新乡市20 17届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】由1，2，3三个数
字组成的五位数中，相邻的数字 不相同的五位数共有_________个．
【答案】
42

[

考点：排列组合．
2. 【江西省新余市2016届高三第二次模 拟考试数学（理）试题】7人站成两排队列，前排
3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排 加一人，后排加两人，其他人保持相
[
对位置不变，则不同的加入方法种数为 .
【答案】360
【解析】
11
试题分析：前排
3
人有< br>4
个空,从甲乙丙
3
人中选
1
人插入,有
C
4
C
3
种方法,对于后排,若插入
11211
211
的2
人不相邻有
A
5
种,若相邻有
C
5
C
3
(A
5
C
5
C
2
)360
种.
C
2
种,故共有
C
4
考点：1.排列组合问题；2.相邻问 题和不相邻问题.
3.【2015-2016学年河北省衡水二中上期中】用红、黄、蓝三种颜色给如 图所示的六个相连
的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色 方案
的种数是__________.

【答案】30
4．八人分乘三 辆小车，每辆小车至少载
1
人最多载
4
人，不同坐法共有_________ ___种
【答案】
4620

【解析】第一步分步：由题意 把8人可分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），
23
C
8
4
C
4
C
8
2
C
6
3
分 组的种数为
CC
第二步，分配，每一种分法都有
770
A6
种，
3
22
A
2
A
2
1
8
37
根据分步计数原理，共有770×6=4620种．
5．【2016届内蒙古赤峰二中 高三上12月月考】将甲、乙等
5
名学生分配到三个不同学校实
习，每个学校至少一人 ，且甲、乙在同一学校的分配方案共有___________种
【答案】
36
< br>【解析】除了甲乙两人外还有两人分配到同一学校实习，所以应分两种情况：①3人到一所
学校， 另两人各到一所学校，该情况有
别有2人，该情况有
种；②有1人到一所学校，另两所学校分< br>种，因此所有分配方案共有36种．
6．【2016届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考】 某大学的
8
名同学准备拼车去旅游，
其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分 乘甲、乙两辆汽车，每车限坐
4
名同学（乘
同一辆车的
4
名同学不考 虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的
4
名
同学中恰有
2
名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_______________种
【答案】
24

【解析】由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上 剩下两个学生要来自不同的年
211
级，从三个年级中选两个为
C
3
，然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生，为
C
2
C
2
，剩下的4人乘坐乙车．
211
故有
C
3
C
2
C
2
32212
种；第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年
1
级中选择同一个年级的两名同学在甲车上，为
C
3
，然后再从剩下 的两个年级中分别选择一
111
11
人，为
C
2
C
2
C
2
32212
种．因此共有
121224
种不同的乘车方
C
2
，这时共有
C
3
式．
[来源: 学科网]

7.张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园。为安全 起见，首
尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有_____________种
【答案】24
2
【解析】分三步进行：第一步 排两位爸爸，有
A
2
种不同的方法；第二步先将两个小孩看作

32
一人和两位妈妈进行排列，共有
A
3
种不同的排法；第三步调整两小孩的 位置，有
A
2
种不同
232
26224
种不同的入 园顺序排法．的方法；由分步计数原理知：共有
A
2
学

A
3

A
2
科网
8.已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{ 1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐
标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 ______________.
【答案】33
9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜 色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种
颜色可供使用,则不同的染色方法总数有 _____________种
【答案】420
C
与
B
同色.各 个点的不同的染色方【解析】四棱锥为
PABCD
.下面分两种情况，即①
1111
法：点
p
有
C
5
种；点
A
有
C< br>4
；点
B
有
C
3
种.点
D
有
C
3
种. 共有
C
5
C
4
C
3
C
3
180
种不同
1111
的方法.
②
C与
B
不同色讨论.点
p
有
C
5
种；点
A
有
C
4
；点
B
有
C
3
种.C
与
B
不同色有
C
2
种；点
1
111 11
种. 共有
C
5
C
4
C
3
C
2
C
2
240
种不同的方法.
D
有
C
2
1111
综上，共有
180240420
种不同的染色方法.
10.若数列{a
n
}满足规律：a
1
>a
2
3
>„2n
－
1
>a
2n
<„，则称数列{ a
n
}为余弦数列，现将1,2,3,4,5
排列成一个余弦数列的排法种数为___ ____________.
【答案】16

11.如图所示是某个区域的街道示 意图(每个小矩形的边表示街道)，那么从A到B的最短线
路有_______条．

[来源:]

【答案】200
【解析】从
A
到
B
的最短线路有两条：
A
－
M
－
B
；
A
－
N
－
B
.
①若线路为
A
－
M
－
B
，则从
A
到
M
只需走5条街道，则 需要从这五条街道中走3条向右，
剩余2条街道则需要向北走，不同的走法为C
3
5< br>＝10种；从
M
到
B
只需走5条街道，则需要
从这五条街道中 走2条向右，剩余3条街道则需要向北走，不同的走法为C
2
5
＝10种．
由分步计数原理可得，不同的走法为10×10＝100种．
②若线路为
A
－
N
－
B
，则从
A
到
N
只需走5条街道， 则需要从这五条街道中走2条向右，
剩余3条街道则需要向北走，不同的走法为C
2
5
＝10种；从
N
到
B
只需走5条街道，则需要
从这五条街道 中走3条向右，剩余2条街道则需要向北走，不同的走法为C
3
5
＝10种．
由分步计数原理可得，不同的走法为10×10＝100种．
由分类计数原理可得，不同的走法共有100＋100＝200种．

12．某铁路 货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，
且甲与乙两列列车不在同 一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不
同的发车顺序共有________种 ．
【答案】216
【解析】先进行分组，从其余4列火车中任取2列与甲一组，不同的分法 为C
2
4
＝6种．
由分步计数原理得不同的发车顺序为C
4
·A
3
·A
3
＝216种．

233