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数学论文--排列组合中的分组分配问题
邯郸市第一中学 高三数学组 段纪飞
关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配
分组分配问题是排 列组合教学中的一个重点和难点。某些排列组合问题看似非分配问题，实
际上可运用分配问题的方法来解 决。下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中
的体会和做法。w.w.w.k.s.5.u .c.o.m
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念
n个不同元素按照某些条件分配给 k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定
向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成 k组，称为分组问题.分组问题有不平
均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问 题是有区别的，前者组与
组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象 不同，仍然
是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
22
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是
C
2
6
C4
C
2
=90(种) ，这90种分组实
际上重复了6次。我们不妨把六 本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两
种分法：(1，2)(3，4)(5，6 )与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，
又与顺序无关，所以这 两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因
此还应取消分组的顺序，即除以组数 的全排列数
A
3
所以分法是
3
，
C
6
C< br>4
C
2
=15(种)。(2)先分
3
A
3
2 22
23
组，方法是
C
1
那么还要不要除以
A
3< br>由于每组的书的本数是不一样的，
6
C
5
C
3
，3
？我们发现，
23
因此不会出现相同的分法，即共有
C
16
C
5
C
3
=60(种) 分法。
11
(3 )分组方法是
C
4
6
C
2
C
1
=30(种 ) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组
的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序， 而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，
CC
2
C
1
=15(种 )。 不可能重复。所以实际分法是
6
2
A
2
通过以上三个小题的分 析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素 数目分别为m
1
，m
2
，„，
411
欢迎广大教师踊跃来稿 ，稿酬丰厚。
1

CC
m
p
，其中k组内元素数目 相等，那么分组方法数是
三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题
m
1
n
m
2
nm
1
C
m
3
nm< br>1
m
2

C
m
p
p
m
A
k
k
。
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配 问题，由分布
222411
123
计数原理不难解出：分别有
C
6< br>C
4
C
2
=90(种)，
C
6
C
5
C
3
=60(种)，
C
6
C
2
C
1
=30(种)。
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方
法？
(1) 每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的 问题。由于分配给
三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组 ，再
将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以
A
3
即< br>3
，
C
6
C
4
C
2
3
=9 0(种)，
A
3
3
A
3
222
CCC
A
1
6
2
5
3
3
3
3
=360(种 )
C
6
C
2
C
1
3
=90(种)。
A
3
2
A
2
411
结论2. 一般地，如果把不同 的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的
元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列 的问题，即分组方案数乘以不同对象数的
全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人 都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑
先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢 ？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、
二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据 加法原理，分组法是
C
6
C
4
C
2
+
12 3
+
C
6
C
2
C
1
=90(种)。再考虑 排列，即再乘以
3
。所以一共有540种不
C
6
C
5
C
3
A
3
32
A
3
A
2
欢迎广 大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
2
222411

同的分法。
四、分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多
少种？
分 析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将
CCC
2
(种)，然后将这四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有
43
2
A
2
三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题， 即共有
112
C
4
C
3
C
2
3
= 144(种)。
A
4
2
A
2
例6有甲、乙、丙三项任务， 甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4
人承担这三项任务，不同的选法有多少种？ < br>分析：先考虑分组，即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共
112
CC
9
C
8
(种)分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个 组只能承担甲任有
10
2
A
2
CC
9
C
8
2
=2520(种)务，而一个人的两组既可承担乙任务又可承担丙任务，所以共有
1 0
2
A
2
A
2
不同的选法。
例7设集合A={1 ，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合
B的不同的函数有多 少个？
分析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集
合B的每个元素接受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配
的问题。先考 虑分组，集合A中4个元素分为三组，各组的元素数目分别为1、1、2，则共
112
112< br>CCC
2
(种)分组方法。再考虑分配，即排列，再乘以
3
，所以共有
C
4
C
3
C
2
3
=36(个)有
43
A
3
A
3
22
A
2
A
2不同的函数。
总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。而且，学会了分配问题，还 能
将一些其他的排列组合问题转化为分配问题来解决。
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