流星花园之远距离猛犬观察日记-撕心裂肺的近义词

排列组合常见解题错误剖析

学生在解排列组合题时常犯以下几类错误：
1、“加法”、“乘法”原理混淆；
2、“排列”、“组合”概念混淆；
3、重复计数；
4、漏解.
本文拟就学生在排列组合问题上的常犯错误归纳分析如下：
1.“加法”、“乘法”原理混淆
两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有
n
类方法，
这
n
类方法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件
事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理；如果完成一件事有
n
个步骤，缺一 不
可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的
方法 ，求完成这件事的方法数就用分步计数原理.
【例1】（93年高考题21）50件产品中有4件次品 ，从中任意抽出5件，其中至少有3件
次品的抽法有_______种.（注：所选高考题为理科题，以 下同）
3241
〖错解〗有
(C
4
+C
46
)( C
4
+C
46
)
＝46575种.
〖错因〗分类与分步概念不清，即加法原理与乘法原理混淆.
〖正解〗分为二类：第一类，先 取3件次品，再取2件正品，其抽法有（分两步，用乘法
3241
原理）
C
4
C
46
种；第二类，有4件次品的抽法同理有
C
4
C
46
种，最后由加法原理，不同的
3241
抽法共有
C
4
C
46
+
C
4
C
46
＝4186种.
【 例2】（91年高考题10）从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台，其中至少要有甲、
乙型机各一 台，则不同的取法共有（ ）
（A）140种 （B）84种 （C）70种 （D）35种
1221
〖错解〗有
C
4
C
5
C< br>4
C
5
＝300种选法.
〖错因〗同例1.
〖正解〗（合 理分类，合理使用两个基本原理）从4台甲型机中选2台，5台乙型机中选1
1221
台；或从 4台甲型机中选1台，5台乙型机中选2台，共有
C
4
C
5
+C4
C
5
＝70种选法.所
以选C .
2．“排列”、“组合”概念混淆
界定排列与组合问题是排列还是组合？唯一的标准是“顺序”，“有 序”是排列问题，“无
序”是组合问题，排列与组合问题并存，解答时，一般采用先组合后排列的方法.
【例3】（题目见上例）
1221
〖错解〗有
A
4
A5
+A
4
A
5
＝140种选法，答A .
〖错因〗元素与顺序无关，应是组合问题.
【例4】（94年高考题10）有甲、乙、丙3项 任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人
承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.
(A) 1260 (B) 2025 (C) 2520 (D) 5040
4
〖错解一〗分三步完成：首先从10人中选出4人，有
C10
种方法；再从这4人中选出二人
承担任务甲，有
A
4
种方法 ；剩下的两人去承担任务乙、丙，有
A
2
种方法，由乘法原理，
不同的选法共 有
C
10
A
4
A
2
＝5040种，选D.
4
22
22

〖错因〗“排列” 、“组合”概念混淆不清.承 担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合
22
问题，即
A
4
应为< br>C
4
.
22
4
〖错解二〗分三步完成，不同的选法共有C
10
＝1260种，选A.
C
4
C
2
22
〖错因〗剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即
C
2< br>应为
A
2
.
22
4
〖正解一〗不同的选法有
C
10
＝2520种. < br>C
4
A
2
〖正解二〗先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人 中选出一人承担任务乙；最
211
后从剩下的7人中选出一人去承担任务丙，由乘法原理，不同 的选法有
C
10
C
8
C
7
＝2520
种.
〖正解三〗从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙，
2由乘法原理，不同的选法有
C
10
A
8
2
＝2520种 ，选C.
【例5】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种种植的方法.
3
〖错解〗有
C
4
=4 种.
〖错因〗3个品种种在不同土质的3块土地上，有不同的种植顺序，应是排列问题.
〖分析〗 对这类既含组合，又含排列的问题，其解答思路是“先组合，后排列”，即“先
选后排”.
3
33
〖正解〗有
C
4
=24）种植方法.
A
3
＝24（或
A
4
3、重复计数出增解
【例6】（题目同例2）
111
〖错解〗从甲、乙型机中各取1台，再由余下的7台 机子中取1台，有
C
5
C
4
C
7
=140种选法.所以选A.
〖错因〗若从甲型机中选出的是
a
机和
b
机， 依错解会出现先取
a
机后取
b
机和先取
b
机
后a
取机两种情形，显然两种取法的结果是相同的，但却作为两种不同取法重复进行了计
数， 即由于组合问题的无序性，使不同的组合方式，产生了相同的结果.
111
C
5
C
4
C
7
=140
. 〖正解一〗（注意到错解正好多算一倍）
2
1221
〖正解二〗有
A
4
A
5
+A
4
A
5
=70种选法,所以选C. < br>【例7】（95年高考题12）四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有
一个空盒的放法有________种.
〖错解一〗从4只盒子中取出三只，有
C
4
种方法，从4个球中取出3个放入取出的三只
1
盒子内，有
A
4种方法，再将余下的球放入三只有球的盒子中的一只内，有
C
3
种放法，所
3
3
1
以共有
C
4
A
4
C
3< br>＝288种放法.
33
〖错解二〗分三步完成.首先取出3个盒子，有
C4
种方法；再把球分为三组，有
C
4
C
2
种
3 3
方法；最后把三组球排列后放入盒子，有
A
3
种方法.由乘法原理，共有< br>C
4
C
4
C
2
A
3
＝288
321
321
种方法.
〖错因〗同上题.
31
C
3
4
A
4
C
3
〖正解一〗在错解中消除重复，有

＝144种放法.
2
〖正解二〗从四个球中取出2个作为一组，与另两个球一起放入 四个盒子中的三个内，有

23
C
4
A
4
＝1 44种放法.
〖正解三〗将四个球分别放入四只盒子后，取出其中的2盒并为一盒（自然出现一空盒） ，
42
有
A
4
C
4
＝144种放法.
【例8】（课本变式题）7个人排成一排，甲不排头，乙不排尾的排法有几种？
11
〖错解一〗排在排头的有除甲之外的
A
6
种情形，排在尾的也有除乙之外的
A
6
种情形，两
115
5
端排好后余下的排中间有
A
5
种情形，所以不同的排法有
A
6
A
6
A
5
=4320种.
5
〖错因〗排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5< br>A
5
种情形.
115
5
〖正解一〗减去重复数，应为
A
6
＝3720种.
A
6
A
5
-5
A
5
2
〖错解二〗 头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有
A
5
种排法，余下的人
525
排中间有
A
5
种方法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有
A
5
种；又甲、乙分别在排
A
5
6256
尾、排头的排法各有
A
6
种，因此不同的排法共有
A
5
+2
A
6
＝3840种.
A
5
5
〖错因〗甲排尾且乙排头已包含在甲排尾 或乙排头的情形中，因此重复计算了
A
5
种排法.
2565
〖正解 二〗减去重复数，应为
A
5
+2
A
6
-
A
5
＝3720种排法.
A
5
重复计数是学生解答排列组合问题时最容易出 现的错误之一，且自己还很难查出错
因，教师应把以上几种常见重复的原因分析清楚，才可使学生在此类 问题上少出错.
4、思维不严密而漏解（遗漏有关情形）
【例9】（题目同例8） 766
〖错解〗总排法数为
A
7
，去掉甲排头的排法
A
6
种，再去掉乙排尾的排法
A
6
种,得满足题
76
意的排法 ：
A
7
－2
A
6
＝3600（种）.
〖错因〗甲 排头的排法中已含有乙排尾的情况，同理，乙排尾的排法中也含有甲排头的情
况.而错解中甲排头，同时 乙排尾的排法被减去两次，从而造成漏解.（甲、乙作为有限制
条件的特殊元素，对其排法须同时考虑， 否则会因顾此失彼而出错）
765
〖正解一〗（方法同错解，补上被多减的部分）有
A
7
－2
A
6
+
A
5
＝3720种排法.
115
6
〖正解二〗分为两类 ：甲排中间5个位，有
A
5
种方法，由加
A
5
A
5
种方法；甲排尾，有
A
6
115
6
法原理，共有
A
5
＝3720种排法.
A
5
A
5
＋
A< br>6
【例10】（90年高考题13）A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边 （A、
B可以不相邻），那么不同的站法有（ ）种.
(A) 24 (B) 60 (C) 90 (D) 120
〖错解〗 把A、B“捆绑”为一个元素（B在A的右边），与C、D、E一起全排列，有
A
4
＝
24种站法，答A.
〖错因〗审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解.
3
〖正解一〗按B的位置分为四类：B排第一、二、三、四位时的排法数分别是
A
4< br>、3
A
3
、
4
4
33333
2
A< br>3
、
A
3
，所以共有
A
4
+3
A< br>3
+2
A
3
+
A
3
=60种排法，选B.
4
〖正解二〗利用对称关系（注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的），A
5
5
有=60(种)，选B .
2
【例11】（97年高考 题15）四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的
点，不同的取法有（ ）种.

(A) 150 (B) 147 (C) 144 (D) 141
〖分析〗考虑到此题中四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相 对
棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会
44
44
由算式
C
10
－4
C
6
＝150而错 选A；若只考虑到情形①、②，就会由算式
C
10
－4
C
6
－3＝
4
4
147而错选B；若只考虑到情形①、③，就会由算式
C
10
－4
C
6
－6＝144而错选C；只有三
4
4
种情形都考虑到，才能得到正确的结果
C
10
－4
C
6
－6 －3＝141，选D.（从此题选项的设
置可看出命题者之良苦用心）
5、算法选择不当而造成易出错的复杂局面
如对90年高考题13，不会利用对称关系解决， 选择分类法后由于情形较复杂而易因
考虑不周出错.
如在高考90年题（14）、96年题（ 17）及97年题（15）中，应该用间接法而不恰当
地选用了直接法.
【例12】（93年 高考题17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一
张别人送出的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有（ ）
(A) 6种 (B) 9 种 (C) 11种 (D) 23种
1
〖正解一〗A的卡分给B、C、D三人，有
C
3
种方法；设B拿到A的卡，则B的卡可分给A、
1
C、D三人中 任一人，也有三种方法；余下两张卡分给剩余两人，有
C
1
种方法，所以共有
1
11
＝9种不同的分法.
C
1
C
3
C
3
1
〖正解二〗设A先拿卡有
C
3
种方法；然后由A拿到谁的卡，则 由谁再去拿卡，也有三种
1
11
方法；余下两张卡分给剩余两人，只有1种方法，所以 共有
C
3
＝9种不同的分法.
C
1
C
3
或将所有可能的分配方案一一写出也不失为一种方法.
错因多在于选用了间接法，由于情形复杂而出错.
6、应用对称关系不当
一些排列 组合问题，可应用对称关系简便地解决（如高考90年题13），但首先应判断
清楚该问题是否具有对称 性.
【例13】（87年高考题14）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字且1与2不相邻的 五
位数，求这种五位数的个数.
5
3A
5
〖错解〗（应用对称关系）有=90个.
4
〖错 因〗1与2在这个五位数中的位置有12、1╳2、1╳╳2、1╳╳╳2四种情形，故误以
为1、2不 相邻的情形有占总数的
不具有对称性.
24
32
5
〖正解〗：有< br>A
3
-
A
2
A
4
）＝72个. < br>A
4
（或
A
5
3
，而实际上，这四种情形下的五位数 的个数是不同的，
4