subsequently-小学班主任工作职责

排列组合问题的解法
解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（ 组）分清；合理分类，用准加
乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一 题多解，检验真伪。
（一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法”
对于特殊元素的排列 组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对
实际问题，有时“元素优先” ，有时“位置优先”。
例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
11
2
解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有
A
2
A
3
种；
A
4
221112
第二类，不含0：有
A
1
2
A
3
种。 故共有（
A
4
＋
A
2
A
3
）＋
A
2
A
3
＝３０种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
2
A
4
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类 ，0不在个位，先从两个偶数中选一个
111
放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。
A

2
A
3
A
3
2111
故共有
A
4
A
2
A
3
A
3
30
练习：甲、乙 、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，
共有多少种 不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单）
13
A
4
A
5
240
（二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去.
543
例２：５个人从左到 右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有
A
5
=78
2 A
4
A
3
种．
（三）.相邻问题“捆绑法”
对于某些 元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排
．．
列，同时对相邻元素内部进行自排。
例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应
3
全排列。由乘法原理共有
A
6
A
65
种。
（四）。不相邻问题“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排 好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间
及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是 不符合题意的）
例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
53
解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有
A
5
A
4
种。
注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素；
②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
例5： 马路上 有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两
盏或三盏，也 不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗 ，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有
C
3
5
种。
（五）。定序问题选位不排
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一 定元素的位置而不参加排列，
然后对其它元素进行排列。
例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
2
解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共
C
5
A
3
3
2
有 =60种。
C
5
A
3
3
1

（六）“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元 素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素
再与其它元素排列。
例 7:四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌
手， 则出场方案有几种？
2
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有 种，把这个“女男男女”小团体
A
2
4
A
2
视为1人再与其 余2男进行排列有 种，由乘法原理，共有 种．
23
A
3< br>A
2
3
4
A
2
A
3
（七）分排问题 用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．
例８：7个人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有 种排法．
解：可以在前后两排随意就座，故两排可以看成一排来处理，所以不同的坐法有
A

7
．
7
(八)列举法
如果题中附加条件增多,直接解决困难,用列举法寻找规律有时也是行之有效的方法．
例9：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不同的取法有 种。
解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为被加数 ，１＋
１００＝１０１＞１００，１为被加数的有１种；同理，２为被加数的有 ２种；３为被加数的有 ３
种；„„；４９为被加数的有４９种；５０为被加数的有５０种；但５１为被加数的只有４９种；５２ 为
被加数的只有４８种；„„；９９为被加数的只有１种，故不同的区法有：（１＋２＋„„５０）＋（ ４
９＋４８＋„„＋１）＝２５００种。
（九）元素可重复的排列求幂法。
解决“ 允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：一类元素可重复，另一类元素不能重复。把不能
．．．．． ．
重复的元素看成“客”，能重复的元素看成“店”，再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住店法 ”。
例10：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是 种。
解：应 同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看成７家“店”，五项冠军看成５
名“客 ”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝7
5
种。
（十）特征分析法 有约束条件的排数问题，必须紧扣题中所提供的数字和结构特征，进行推理，分析求
解。
例11：由１、２、３、４、５、６六个数可组成多少个无重复且是６的倍数的五位数？
解： 分析数字的特征：６的倍数的数既是２的倍数，又是３的倍数。其中３的倍数又满足“各个数位上的
数字 之和是３的倍数”的特征。而且１＋２＋„„＋６＝２１是３的倍数，从６个数字中取５个，使之和
还是 ３的倍数，则所去掉的数字只能是３或６。因而可以分两类讨论：第一类，所排的五位数不含３，即
由１ 、２、４、５、６作数码；首先从２、４、６三个中任选一个作个位数字有 种，然后其余４个数
字在其他数位上的全排列有
A

1
，所以
A
4
4
3
1
1
4
4
NA
N
A
AA
1
1

3
3
4
4；第二类，所排的五位数不含6，即由1、2、3、4、5作数码，依上法有
4
，故
N=N

1



N

2



120
种。
N
2< br>A
1
2
A
4
（十一）名额分配问题用隔板法
例12： 10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只是票数而 已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每
盒至少1球，可先把1 0球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构
成5个盒子)有 种方法。
C
9
4
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
（十二）个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
例13： 15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？
解： （解法一）先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,可用
2
2块档板与9个球一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。
C
11
2

（解法二）先在2号盒和3号盒分别放入一个球 和两个球，则问题转化为12个相同的球放入3个盒
子内，每个盒子至少放入一个球，有多少种不同的放 法？
（十三）不同元素进盒，先分堆再排列
．．
对于不同的元素放入几个不同的盒 内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先
分堆再排入。
例14： 5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
3
解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有 种和1、2、2分布有 种，再排列到
C
5
3
3
个班里有 种，故共有
3
A
122

3
C
5
C
4
C
2< br>C

5
A
2
2


3

A
3
。

注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到 位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一
次进入”。
（十四）两类元素的排列，用组合选位法
例15： 10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有 种跨
3
法。
C
7
A

注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。

例16： 沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？

解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，这是两类元素不分顺
B
3
4
序的排列问题。故有 或 种走法。
C
C
7
7
例17： 从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？
解：这个问题与例12有区别，虽 仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档
板两类元素不分顺序的排列问题 。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与
4
排成一列而占位置，故 有 种选法。
C
14
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。 （十五）利用对应思想转化法。对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理。
例18： 长方体上任意两顶点的连线段中，异面直线共有多少对？
分析：任意一对异面直线必然对应四个顶点，而这四个顶点不共面，构成四面体，每个四面体上有3对异
面直线，因此把求异面直线的问题转化成求可以构成多少个四面体的问题。
4
解：
C
8
123174


例 19：如图，∠AOB的两边分别有异于O的4个点A
1
、
A
2
、< br>A
3
、
A
4
和5个点B
1
、
B2
、
B
3
、
B
4
、
B
5，连接
A
i
B
j
（i=1,2,3,4
，
j= 1,2,3,4,5）构成的线段中，有多少个交点在∠AOB内？
分析：在∠AOB内相交的两条线 段对应一个四边形的两对角线，所以求交点个数问题转化为求四边形个数
A
22
问题。解：
C
4
=60
C
5
A
4
A
3
（十六）取鞋问题先双后支
A
2
A
1
例20：从五双鞋中任取四支，恰有一双的取法有多少种？
1
解：先从五双中取一双，有
C
5
种，再从余下4双中选两
O
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
2111211
双，从每双的两只中选择1支，有
C
4
。共有
C
5
种。
C
2
C2
C
4
C
2
C
2
（十七）涂色问题抓住 关键分类讨论
例21：如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选择，要求在 每块里种一种花，
且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 种。
3
A
D

分析：A、C种花是否相同将会影响B、D的可选择种数，因此按照
A、 C种花是否相同进行分类。
解：若A、C种花同，则B、D各自可从余下三种花中选择一种，有
111
种；若A、C种花不同，则B、D只能从余下两种花中选择，
C
4< br>C
3
C
3
111
211211
有
A4
。共有
C
4
+
A
4
=84种。
 C
3
C
3
C
2
C
2
C
2
C
2





4