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《几类排列组合问题的处理方法》发表在《学习报》2010-2011第21期总第1130期 第2
版 2010年11月19日国内统一刊号CN14-00708(F) 邮发代码：21-79

几类排列组合问题的处理方法
特级教师 王新敞
解排列组合问题，首先 要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关
系，还要考虑“是有序”的还是“无序的 ”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原
理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附 加条件的问题，需掌握以下几种常用
的解题方法：
⒈特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊 位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊
的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素 或位置，这种解法叫做特殊优
先法.
例如“用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复 数字的三位数，其中偶数共有_____
个”的问题中，数字0就是就是特殊元素，由于0是否在个位直 接影响百位数字的安排，
2
因此需要分成两类：①当0在个位时，十位和百位可以随意安排两个 数字，有
A
4
12
个；
②当0不在个位时，个位可以安排2或4 、百位有三个数字可以安排、十位有三个数字可
以安排，有
23318
个．综上 共有30个偶数．
⒉插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得
以解决 例如“7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ ”的问题，
先将除甲乙之 外五人排列，再将甲乙插入到包括两端位置的六个“间隙”中的两个位置上，
52
有
A
5
A
6
3600
种排法．
⒊捆绑法 相邻元素的排列 ，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一
个”元素进行排列，然后再局部排列 例如 “6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起
的不同坐法是________种”的问题，先将甲乙“ 捆绑”成一个元素，再将五个元素排列，
25
有
A
2
A
5
240
种不同的坐法．
⒋排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间 接解题的方法.例如“四面体
的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有 __种.”的问题，直接计
4
数很困难,用间接法,从10个点中取4个有
C
10
种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种
4
数为
4C6
60
;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以 外的四棱
4
6063141
种. 中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有
C
10
⒌剪截法（隔板法）：n个 相 同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个
小球的放法等价于n个相同小球串成一串 从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m－1块隔
板），有
C
n1
种方法 .例如 “某校准备参加2010年高中数学联赛,把10个选手名额分配到
高三年级的8 个教学班, 每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.”的问题，等价于
把10个相同小球放入8个盒子 里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题．将10个小球串成一
7
串，截为8段有
C
9
36
种截断法，对应放到8个盒子里．因此，不同的分配方案共有36
m1

种．再比如“把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三 个箱子里,要求每个箱子放球的个
数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.”的问题 ，先给编号为2、3的两个箱
子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串 ，截为三段有
C
5
2
10
种截断法，对应放到编号为1、2、3的 三个箱子里．因此，不同的放球方法有1×
10＝10种．
⒍错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个
小球. 要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.（特别当n=2,3,4,5时的错位
数各为1 ,2,9,44）．例如“编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个
盒子放一个小 球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.”的问题，选取编
2
号相同的两 组球和盒子的方法有
C
6
15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法 ,故所
求方法有
159135
种.
⒎容斥法：n个元素排成一列,求某 两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜
用容斥法. 例如“将A、B、C、D、E、F六个 不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电
路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六 个电子元件组成不同的电路的种数
是_ .”的问题，不考虑限制条件共有
A
6种排法,元件A排在始端和B排在末端各有
A
5
4
65
种排法, 把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上
A
4
种.故组
654
成不同的电路
A
6
2A
5
A
4
504
种.
⒏分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局 部等分；④无
序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分．
例如：将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本．
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本．
分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的； 是有序的还是无序的．②特别是
均匀的分法中要注意算法中的重复问题．
解：⑴是指定人应得 数量的非均匀问题：方法数为
C
6
C
3
C
1
；
321
C
3
C
1
P
3
3
； ⑵ 是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为
C
6
321
⑶是指定人应得数 量的均匀问题：方法数为
C
6
C
4
C
2
；

222

⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为< br>C
6
C
3
C
1
；
222
C
4
C
2
P
3
3
； ⑸ 是分堆的均匀问题：方法数为
C
6
321
⑹是部分均匀地分给人的问题：方法 数为
411
C
6
C
2
C
1
P
3
3
P
2
2
；
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数 为
411
C
6
C
2
C
1
P
22
．