安全生产月宣传资料-测量实习

[超全]排列组合二十种经典解
法!

2

超全的排列组合解法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型
多样，思路 灵活，因此解决排列组合问题，首
先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题
还是排列与组合 综合问题；其次要抓住问题的
本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数
原理。
2.掌握解决排列组合问题的 常用策略;能运用
解题策略解决简单的综合应用题。提高学生
解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问
题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中 有
m
种不同的方法，在第2类办法中有
m
种不同
的方法，…，在第< br>n
类办法中有
m
种不同的方
法，那么完成这件事共有：
NmmLm

12
n
12n
第 2 页 共 22 页

3

种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
种不同的方法，做第 2步有
m
种不同的方
法，…，做第
n
步有
m
种不同 的方法，那么完
成这件事共有：
NmmLm

种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法
都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法
完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样 做才能完成所要做的事,即采取分步还
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多
少步及多少 类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是
组合(无序)问题,元素总数是多少及 取出多少
个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，
12
n
12n
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4

因此必须掌握一些常用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复
数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C

然后排首位共有
C

最后排其它位置共有
A

131
CAC
43

由分步计数原理得
CCA288

4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最

常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先


练习题:7种不同的花 种在排成一列的花盆里,
若两种葵花不种在中间，也不种在两端
的花盆里，问有多少不同的种法 ？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,
共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个
复合元素，同 时丙丁也看成一个复合元素，
1
3
1
4
3
4
14
1
3
3
4
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5

再与其它元素进行排列，同时对相邻元素
内部进行自排 。由分步计数原理可得共有
AAA480
种不同的排法
5
5
2
2
2
2
甲乙
丙丁



要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用


练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰
好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3
个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的
出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2 个相声和3个独唱共
有
A
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的
6个元素中间 包含首尾两个空位共有种
A
不
同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺
序共 有
AA
种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素
5
5
4
6
5
5
4
6
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6


练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排< br>成节目单，开演前又增加了两个新节目.如
果将这两个新节目插入原节目单中，且两个
新 节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
少不同的排法
解:(倍缩法)对于 某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元
素一起进行排列,然后用总排列数
除以这几个元素之间的全排列数,
则共有不同排法种数是：
AA

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的
四人就坐共有
A
种方法，其余的三
7
7
3
3
4
7
个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共
有
A
种方法。
4
7
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,
再把其余4四人依次插入共有

方
法
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7


定序问题可以用倍缩


练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排< br>5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少
排法？

C

五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多
少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到
车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到< br>车间也有7种分依此类推,由分步计数原理
共有
7
种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，

元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位

练习题：
1． 某班新 年联欢会原定的5个节目已排成节
目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这
两个节目插入原 节目单中，那么不同插法的
种数为 42
5
10
6
第 7 页 共 22 页

8

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们
到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与 坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
并从此
位置 把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！
种排法即
7
！
8
4< br>4
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种

排法

.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形


练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石
圈 120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丙在后排,共有多少排法
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9

解:8人排前后两排,相当于8人坐8 把椅子,
可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个 位置上的特殊元素丙有
A
种,其余的5人在5个位置上任意排
1
4
列 有
A
种,则共有
A
5
5
2
4
5
A
1
4
A
5
种

前 排
后 排

一般地,元素分成多排的排列问


练习题：有两排座位，前排11个座位， 后排12
个座位，现安排2人就座规定前排中
间的3个座位不能坐，并且这2人不
左右 相邻，那么不同排法的种数是
346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,
每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元
共有
C
种方法.再把4个元素(包 含一个
2
5
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10
< br>复合元素)装入4个不同的盒内有
A
种
4
4
方法，根据分步计 数原理装球的方法共
有
CA

2
5
4
4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的

练习题：一个班有6名战士,其中正副 班长各1
人现从中选4人完成四种不同的任务,
每人完成一种任务,且正副班长有且只
有1人参加,则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1, 2,3,4,5组成没有重复数字的五位数
其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之
间,这样的 五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排
队共有
A
种 排法，再排小集团内部共有
2
2
2
A
2
A
22种排法，由分步计数原理共有
A
2
2
2
A
2
A
22
种排法.

小集团排列问题中，先整体后局

练习题：
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11

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,
４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求
同一 品种的必须连在一起，并且水
彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
AAA

2
2
5
5
4
4
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女
生也相邻的排法有
AAA
种
2
2
5
5
5
5
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班
至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。在
９个空档中选 ６个位置插个隔板，可把
名额分成７份，对应地分给７个班级，
每一种插板方法对应一种分法共 有
C
种
6
9
分法。

一
班
二< br>班
三
班
四
班
五
班
六
班
七< br>班


将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,

每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
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12



练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有
多少装法？
C

2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C

十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数 字中
取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同
的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶
数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字
中有5个偶 数5个奇数,所取的三个数含
有3个偶数的取法有
C
,只含有1个偶数的
4< br>9
3
103
3
5
取法有
CC
,和为偶数的取 法共有
CC
1
5
2
5
1
5
1
5< br>2
5
3
5
2
5
3
C
5
。 再
淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件
的取法共有
CCC9


有些排列组合问题,正面直接考虑比较复

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13



练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,
正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共
有多少分法？
解: 分三步取书得
CCC
种方法,但这里出现
2
6
2
4
2
2
重复计 数的现象,不妨记6本书为
ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,
第三步取EF该分 法记为(AB,CD,EF),则
CCC
中还有
2
6
2
4< br>2
2
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(
EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
A
种取法 ,
而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,
故共有
CCCA
种分法。
3
3
2
6
2
4
2
2
3
3

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情

况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)


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14

练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两
组4个队, 有多少分法？（
CCCA
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3
人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同
的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转
入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每
班安
排2名，则不同的安排方案种数为______
（
CCAA90
）
十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
能 唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人
唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中 有5人只会唱歌，2人只会
跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为
标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员
共有
CC
种,只会唱的5人中只有1人
5
13
4
8
4
4
2
2
2
4
2
2
2
6
2
2
2
3
2
3
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15

选上唱歌人员
CCC
种,只会唱的5人中
1
5
1
3
2
4
只有2 人选上唱歌人员有
CC
种，由分
2
5
2
5

CC
2
3
2
3
类计数原理共有
CCCCC
种。
1
5
1
3
2
42
5
2
5

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性



练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个
座 谈会，若这4人中必须既有男生又有
女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2
号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选
2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
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16

十四.构造模型策略
例14. 马 路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的
九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能
关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两
端的2盏,求满足条件的关灯方法有多
少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5
个空隙中插入3个不亮的灯有
C
种
3
5

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟


练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每
人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少< br>种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五 个球和编号
1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一 个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有
多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
种
2
5
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17

还剩下3球3盒序号不能对应，利用实
际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有
只有1种装法，同理3号球装5号盒
时,4,5号 球有也只有1种装法,由分步
计数原理有
2C
种
2
5

534

3号盒 4号盒
5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进



练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,
然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺< br>年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现
有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种
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18

1
3
2
5
4



十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积
形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再
从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：
CCCCC

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C1258
,每个四面体有
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
4
8
3对异面 直线,正方体中的8个顶点
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的
可连成
3 58174
对异面直线
解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐




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19

十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要
求3人不在同 一行也不在同一列,不同的选法有
多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方
阵,现从中选3人,要求3人不在同一
行也不在同一列,有多少选法.这样

每行必有 1人从其中的一行中选取1
人后,把这人所在的行列都划掉，如
此继续下去.从3×3方队中选 3人的
方法有
CCC
种。再从5×5方阵选出3
1
3
12
1
1
×3方阵便可解决问题.从5×5方队
中选取3行3列有
CC
选法所以从5
3
5
3
5
×5方阵选不在同一行也不在同 一列
的3人有
CCCCC
选法。
3
5
3
5
1
3
1
2
1
1



处理复杂的排列组合问题时可
以把一个问题退化成一个简要


练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组
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20

成其中实线表示马路，
走到B的最短路径有多少种？ (
C
3
7
从A
35
)
B
A

十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成
多少个没有重复的比324105大的数？
解:
N2A2AAAA297


数字排序问题可用查

字典法,查字典的法应


练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重
复的四位偶数,将这些数字从小到大排列
起来, 第71个数是 3140
十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲 开始发球,并作为第一
次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
第 20 页 共 22 页

21

手中,则不同的传球方式有______
N10


对于条件比较复杂的排



练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，
其中
i
号人不坐
i
号椅（
i1,2,3,4,5
）的不同
坐法有多少种？
N4 4

二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、
B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要
求各字母均有且三色齐备,则共有多少
种不同的取法
红 1 1 1 2 2 3
解:
黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1
CC

CC

CC

CC

CC

CC


取法





一些复杂的分类选取题,要满足的条件

1
5
1
4
1
5
2
4
1
5
3
4
2
5
1
3
2
5
2
3
3
5
1
2
第 21 页 共 22 页

22


小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解
题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现
排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题
目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同
学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它
们的 条件,我们就可以选取不同的技巧来解决
问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几
种策略 结合起来应用把复杂的问题简单化，举
一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实
的基础。
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