animosity-忧的反义词

小学数学排列组合 第 1 页 共 13 页
一．阶乘
1．阶乘是基斯顿·卡曼于1808年发明的运算符号。阶乘，也是数学里的一
种术语。
2．阶乘的计算方法
阶乘指从1乘以2乘以3乘以4„„一直乘到所要求的数。 例如：求4
的阶乘，就是式子：1×2×3×4，积24就是4的阶乘。 例如：求6的阶
乘， 就是式子：1×2×3ׄ„×6，积720就是6的阶乘。例如：求n的
阶乘，就是式子：1×2×3 ׄ„×n，积是x就是n的阶乘。
3．表示方法
任何大于1的自然数n阶乘表示方法： n!=1×2×3ׄ„×n=n×(n-1)!
n的双阶乘：
当n为奇数时表示不大于n的所有奇数的乘积。如：7!!=1×3×5×7
当n为偶数时表示不大于n的所有偶数的乘积(除0外）
如：8!!=2×4×6×8
小于0的整数-n的阶乘表示：（-n）！= 1 (n+1)!
4．20以内的数的阶乘
0！=1，注意(0的阶乘是存在的)
1！=1， 2！=2， 3！=6，
4！=24， 5！=120， 6！=720，
7！=5,040， 8！=40,320 9！=362,880
10！=3,628,800 11！=39,916,800 12！=479,001,600

小学数学排列组合 第 2 页 共 13 页
13！=6,227,020,800 14！=87,178,291,200
15！=1,307,674,368,000 16！=20,922,789,888,000
17！=355,687,428,096,000 18！=6,402,373,705,728,000
19！=121,645,100,408,832,000 20！=2,432,902,008,176,640,000
另外，数学家定义，0！=1，所以0！=1！
5．定义范围
通常我们所说的阶乘 是定义在自然数范围里的，小数没有阶乘，像0.5！，
0.65！，0.777！都是错误的。

二．排列组合
1．排列组合是组合学最基本的概念。
排列就是指从给定 个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合就是指
从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素， 不考虑排序。排列组合的中
心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。

排列组合公式

小学数学排列组合 第 3 页 共 13 页
公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数
R要选择的元素个数
感叹号！表示阶乘 ：9！＝9×8×7×6×5×4×3×2×1
从N倒数r个，表达式应该为n×（n-1) ×(n-2)..(n-r+1)，因为从n到（n-r+1)
个数为n－（n-r+1)+1＝r
2．定义及公式
排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
排列；从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从
n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P(n,m)表示。
P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=
n!
。
(nm)!
组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不
同元素中取出m(m≤n)个 元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 C(n,m)=P(n,m)m!=
n!
。
(nm)!m!
3．基本计数原理
A．加法原理和分类计数法
1． 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1

小学数学排列组合 第 4 页 共 13 页
种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办< br>法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种
不同方法。
2．第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，
第n类办法的方 法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合
A1UA2U…UAn。
3．分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类
不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重 )；完成此任务的任何一种
方法，都属于某一类(即分类不漏) 。
B．乘法原理和分步计数法
1．乘法原理 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤 ，做第一步
有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有
mn种不同 的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的
方法。
2．合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才 能
完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对
应的完成此事的方法 也不同。
4．例题分析
例：有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
分析：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排
列P”计算范 畴。

小学数学排列组合 第 5 页 共 13 页
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我
们可以这 么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则
应该只有9-1-1种可能，最终共 有9×8×7个三位数。计算公式＝P（3，9)
＝9×8×7,(从9倒数3个的乘积）
例 ：有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，
可以组合成多少个“三国联盟 ”？
分析：213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不 要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数 即为最终组合
数C(3,9)=（9×8×7）（3×2×1）
例. 从1、2、3、……、 20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，
这样的不同等差数列有多少个？
分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组
合问题。
设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，
又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或
2，4，6，8，……，20这十个数中选出 两个数进行排列，由此就可确定
等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。
例. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若
规定只能向东或向北 两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不
同的走法?

小学数学排列组合 第 6 页 共 13 页
分析：对实际背景的分析可以逐层深入：
（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；
（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；
（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；
从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走
法数。 本题答案为：C(8,3)=56。
例．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种 作物，每
种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6
垄，不同的选法 共有多少种？
分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用
一 个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。
第一类：A在第一垄，B有3种选择；
第二类：A在第二垄，B有2种选择；
第三类：A在第三垄，B有1种选择，
同理A、B位置互换 ，共12种。
例．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有
多少种？ (A)240 (B)180 (C)120 (D)60
分析：显然本题应分步解决。
（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；
（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。
（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；
（四）由于选取与顺序无关，因（二）（三）中的选法重复一次，因而共
240种。 或分步

小学数学排列组合 第 7 页 共 13 页
（1）从6双中选出一双同色的手套，有C(1,6)=6种方法
（2）从剩下的5双手套中任选两双，有C(2,5)=10种方法
（3）从两双中手套中分别拿两只手套，有C(1,2)×C(1,2)=4种方法。
同样得出共(1)×(2)×(3)=240种。
例．身高互不相同的6个人排成2横行3 纵列，在第一行的每一个人都
比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。
分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一
纵列的排队方法只与人 的选法有关系，共有三纵列，从而有
C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)=90种。
例．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能
当钳工也能当车工。现从11 人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有
多少种不同的选法?
分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的
标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类
标准。
第一类：这两个人都去当钳工，C(2,2)×C(5,2)×C(4,4)=10种；
第二类：这两人有一个去当钳工，C(2,1)×C(5,3)×C(5,4)=100种；
第三类：这两人都不去当钳工，C(5,4)×C(6,4)=75种。
因而共有185种。
例．现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作 6用，
那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数?
分析：有同学认为只要把0， 1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，

小学数学排列组合 第 8 页 共 13 页
但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。
抽出的三数含0，含9，有32种方法；
抽出的三数含0不含9，有24种方法；
抽出的三数含9不含0，有72种方法；
抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。
因此共有32+24+72+24=152种方法。
例．停车场划一排12个停车位置，今 有8辆车需要停放，要求空车位连
在一起，不同的停车方法有多少种?
分析：把空车位看成 一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有
A(9,8)=362880种停车方法。
例．六人站成一排，求
(1)甲、乙即不再排头也不在排尾的排法数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
分析：（1）按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数
第一类：排出首尾和末尾、因为 甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾实
在其它四位数选出两位进行排列、一共有A(4,2)=12种 ；
第二类：由于六个元素中已经有两位排在首尾和末尾，因此中间四位是把
剩下的四位元素 进行排列，
共A(4,4)=24种；
根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12×24=288种。
(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有A(4,4)种方法。
第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3×A(4,4)种方法。
第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3×A(4,4)种方法。

小学数学排列组合 第 9 页 共 13 页
第四类：甲不在排尾也不再排头，乙不在排头也不再排尾，有6×A(4, 4)
种方法（排除相邻）。
共A(4,4)+3×A(4,4)+3×A(4,4)+6×A(4,4)=312种。
例．对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分
出所有次品为止。若所有次品恰好 在第五次测试时被全部发现，则这样
的测试方法有多少种可能?
分析：本题意指第五次测试 的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因
而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。
第一步：第五次测试的有C(4,1)种可能；
第二步：前四次有一件正品有C(6,1)中可能。
第三步：前四次有A(4,4)种可能。
∴ 共有576种可能。
例. 8人排成一队
(1)甲乙必须相邻
(2)甲乙不相邻
(3)甲乙必须相邻且与丙不相邻
(4)甲乙必须相邻，丙丁必须相邻
(5)甲乙不相邻，丙丁不相邻
分析：（1）甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑(甲乙可交换) 和7人排列
A(7,7)×2
（2）甲乙不相邻，A(8,8)-A(7,7)×2。
（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻
A(6,6)×2×2

小学数学排列组合 第 10 页 共 13 页
甲乙必须相邻且与丙不相邻A(7,7)×2-A(6,6)×2×2
（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A(6,6)×2×2
（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻，A(8,8)-A(7,7)×2×2+A(6,6)×2×2
例. 某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情
况?
分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插
空问题。另外没有命中 的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形
成的5个空中选出2个的排列，即A(5,2)。
例. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路
面，可以把其 中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在
两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关 灯方法共有多少种?
分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置
熄灭的灯。
∴ 共C(6,3)=20种方法。
例. 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形?
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，
∴ 共76种。
例．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体?
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C(8,4)-12=70-12=58个。
例. 1，2，3，……，9中取出两个分别作为对 数的底数和真数，可组成多

小学数学排列组合 第 11 页 共 13 页
少个不同数值的对数?
分析：由于底数不能为1。
（1）当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。
（2）当不选1时，从2--9中任取 两个分别作为底数，真数，共A(8,2)=56，
其中log2为底4=log3为底9，log4为 底2=log9为底3, log2为底3=log4
为底9, log3为底2=log9为底4. 因而一共有56-4+1=53个。
例. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻)，共有多少种不同
的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢?
分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情 况对称，具有
相同的排法数。因而有=360种。
（二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三 人实际上只能按照一种顺序站位，
因而前面的排法数重复了种， ∴ 共=120种。
例．5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不
同的方法?
分析：首先不考虑男生的站位要求，共A(9,9)种；男生从左至右按从高到
矮的顺序，只有一种站 法，因而上述站法重复了次。因而有=9×8×7×6=3024
种。
若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有3024种，
综上，有6048种。
例. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方
法?
分析：先认为三个红 球互不相同，共A(5,5)=120种方法。而由于三个红
球所占位置相同的情况下，共A(3,3) =6变化，因而共A(5,5)A(3,3)=20种。

小学数学排列组合 第 12 页 共 13 页
例．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分
配方法?
分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，
选出七个位置放置档板，则每一 种放置方式就相当于一种分配方式。因而
共36种。
所有的排列都可以看作是先取组合，再 做全排列；同样，组合如补充一个
阶段(排序)可转化为排列问题。
例21. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个不同的四位偶数?
(3)可组成多少个能被3整除的四位数?
分析：(1)有A(6,4)-A(5,4)=300个。
(2)分为两类：0在末位，则 有A(5,3)=60种：0不在末位，则有
C(2,1)×A(5,3)-C(2,1)×A(4,2 )=96种。
∴ 共60+96=156种。
(3)先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选
0，1，2，3
0，1，3，5
0，2，3，4
0，3，4，5
1，2，4，5
它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4×[A(4,4)-A(3,3)]+A(4,4 )=96
种。

小学数学排列组合 第 13 页 共 13 页
例. 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少 有
一名学生参加，则分配方法共有多少种？
分析：（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。
其中涉及到平均分成四组，有C(4,3)=4种分组方法。 可以看成4个板三
个板不空的隔板法。
（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A(4,4)=24种， 由（一）（二）
可知，共4×24=96种。