食品安全标识-西安兵马俑

数学排列组合问题种方法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型 多样，思路灵活，因此
解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题
还是 排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰
当的方法来处理。
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略 ;能运用解题策略解决简单的综
合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中 有
m
1
种不同的方法，在
第2类办法中有
m
2
种不 同的方法，…，在第
n
类办法中有
m
n
种不同
的方法，那么 完成这件事共有：
Nm
1
m
2
m
n

种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做
第2步有
m2
种不同的方法，…，做第
n
步有
m
n
种不同的方法， 那么
完成这件事共有：
Nm
1
m
2
m
n

种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件
事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，
不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样 做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分
类同时进行,确定分多少步及多少类。 < br>3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素
总数是多少及取出多少 个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常
用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素
占了这两个位置.
1
先排末位共有
C
3

1
然后排首位共有
C
4

131
C
4
A
4
C
3

最后排其它位置共有
A
4
3

113
C
3
A
4
288
由分步计数原理得
C
4

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需

先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位

置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练 习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中
间，也不种在两端的花盆里，问有多少 不同的种法？
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的
排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也
看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内
部进行自排。由分步计数原理可 得共有
A
5
5
A
2
2
A
2
2480
种不同的排法
甲乙
丙丁


要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的
情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能
连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和 3个独唱共有
A
5
5
种，第二步将4
4
舞蹈插入第一步排好 的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
4
不同的方法,由分步计数原理 ,节目的不同顺序共有
A
5
5
A
6
种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增
加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新
节目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多
少排法
解 :8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.
1
个特殊元素有
A
2
4
种,再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
4
种,
215
AAA
其余的5人在5个位置上任意排列有
A
5
种,则共有
5
445
种
前 排
后 排


一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研


练习题 ：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人
就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相
邻，那么不同排法的种数是 346
五.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共
有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把 4
个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
4
种方法 ，
4
根据分步计数原理装球的方法共有
C
5
2
A
4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成
四种不同的任务,每人完成 一种任务,且正副班长有且只有1
人参加,则不同的选法有 192 种
六.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹
1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当 作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法，再
2222
排小 集团内部共有
A
2
2
A
2
种排法，由分步计数原理共有A
2
A
2
A
2
种排法.

1524

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,
排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩
54
画不在两端 ，那么共有陈列方式的种数为
A
2
2
A
5
A
4
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
55
A< br>2
2
A
5
A
5
种
七.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分
配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形
成９个空隙。在９个空档中选６个位置 插个隔板，可把名额
分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种
分法共有
C
9
6
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

m1
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n1


练习题：
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9
4

3
2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103

八.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3 ,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为
不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰
法。这十个 数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个
12
C
5
,和为偶数的取 法偶数的取法有
C
5
3
,只含有1个偶数的取法有
C
5123
C
5
C
5
共有
C
5
。再淘汰 和小于10的偶数共9种，符合条件的取法

123
C
5
C
5
9
共有
C
5

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出

它的反面,再从整体中淘汰.


练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部
书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
九.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
种方法,但这里出现重复计 数的现象,不
妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取
EF该分 法记为(AB,CD,EF),则
C
6
2
C
4
2
C
2
2
中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF, AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)
共有
A
3
3
种 取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共
3
有
C
62
C
4
2
C
2
2
A
3
种分法 。

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除 以
A
n
(
n
为均分的

组数)避免重复计数。


练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分
542
C
8
4
C
4
A
2
法？（
C
13
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分
在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到
该年级的两个班级且每班安
2
A
2
排2名， 则不同的安排方案种数为______（
C
4
2
C
2
2A
62
90
）
十. 合理分类与分步策略
例13.在一次 演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多 少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5
112
C
3
C
4
种, 只会唱的5人中只有2人中只有1人选上唱歌人员
C
5

人选上唱歌人员 有
C
5
2
C
5
2
种，由分类计数原理共有
112
C
3
C
4
C
5
2
C
5
2
种。
C
3
2
C
3
2
C
5

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做

到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。


练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人
中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3
号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只
船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果