元宵与汤圆-成功人士的特点

.
解排列组合问题常用方法（二十种）

一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）

1,2,3,4,5
可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
例
1
、
由
0，
分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求 。先排末位，从
1,3,5
三
个数中任选一个共有
C
3
种组 合；然后排首位，从
2,4
和剩余的两个奇数中任选一个共有
C
4
种 组合；最后
113
排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有
A
4
种排列。由分步计数原理得
C
3
C
4
A
4
288
。
3
11
变式
1
、
7
种不同的花种在排 成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多
少不同的种法？
分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有
A
4
种排列，再种其它葵花有
A
5
种排列。由
25
分步计数原理得
A
4
A
5
1440
。

25
二、相邻问题捆绑法
例
2
、
7
人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成 整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一
个复合元素，再与其它元素进行排列，同时 在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得
522
A
5
A
2< br>A
2
480
。
变式
2
、
某人射击
8
枪，命中
4
枪，
4
枪命中恰好有
3
枪连在一起 的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另 一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有
A
5
种排列。

2
三、相离问题插空法
例
3
、
一个晚会节目有
4
个舞蹈，
2
个相声，
3
个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序 有多少种？
分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排
2
个相声和
3
个独唱共有
A
5
种排列，第二步将
4
个
5
舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有
A
6
种排列，由分 步计数原理得
54
A
5
A
6
43200
。

4
变式
3
、
某班新年联欢会原定的
5
个节目已 排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节
目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
分析：将
2
个新节目插入原定
5
个节目排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有A
6
种排
2
列，
由分步计数原理得
A
6
30
。


2
四、定序问题除序（去重复）、空位、插入法
例
4
、
7
人排队，其中甲、乙、丙
3
人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几
个 元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：
可编辑

.
7
A
7
840
。
3
A
3
4
（空位法）设想有
7
把椅子， 让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有
A
7
种坐法；甲、乙、丙坐
4
其余的三个位置，共有
1
种坐法。总共有
A
7
840
种排 法。
思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）
（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有
C
7
种选法；余下四个空座位让 其余四人
34
就坐，共有
A
4
种坐法。总共有
C
7
A
4
840
种排法。
4
3
变式
4、
10
人身高各不相等，排成前后排，每排
5
人，要求从左至右身高逐渐 增加，共有多少种不同的
排法？
分析：
10
人身高各不相等且从左至右身 高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；
5
现排成前后两排，因此共有C
10
252
种排法。
五、平均分组问题倍除法（去重复法） 例
5
、
6
本不同的书平均分成
3
堆，每堆
2< br>本，有多少种不同的分法？
222
第二步取
CD
，第三步取
EF
，该分法记为

AB，CD，EF

，则在
C
6
C
4
C
2
中还有

AB，CD，EF

、
222
分析：分三步取书有
C
6
C
4
C
2
种分法，但存在重复计数。记
6
本书为
ABCDEF
，若 第一步取
AB
，

AB，CD，EF

、

AB，CD，EF

、

AB，CD，EF

、

AB，CD，EF

共
A
3
3
种分法 ，而这些 分
22
C
6
2
C
4
C
2
法仅是< br>
AB，CD，EF

一种分法。总共应有种分法。平均分成的组，不管它们的 顺序如何，都
3
A
3
是一种情况，分组后一定要除以
A
n< br>（
n
为均分的组数），避免重复计数。
n
变式
5
① 、
将
13
个球队分成
3
组，一组
5
个队，其它两组
4
个队，有多少种不同的分法？
44
分析：分三步。第一步取5
个队为一组，有
C
13
种分法；余下
8
个队平均分成 两组，每组
4
个队，有
C
8
C
4
5
种分法 ，但存在重复计数。记
8
个队为
ABCDEFGH
，若第二步取
AB CD
，第三步取
EFGH
，该分法
22
4
C
84
C
4
法。总共应有
C
种分法。
2
A2
5
13
44
记为

ABCD，EFGH
< br>，则在
C
8
C
4
中还有

EFGH，ABC D

共
A
2
种分法，而这
A
2
种分法是同 一种分
变式
5
②、
10
名学生分成
3
组，其中一组
4
人，另两组
3
人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不
同的分 组方法？
分析：㈠总的分组方法：分三步。第一步取
4
人为一组，有
C10
种分法；余下
6
个人平均分成两组，
4
33
每组< br>3
个人，有
C
6
但存在重复计数。记
6
个人为
ABCDEF
，若第二步取
ABC
，第三步取
DEF
，
C
3
种分法，
33
该分法记为

ABC，DEF
< br>，则在
C
6
C
3
中还有

DEF，ABC< br>
共
A
2
种分法，而这
A
2
种分法是同一种 分
22
33
C
6
C
3
法。总共应有
C 2100
种分法。
2
A
2
4
10
㈡ 正、副班长同分在
4
人一组：分三步。第一步在
8
人中取
2
人，加上正、副班长共
4
人为一
33
组，有
C
8
种 分法；余下
6
个人平均分成两组，每组
3
个人，有
C
6C
3
种分法，但存在重复计数。记
6
个人
2
33
为
ABCDEF
，若第二步取
ABC
，第三步取
DEF
， 该分法记为

ABC，DEF

，则在
C
6
C3
中还有
33
C
6
C

DEF，ABC

共
A
种分法，而这
A
种分法是同一种分法。总共应有
C 
2
3
280
种分法。
A
2
2
2
2
2
2
8
可编辑

.
4
㈢正、副班长同分在
3
人一组： 分三步。第一步在
8
人中取
4
人，有
C
8
种分法； 第二步在余下
3
的
4
人中取
3
人，有
C
4
种分法；第三步余下
1
人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有
3
C
8
4
C
4
280
种分法。
333 3
C
6
C
3
2
C
6
C
3
43
㈠减㈡减㈢得：总共有
CCCC
4
21002 802801540
种分法。
88
22
A
2
A
2
4
10
变式
5
③、
某校高二年级共有
6
个班级，现从外地转入
4
名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排
2
名，则不同的安排种数为 。
22
复 计数。记
4
名学生为
ABCD
，若第一步取
AB
，第二步取
CD
，该分法记为

AB，CD

，则在
C
4
C
2
中
222
还有

CD，AB
< br>共
A
2
种分法，而这
A
2
种分法是同一种分法。第三 步将分成的两组分配到
6
个班级，有
A
6
22
C
4
C
2
2
种分法。总共应有
A
6
90
种 分法。
2
A
2
22
分析：分三步。前两步将转入的
4名学生平均分成两组，每组
2
名学生，有
C
4
C
2种分法，但存在重
六、元素相同问题隔板法
例
6
、
有
10
个运动员名额，分给
7
个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配
1
个名额，只有
1
种 分法；第二步：将剩下的
3
个名额分配给
7
个班。取
716块相同隔板，连同
3
个相同名额排成一排，共
9
个位置。由隔板法知，< br>6
在
9
个位置中任取
6
个位置排上隔板，有
C
9
种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，
6
共有
C< br>9
84
种分法。
变式
6
①、
10
个相同 的球装入
5
个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？
分析：分两步。第 一步：每盒先装入
1
个球，只有
1
种装法；第二步：将剩下的
5个球装入
5
个盒中。
取
514
块相同隔板，连同
5
个相同的球排成一排，共
9
个位置。由隔板法知，在
9
个位置中任取
4
个
4
4
位置排上隔板，有
C
9
种排法。 每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有
C
9

126种装法。
变式
6
②、
xyzw100
，求这个方程的自 然数解的组数。
分析：取
413
块相同隔板，连同
10 0
个相同的
1
排成一排，共
103
个位置。由隔板法知，在
103
个
3
3
位置中任取
3
个位置排上隔板，有
C
103
种排法。每一种插板方法对应一组数，共有
C
103
176 851
组数。
七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）
例
7
、
从
01，，2，3，4，5，6，7，8，9
十个数字中取出三个，使 其和为不小于
10
的偶数，不同的取法有多少种？
分析：直接求不小于10
的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有
5
个偶数
5
个奇数，所取的三
123
个数字含有
3
个偶数的取法有
C
5
，只含有
1
个偶数的取法有
C
5
C
5
，和 为偶数的取法共有
C
5
。淘
C
5
C
5
3
12
汰和小于
10
的偶数共
9
种

02 4

、

026

、

013

、

015

、

017
、

019

、
123
C
5< br>C
5
9
。


213

、

215

、

413

，符合 条件的取法共有
C
5
变式
7
、
一个班有
43
名同学，从中任抽
5
人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?
分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有
C
40
种；正、副班长、团支部书记至 少抽到一人的抽
55
法有
C
43
种。
C
40
5
八、重排问题求幂法
可编辑

.
例
8
、
把
6
名实习生分配到< br>7
个车间实习，共有多少种不同的分法？
分析：完成此事共分六步：把第一名 实习生分配到车间有
7
种分法，把第二名实习生分配到车间也有
7
种分法，依 此类推，由分步计数原理共有
7
6
种不同的分法。
变式
8
①、
某班新年联欢会原定的
5
个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果 将这两个新
节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。
分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定
5
个节目排后形成的六个空中，有
6
种插法；把
第二个新节目插入前面
6
个节目排后形成的七个空中，有
7
种插法。由分步计数原理共有
6742
种不
同的插法。
变 式
8
②、
某
8
层大楼一楼电梯上来
8
名乘客，他们 到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？
分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯 有
7
种下法，第二名乘客下电梯也有
7
种下法，依此类
推，由分步计 数原理共有
7
8
种不同的下法。

九、环（圆）排问题直排法 ①环形排列问题：如果在圆周上
m
个不同的位置编上不同的号码，那么从
n
个不同的元素的中选取
m
个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的 ；如果从
n
个不同的元素的中选取
m
个不同的元素排列在圆周上，位置没有编 号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直
线排列是不同的，这就是环形排列的问题 。
②环形排列数：
一个
m
个元素的环形排列，相当于一个有
m< br>个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就
是形成一个直线排列，即一个
m< br>个元素的环形排列对应着
m
个直线排列。
设从
n
个元素中取 出
m
个元素组成的环形排列数为
N
个，则对应的直线排列数为
mN< br>个。
m
m
又因为从
n
个元素中取出
m
个元 素排成一排的排列数为
A
n
个，所以
mNA
n
，即
N
1
m
A
n
。
m
③环形排列数公式： ㈠从
n
个元素中取出
m
个元素组成的环形排列数为
N
㈡
n
个元素的环形排列数为
N
1
m
A
n
。
m
1
n
n!
A
n


n 1

!
。
nn
例
9
、
8
人围桌而坐，共有多少种坐法？
分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展
成直 线（如图所示），其余
7
人共有

81

!7!7 6543215040
种不同的坐法。
可编辑

.
C
D
E

B
A
AB
C
DEFGHA
F
G
H

变式
9
、
6
颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
分 析：可穿成

61

!5!54321120
种不 同的钻石圈。

十、多排问题单排法
例
10
、
8
人排成前后两排，每排
4
人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？
分析：
8
人排前后两排，相当于
8
人坐
8
把椅子，可以把椅 子排成一排。先排前
4
个位置上的
2
个特
殊元素甲、乙有
A
4
种排法；再排后
4
个位置上的
2
个特殊元素丙有
A
4
种；其余的
5
人在
5
个位置上任意
21
44
排列有
A
5
种。共有
A
4
A
4A
5
5
5760
种不同的排法。排好后，按前人为前排，后人为后排分 成两排即
5
21
可。
变式
10
、
有两排座位，前 排
11
个座位，后排
12
个座位。现安排
2
人就坐，规定前 排中间的
3
个座位不能
坐，并且这
2
人不左右相邻，那么不同坐法的 种数为 。
分析：①前后两排共有
23
个座位。②前排中间第
5，6，7
号
3
个座位甲、乙二人不能坐。③甲、乙二人
，
号
6
个座位，甲、乙中任一人就坐，有
C
6
种坐法，与之相
不能左右相邻。前排第
1，4，811，
号和后排第
112
1
11< br>11
邻座位只能排除一个，另一人有
C
23311
C
18
种坐法，共有
C
6
C
18
种坐法；而其它
23 3614
个座位，
11
11
甲、乙中任一人就坐，有
C
14
种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有
C
23
共有
C< br>14
C
17
321
C
17
种坐法，
1
1111
种坐法。总共有
C
6
C
18
C
14
C
17
108238346
种不同坐法。
十一、排列组合混合问题先选后排法
例
11
、
有
5
个不同的小球，装入
4
个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
分析：第一步从
5
个球中选出
2
个组成复合元素，有
C
5
种方法；第二部把
4
个元素（包含一个复合元
2
24
素）装入
4
个不同的盒内，有
A
4
种方法。由分步计数原理 得
C
5
A
4
240
。
4
变式
11
、
一个班有
6
名战士，其中正、副班长各
1
人。现从中 选
4
人完成四种不同的任务，每人完成一种
任务，且正、副班长有且只有
1< br>人参加，则不同的选法有多少种？
分析：①正、副班长选一人，有
C
2
种选法。②
4
名战士选三人，有
C
4
种选法。③给选出的
4
人分配
134
四种不同任务，有
A
4
种分配法。 由分步计数原理得
C
2
C
4
A
4
192
。

4
13
十二、小集团问题先整体后局部法
5
之间，这样的五位数有多少个？
例
12
、用
1，2，3，4，5
组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在
1，5
之间是一个不能打破的小集团，
3
在这个小集团之外。②把
1，
4
在
1，
5，2，4
当作分析：①两个偶数
2，
5
有
A
2
种排法；
2，4
也有
A
2
种排法 。由分步
一个小集团与３排列，有
A
2
种排法。③再排小集团内部。
1，
计数原理得
A
2
A
2
A
2
8
。
可编辑
222
222

.
变式
12
①、
计划展出
10
幅不同的画，其中
1
幅水彩画，
4
幅油画，
5
幅国画，排成一行陈列。要求同一
品种的必须连在一起，并且水 彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 。
45
分析：
4
幅油画是一个小集团，内部有
A
4
种排法；
5
幅国画也是 一个小集团，内部有
A
5
种排法；两
2
个小集团排列，有
A
2
种排法；将
1
幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有
1
种排法。由分步
452
计数原理得
A
4
A
5A
2
15760
。
变式
12
②、
5男生和
5
女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有 种。
55
分析：
5
男生是一个小集团，内部有
A
5
种排 法；
5
女生也是一个小集团，内部也有
A
5
种排法；两个
2
552
小集团排列，有
A
2
种排法。由分步计数原理得
A< br>5
A
5
A
2
28800
。

十三、含约束条件问题合理分类与分步法
例
13
、
在一次演唱会上 共
10
名演员，其中
8
人会唱歌，
5
人会跳舞，现要演出一 个
2
人唱歌
2
人伴舞的
节目，有多少种选派方法？
分析：
10
名演员中有
5
人只会唱歌，
2
人只会跳舞，3
人为全能演员。以选上唱歌人员为标准分三类，
22
每一类中再分步：①只会唱 歌的
5
人中没有人选上唱歌人员，有
C
3
C
3
种； ②只会唱歌的
5
人中只有
1
人选
112
上唱歌人员，有C
5
C
3
C
4
种；③只会唱歌的
5
人 中有
2
人选上唱歌人员，有
C
5
2
C
5
2
种。由分类计数原理得，
2211222
共有
C
3
C
3
C
5
C
3
C
4
C
5
C< br>5
199
种选派方法。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类
标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层 次清楚，不重不漏。
本题还有如下分类标准：①以
3
个全能演员是否选上唱 歌人员为标准；②以
3
个全能演员是否选上跳
舞人员为标准；③以只会跳舞的
2
人是否选上跳舞人员为标准。
变式
13
①、
从
4
名男生和
3
名女生中选出
4
人参加某个座谈会，若这
4
人 中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有 种。
13
分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：①选上女生
1
人，有
C
3
C
4
种；②选上女生
2
人，
2231
132231
有
C
3
C
4
种；③选上女生
3
人，有
C
3
C
4
种。由分类计数原理得，共有< br>C
3
C
4
C
3
C
4
C
3
C
4
34
种选派方
法。本题还可以选上男生为标准分三类。 < br>变式
13
②、
3
成人
2
小孩乘船游玩，
1< br>号船最多乘
3
人，
2
号船最多乘
2
人，
3< br>号船只能乘
1
人，他们任
选
2
只船或
3
只船 ，但小孩不能单独乘一只船，这
3
人共有多少种乘船方法？
分析：分两大类。第一大 类为选
2
只船，则只能选
1
号船和
2
号船。以
1< br>号船乘成人为标准，又可分为
两小类：每一小类乘成人
1
人，有
C3
C
2
种；每二小类乘成人
2
人，有
C
3C
2
种。第二大类为选
3
只船。以
1
1221
1121
号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有
C
2
C
2
C
2
C
2
种。由分类计数原理得，共有
1211121
C
3
C
2
C
3
2
C
2
3

C
2
C
2
C
2
C
2
27
种乘船方法。
十四、简单问题实际操作穷举法
例
1 4
、
设有编号
1
，
2
，
3
，
4< br>，
5
的五个球和编号
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的五个盒子，现将
5
个球放入
5
个
可编辑

.
盒子内，要求每个盒子放
1
个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
2
分析：从
5
个球中取出
2
个与盒子对号，有
C
5
种取法；剩下
3
球
3
盒不对号，利用实际操作法。如果
剩下
3
，
4
，
5
号球，
3
，
4
，
5
号盒 ，
3
号球只能装入
4
号或
5
号盒，有两种装法；当
3
号球装
4
号盒时，
2
则
4
，
5
号球，只有
1
种装法；同理
3
号球装
5
号盒时，
4
，
5
号球有也只有
1
种装法。由分步计数原理有
2C
5
种。
变式
14
、
同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来， 然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡
不同的分配方式有多少种？
分析：设甲、乙、 丙、丁4人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿
甲、丙、丁的，无论乙 拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有
3
种。第二类：甲拿丙的，则乙只
能拿 甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有
1
种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁 拿甲，
有
2
种。小计有
3
种。第三类：与第二类同理，有
3
种。由分类计数原理知，共有
3339
种。
十五、数字排序问题查字典法
例
15
、
由
0
，< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
六个 数字可以组成多少个没有重复的比
324105
大的数？
分析：数字排序问 题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原
54
理求出其 总数。①首位（十万位）为
5
或
4
，各有
A
5
个； ②首位为
3
，万位为
5
或
4
，各有
A
4< br>个；③首
32
位为
3
，万位为
2
，千位为
5
，有
A
3
个；④首位为
3
，万位为
2
，千 位为
4
，百位为
5
，有
A
2
个；⑤首位
5 4321
1
为
3
，万位为
2
，千位为
4
， 百位为
5
，十位为
1
，有
A
1
个。共有
2 A
5
2A
4
A
3
A
2
A
1
297
个。
变式
15
、
用
0
，1
，
2
，
3
，
4
，
5
这六个 数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，
第
71
个数是 。
22
分析：①千位为
1
，个位为
0
，有
A
4
12
个；②千位为
1
，个位为
2
，有
A
4
12
个；③千位为
1
，个
222
位为4
，有
A
4
12
个；④千位为
2
，个位为< br>0
，有
A
4
12
个；⑤千位为
2
，个位为
4
，有
A
4
12
个；
⑥千位为
3
，十位为
0
，个位为
2
（或
4
），各有
3
个。共
66
个。接下来有
3102
，
3104
，
3120
，
3124
，
3140
，
L
，第
71
个数是
3140
。
十六、复杂问题分解与合成法
分 解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解
决，然 后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每
个比较 复杂的问题，都要用到这种解题方法。
例
16
、
30030
能被多少个不同的偶数整除？
分析：先把
30030
分解成质因数的乘积形式
30030235711 13
。依题意可知：偶因数必先
12345
取
2
，再从其余
5
个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：
C
5
。
C< br>5
C
5
C
5
C
5
变式
16< br>、
正方体的
8
个顶点可连成多少对异面直线？
4
分 析：从
8
个顶点中任取
4
个顶点构成四面体共有
C
8
1258
个，每个四面体有
3
对异面直线，正
方体的
8
个顶点可连成
358174
对异面直线。

可编辑

.
十七、复杂问题转化归结法（化归法）
例
17
、
25
人排成
55
方阵，现从中选
3
人，要求
3
人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？
分析：将问题退化成
9
人排成
33
方阵，现从中
选
3
人，要求
3
人不在同一行也不在同一列，有多少种
不同的选法？这样每行（列）有且只有
1
人，从其中的
一行中选取
1
人后，把这人所在的行列都划掉，如此继
111
续下 去，从
33
方队中选
3
人的方法有
C
3
C
2
C
1
种。再
从
55
方阵选出
33
方阵便可解决问题。从
55
方队
33
33111
中选取
3
行
3
列，有
C
5

C
5
选法 。所以从
55
方阵选不在同一行也不在同一列的
3
人有
C
5
C
5
C
3
C
2
C
1
选法。变式
17
、
某城市的街区由
12
个全等的矩形区域组成，
其中实线表示马路，从
A
走到
B
的最短路径有多少种？
分析：将问题退化成从
A
走到
B
的最短路径需要
34七步，四步向右三步向上，共有
C
7
（或
C
7
）
35
种。
B
A
十八、复杂分类问题表格法
例
1 8
、
有红、黄、兰色的球各
5
只，分别标有
A
、
B
、
C
、
D
、
E
五个字母，现从中取
5只，要求各字
母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？
分析：一些复杂的分类选取 题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格
法，则分类明确，能保证题中须 满足的条件，达到好的效果。








红
黄
兰
取法

1
1
3
11
C
5
C
4

1
2
2
12
C
5
C
4

1
3
1
13
C
5
C
4

2
1
2
1
C
5
2
C
3

2
2
1
C
5
2
C
3
2

3
1
1
31
C
5
C
2

十九、运算困难问题树图法
例
19
、
3
人相互传球，由甲 开始发球，并作为第一次传球，经过
5
次传球后，球仍回到甲的手中，则不同
的传球方 式有 种？
解析：此题不易用公式进行运算，用树图法会收到意想不到的结果。

N10


可编辑

.
甲< br>6444444447444444448
乙
丙
64444744448
64444744448
丙
乙
甲甲
48
647
48
64748
647
48
647
甲甲
乙乙乙
丙丙丙
}}}}}
}}}
丙
甲
乙乙
丙
甲
丙
甲丙
甲
乙乙
丙
甲
乙
甲
}
}}
} }}
}
}
}
}
}
}}}
}
}
}}
甲
}}}}
甲
}}
甲
}}
甲
}}}}甲
}}}}
甲
}}}}
甲
}}
甲
}}
甲
}}}}
甲
}}


变式
19
、
分别编有
1
，
2
，
3
，
4
，
5
号码的人与椅，其中
i
号人不坐
i
号椅

i1，2，3，4，5

的不同坐法有
多少种 ？
解析：树图法如下：

N44






2→5→4


4→5→3



1


1

4→5→2


5→3→4




1→5→4
5→2 →4







3

4→5→1




5→1→4


1 →5→2




2


1→5→3< br>
3

4

2→5→1

< br>4


1→3

1→2


5< br>

5


3→1






2→1


1→3→4
< br>



5

1→3



1→2→4


4





3→1


5


2→1→4






4

1→2


2→1







2 →5→3

1


2→3


5





3→2




1→5→2



4

3
2→5→1


1→2

5

< br>


2→1




2→3< br>

1

3→2


5





1→3


2




3→1




2→3→4< br>
1


2→3


4





3→2




1→2→4



5

3

2→1 →4


1→2

4





2→1




2→3


1

3→2


4




1→3


2





3→1
二十、不易理解问题构造模型法
例
20
、
马路上有编号为
1
现要关掉其中的
3
盏，但不能关掉相邻的
2盏或
3
盏，
，2，3，4，5，6，7，8，9
的九只路灯，
也 不能关掉两端的
2
盏，求满足条件的关灯方法有多少种？
3
分析：此问题可 转化为排队模型。在
6
盏亮灯形成的
5
个空隙中，插入
3
盏 不亮的灯，有
C
5

10
种。
一些不易理解的排列组合问题可转化为熟悉的模型，使问题直观化。
变式
20< br>、
某排共有
10
个座位，若
4
人就坐，每人左右两边都有空位 ，那么不同的坐法有多少种？（120）
分析：每人坐一个座位,还剩
6
个 。把这
6
个座位,插入
4
个人,且两头必须有座位,两人之间至少有一个座位。用

表示
6
个空座位,用
0000
表 示
4
个人。①
0000
；②
0000；③
0000
；④
0000
；⑤
 0000
。有
5
种。又，这
4
个人的坐法有顺序,共有：< br>4
5A
4
120
种。
此问题也可转化为排队模型 。每人坐一个座位,还剩
6
个。这
6
个座位排成一排，可迭相邻的两个座位，
4
有
5
种迭法。跌后有
5
个座位形成
4
个 空隙（不包括两端），插入
4
个人，有
C
5
种。又，这
4< br>个人的坐法
可编辑

.
44
有顺序,共有：
C
5
A
4
120
种。



可编辑