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排列组合基本题型方法

排列组合方法汇总

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，
思路灵活，因此解决 排列组合问题，首先要认真审题，
弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问
题；其次 要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方
法来处理。
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免
不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C

131
CAC
443

然后排首位共有
C

最后排其它位置共有
A

由分步计数原理得
CCA288

1
3
1
4
3
4
1
4
1
3
3
4




位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最
常用也是最基本的方法, 若以元素分析为主,需先
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种
葵花不种在中间 ，也不种在两端的花盆里，问有多
少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共
有多少种不同的排法.
解 ：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元
素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素
2

进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步
计数原理可得共有
AAA480
种不同的排法
5
5
2
2
2
2
甲乙
丙丁





要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
练习 题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3
枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,
舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少
种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3 个独唱共有
A
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中
间包含首尾两个空位共 有种
A
不同的方法,由分步
计数原理,节目的不同顺序共有
AA
种
5
5
4
6
5
5
4
6


元素相离问题可先把没有位置要求的元素
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已 排成节目
单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新
节目插入原节目单中，且两个新节目 不相邻，那么
不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不
同的排法
解:(倍缩法)对于 某几个元素顺序一定的排列问题,
可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后

3

用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共
有不同排法种数是：
AA

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人
就坐共有
A
种方法， 其余的三个位置甲乙丙共有 1
种坐法，则共有
A
种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有
C
种 选择,再排其
余4四人共有
A
方法

定序问题可以用倍缩


练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,
要求从左至右身高逐渐增加 ，共有多少排法？

C

7
7
3
3
4
7
4
7
3
7
4
4
5
10

五.重排问题(谁选谁)求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种
不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间
有 7 种分法.把第二名实习生分配到车 间也有7种
分依此类推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法
6


允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，

元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位
练习题：
某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演
前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原
节目单中，那么不 同插法的种数为 42

4

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自
的一层下电梯,下电梯的方法
7

8

六.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一
个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７
个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
C
种分
法。
6
9
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班





将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
练习题：
1 .10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装
法？
C

2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C

4
9
3
103
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,
丙在后排,共有多少排法
解 :8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅
子排成一排.个特殊元素有
A
种 ,再排后4个位置上
的特殊元素丙有
A
种,其余的5人在5个位置上任意
排列 有
A
种,则共有
AAA
种
2
4
1
45
5
2
4
1
4
5
5

5

前 排
后 排


一般地,元素分成多排的排列问


练习题：有两排座位，前排11个座位， 后排12个座
位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能
坐，并且这2人不左右相邻，那 么不同排法的种数
是 346


八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至
少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
种方
法.再把4个元素(包 含一个复合元素)装入4个不
同的盒内有
A
种方法，根据分步计数原理装球的方
法共有
CA

2
5
4
4
2
5
4
4

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的

练习题：一个班有6名战士,其中正副 班长各1人现
从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任
务,且正副班长有且只有1人参 加,则不同的选法有
192 种

九.小集团问题先整体后局部策略
例 9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中
恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样 的
五位数有多少个？

6

解：把１,５,２, ４当作一个小集团与３排队共有种
排法，再排小集团内部共有
AA
种排法，由分步计< br>数原理共有
AAA
种排法.
2
2
2
2
A< br>2
2
2
2
2
2
2
2



小集团排列问题中，先整体后局
练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油
画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品
种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共
有陈 列方式的种数为
AAA

2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也
相邻的排法有
AAA
种
2
2
5
5
4
4
2
2
5
5
5
5

十.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9这十个数字中取出三
个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可
用总体淘汰法。这十< br>1524
个数字中有5
3
个偶数5个奇数,所取的三个数含有
3个偶数 的取法有
C
,只含有1个偶数的取法有
CC
,
和为偶数的取法共有< br>CCC
。再淘汰和小于10的偶
数共9种，符合条件的取法共有
CCC9

3
5
1
5
2
5
1
5
2
5
3
5
1
5
2
5
3
5
有 些排列组合问题,正面直接考虑比较复



练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的

7

抽法有多少种?

十一.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多
少分法？
解: 分三步取书得
CCC
种方法,但这里出现重复计
数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,
第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),
CCC
则中还有
( AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),
(EF, AB,CD)共有
A
种取法 ,而这些分法仅是
(AB,CD,EF)一种分法,故共有
CCCA
种分法。

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情

况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)


练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个
队, 有多少分法？（
CCCA
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但
正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名
学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案种数为______（
CCAA90
）
26
2
4
2
2
2
6
2
4
22
3
3
2
6
2
4
2
2
33
5
13
4
8
4
4
2
2
2< br>4
2
2
2
6
2
2

十二.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只

8

路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏
或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条 件的关灯
方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空
隙中插 入3个不亮的灯有
C
种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟


练习题：某排共有10个 座位，若4人就坐，每人左
右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
（120）
3
5

十三.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3 ，4，5六个数字可以组成多少
个没有重复的比324105大的数？
解:
N2A2AAAA297

5
5
4
4
3
3
2
2
1
1




数字排序问题可用查
字典法,查字典的法应
练习:用0,1,2,3,4, 5这六个数字组成没有重复的四
位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71
个数是 3140

十四.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五 个球和编号
1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒
子内,要求每个盒子放一 个球，并且恰好有两个球
的编号与盒子的编号相同,有多少投法

9

解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3
球3盒序号不能对 应，利用实际操作法，如果剩下
3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5
号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5
号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C
种


2
5
C
5
2

3号盒 4号盒 5号盒

不易用公式进

对于条件比较复杂的排列组合问题，
534


练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每
人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的 分
配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种
可选颜色,则不同的着色方法有 72种
1
3
2
5
4



十五.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人
不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选

10

3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选
法.这样每行必 有1人从其中的一行中选取1人后,
把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3
方队中 选3人的方法有
CCC
种。再从5×5方阵选
出3×3方阵便可解决问题.从5×5方 队中选取3
行3列有
CC
选法所以从5×5方阵选不在同一行也
不在同一列的 3人有
CCCCC
选法。
1
3
1
2
1
1
3
5
3
5
3
5
3
5
1
3
1
2
1
1



处理复杂的排列组合问题时可
以把一个问题退化成一个简要


练习 题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中
实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？(
C35
)
3
7


B
A

11