排列组合问题通用算法
冥界亚龙-读书笔记300字
排列组合问题通用算法
2009-10-15 20:31尽管排列组合是生活中经常
遇到的问题，可在程序设计时，不深入思考或
者经验不足都让人无从下手。由于排列组合问题总是先取组
合再排列，并且单纯的排列问题
相对简单，所以本文仅对组合问题的实现进行详细讨论。以在n个数中选
取m(0
1. 首先从n个数中选取编号最大的数，
然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数，直到从
n-(m-1)个数中选取1个数为止。
2. 从n个数中选取编号次小的一个数，继续执行1步，直到当前可选编号最大的数为m。
很明显，上述方法是一个递归的过程，也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组
合。
下面是递归方法的实现：
求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
a[1..n]表示候选集，n为候选集大小，n>=m>0。
b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标)，
常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数，M=m，这两个参数仅用来输出结果。
void
combine( int a[], int n, int m, int b[], const int
M )
{
for(int i=n; i>=m; i--)
注意这里的循环范围
{
b[m-1] = i - 1;
if (m > 1)
combine(a,i-1,m-1,b,M);
else
m == 1, 输出一个组合
{
for(int j=M-1;
j>=0; j--)
cout << a[b[j]] <<
cout
<< endl;
}
}
}
因为递归程序均可以通过引入栈
，用回溯转化为相应的非递归程序，所以组合问题又可以用
回溯的方法来解决。为了便于理解，我们可以
把组合问题化归为图的路径遍历问题，在n个
数中选取m个数的所有组合，相当于在一个这样的图中（下
面以从1,2,3,4中任选3个数为
例说明）求从[1,1]位置出发到达[m,x](m<=x<=
n)位置的所有路径：
1 2 3 4
2 3 4
3
4
上图是截取n×n右上对角矩阵的前m行构成，如果把矩矩中的每个元素看作图中的一个节点，我们要求的所有组合就相当于从第一行的第一列元素[1,1]出发，到第三行的任意一列元素作
为
结束的所有路径，规定只有相邻行之间的节点，并且下一行的节点必须处于上一行节点右
面才有路径相连
，其他情况都无路径相通。显然，任一路径经过的数字序列就对应一个符合
要求的组合。
下面是非递归的回溯方法的实现：
求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
a[1..n]表示候选集，m表示一个组合的元素个数。
返回所有组合的总数。
int
combine(int a[], int n, int m)
{
m = m
> n ? n : m;
int* order = new int[m+1];
for(int i=0; i<=m; i++)
order[i] = i-1;
注意这里order[0]=-1用来作为循环判断标识
int count = 0;
int k = m;
bool flag = true;
标志找到一个有效组合
while(order[0] == -1)
{
if(flag) 输出符合要求的组合
{
for(i=1; i<=m; i++)
cout << a[order[i]] <<
cout <<
endl;
count++;
flag = false;
}
order[k]++; 在当前位置选择新的数字
if(order[k] == n) 当前位置已无数字可选，回溯
{
order[k--] = 0;
continue;
}
if(k < m)
更新当前位置的下一位置的数字
{
order[++k] =
order[k-1];
continue;
}
if(k
== m)
flag = true;
}
delete[]
order;
return count;
}
下面是测试以上函数的程序：
int main()
{
const
int N = 4;
const int M = 3;
int a[N];
for(int i=0;i
回溯方法
cout << combine(a,N,3) << endl;
递归方法
int b[M];
combine(a,N,M,b,M);
return 0;
}
由上述分析可知，解决组合问题的通用算法不外
乎递归和回溯两种。在针对具体问题的时候，
因为递归程序在递归层数上的限制，对于大型组合问题而言
，递归不是一个好的选择，这种
情况下只能采取回溯的方法来解决。
n个
数的全排列问题相对简单，可以通过交换位置按序枚举来实现。STL提供了求某个序
列下一个排列的算
法next_permutation，其算法原理如下：
1. 从当前序列最尾端开始往前寻找两个
相邻元素，令前面一个元素为*i，后一个元素为*ii，
且满足*i<*ii；
2. 再次
从当前序列末端开始向前扫描，找出第一个大于*i的元素，令为*j（j可能等于ii），
将i，j元
素对调；
3.
将ii之后（含ii）的所有元素颠倒次序，这样所得的排列即为当前序列的下一个排列。
其实现代码如下：
template
bool
next_permutation(BidirectionalIterator first,
BidirectionalIterator last)
{
if (first
== last) return false; 空範圍
BidirectionalIterator i = first;
++i;
if (i == last) return false; 只有一個元素
i = last; i 指向尾端
--i;
for(;;)
{
BidirectionalIterator ii = i;
--i;
以上，鎖定一組（兩個）相鄰元素
if (*i < *ii)
如果前一個元素小於後一個元素
{
BidirectionalIterator
j = last; 令 j指向尾端
while (!(*i < *--j));
由尾端往前找，直到遇上比 *i 大的元素
iter_swap(i, j);
交換 i, j
reverse(ii, last); 將
ii 之後的元素全部逆向重排
return true;
}
if (i
== first) 進行至最前面了
{
reverse(first, last); 全部逆向重排
return false;
}
}
}
下面程序演示了利用next_permutation来求取某个序列全排列的方法：
int main()
{
int ia[] = {1,2,3,4};
vector
copy((),(),ostream_iterator
cout
<< endl;
while(next_permutation((),()))
{
copy((),(),ostream_iterator
cout
<< endl;
}
return 0;
}
注意：上面程
序中初始序列是按数值的从小到大的顺序排列的，如果初始序列无序的话，上
面程序只能求出从当前序列
开始的后续部分排列，也就是说next_permutation求出的排列是
按排列从小到大的顺序
进行的。