手机打折-元旦英语

排列组合专题



排列组合专题零排列组合入门 ... .................................................. .............................................. - 2 -
排列组合专题一定序法 ................................. .................................................. .......................... - 10 -
排列组合专题二捆绑法 . .................................................. .................................................. ........ - 20 -
排列组合专题三插空法 ................... .................................................. ........................................ - 29 -
排列组合专题四位置分析法 ................................. .................................................. .................. - 38 -
排列组合专题五隔板法 ......... .................................................. .................................................. - 45 -
排列组合专题六选分排 ............................ .................................................. ............................... - 51 -
排列组合专题七数字型排列组合 ............................... .................................................. ............ - 69 -
排列组合专题八染色问题 .............. .................................................. ......................................... - 75 -
排列组合专题九几何问题专杀 ................................ .................................................. ............... - 84 -
排列组合专题十二项定理重点 ......... .................................................. ...................................... - 90 -
排列组合专题十一二项式定理逆用与整除 ........................... ................................................ - 105 -

- 1 -

排列组合专题零
排列组合入门









- 2 -

一、分步与分类 ............................ .................................................. ............................................. - 4 -
（一）分步：互不影响相乘 ............................... .................................................. .............. - 4 -
（二）分类：对后续有影响 ............ .................................................. ................................. - 4 -
（三）分步加法 ...................................... .................................................. ........................... - 4 -
二、排列........ .................................................. .................................................. ........................... - 4 -
（一）排列引入介绍 .. .................................................. .................................................. ..... - 4 -
（二）排列公式 .......................... .................................................. ....................................... - 5 -
三、组合.............................................. .................................................. ....................................... - 6 -
（一）组合引入介绍 .................................... .................................................. ..................... - 6 -
（二）组合公式及其性质 ...... .................................................. ........................................... - 7 -
1.组合公式 ....................................... .................................................. ........................... - 7 -
2.性质1....... .................................................. .................................................. .............. - 7 -
2.性质2.................... .................................................. .................................................. . - 7 -
（三）比赛握手问题 ............................ .................................................. ............................. - 8 -
（四）握手问题升级 .................................................. .................................................. ....... - 9 -
（五）疑惑诠释：不可多次选取 ................. .................................................. .................... - 9 -

- 3 -

一、分步与分类
（一）分步：互不影响相乘
【例1】现有上衣
5
件，裤子
3
件，一共有多少种搭配方法？







【答案】
15


（二）分类：对后续有影响
【例1】比
516
大的三位渐升数有多少个？







【答案】
10


（三）分步加法
【例1】
12
名战士，每人一个储物箱，对应有
1 2
把钥匙混在一起，现要打开所有箱子，最
多要试多少次？





【答案】
78

二、排列
（一）排列引入介绍
【例1】有
4
名同学排一排，有多少种排法？



- 4 -

【答案】
A
4

【例2】有
10
名同学，从中选
4
名同学排一排，有多少种排法？








【答案】
A
10
4
4



【例3】从
n
个元素中选
m
个元素排成一排，有多少种排法？








【答案】
A
n

m
（二）排列公式
【例1】
1817168?








【答案】
A
18

- 5 -
11

【例2】以下不等于
n!
的是（ ）

1
n1
1

A
n1
C.A
n
n
1

n
n

A.A
B.
1
n1
n
n





【答案】
C

三、组合
（一）组合引入介绍
【例1】
5
个人中选出
3
个人组成一组，有多少种选法？









【答案】
C
5

【练习1】
a,b,c,d
中选
3
个，有多少种选法？







【答案】
C
4

【练习2】
6
个人中选
3
个人参加运动会，有多少种选法？




- 6 -
3
3

【答案】
C
6

3
（二）组合公式及其性质
1.组合公式
A
n
m
n!
C

m!

n m

!m!
m
n
117
,m?
【例1】
m

m

m
C
5
C
6
10C< br>7








【答案】
2

2.性质1
C
n
m
C
n
nm

【例1】
a,b,c,d,e
中选
3
个，有多少种选法？







【答案】
C
5
或
C
5

32
2.性质2
1mmmm1rrrrr1

C
n< br>m
C
n
m


1
C
n1;C
n1
C
n
C
n
;C
r
C
r1
C
r2
C
n
C
n1
【例1】从
n
个元素中选出
m
个元素，有多少种选法？

- 7 -

【答案】
C
n
或C
n1

【例2】
C
3







【答案】
C
11

4
33
C
4
3
C
5
3
C
10
?

mm1
C
n
m
1

（三）比赛握手问题
【例1】
10
个人比赛，每
2
个人比一局，共要比多少局？







【答案】
C
10

【例2】
6
人人聚会，每
2
人握手一次，共要握手多少次？







【答案】
C
6

【例3】
n
边形有多少条对角线？

- 8 -
2
2

【答案】
C
n
2
n

【例4】圆上有
10
个点，每三个点内接一个三角形，一共可以连成多少个三角形？







【答案】
C
10

3
（四）握手问题升级
【例1】火车往返与甲乙俩地之间，中途停
5
次，一共要设计多少种车票？







【答案】
42


（五）疑惑诠释：不可多次选取
【例1】
10
个人中选
3
个人组成一组，有多少种选法?







【答案】
C
10

3

- 9 -

排列组合专题一
定序法









- 10 -

一、基本模型 .... .................................................. .................................................. ..................... - 12 -
（一）顺序确定 ......... .................................................. .................................................. .... - 12 -
（二）元素相同 .......................... .................................................. ..................................... - 12 -
二、基本变形 ....................................... .................................................. .................................... - 13 -
（一）变形：空位问题 ................................... .................................................. ................ - 13 -
（二）变形：插入问题 ........... .................................................. ........................................ - 14 -
（三）变形：位置定序问题 ................................. .................................................. .......... - 14 -
三、应用：路径问题 .................. .................................................. ............................................. - 15 -
（一）二维路径问题 .................................. .................................................. ..................... - 15 -
（二）三维路径问题 ....... .................................................. ................................................ - 16 -
（三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定 ................... ...................................... - 17 -
四、应用：条件触发终止型问题 ............................... .................................................. ............ - 18 -
（一）连中射击问题 ................ .................................................. ....................................... - 18 -
（二）对局比赛问题 .................................... .................................................. ................... - 18 -
五、疑惑诠释：同色摸球的思考 .... .................................................. ....................................... - 19 -

- 11 -

一、基本模型
（一）顺序确定
【例1】
5
个不同的玩偶排成一列，要求
A
在
B
前面，有 多少种排法？





A
5
5
【答案】
2
A
2

【例2】
5
个不同的玩偶排成一列，要求
A
在
C
前面，
C
在
B
前面，有多少种排法？





A
5
5
【答案】
3

A
3
（二）元素相同
【例1】
5
个不同的玩偶排成一列， 要求
A
在
B
前面，有多少种排法？








A
5
5
【答案】
2

A
2
【练习1】
3
本相同的数学书与其余
6
本不同的书排成一排，有多少种排 法？




- 12 -

A
9
9
【答案】
3
A
3

【练习2】
5
名男生，
6
名女生进行排列，男生顺序一定，女生顺序也一 定，有多少种排法？








11
A
11
【答案】
56
A
5
A
6


【练习3】
2
个红球，
3
个黄球，
4
个白球排成一排，有多少种排法？








A
9
9
【答案】
234
A
2
A
3
A
4

二、基本变形
（一）变形：空位问题
【例1】
3
个人去坐
5
个座位，有多少种坐法？




- 13 -

A
5
5
【答案】
2

A
2
（二）变形：插入问题
【例1】
4
个人站成一排，找
2
个人插入队列中，要求原来
4
个人的相对位置不变，有多少
种排法 ？






A
6
6
【答案】
4
A
4

【例2】在
4
枚整齐排列的白球中插入一枚红球和一枚黄球，有多少种方法？







A
6
6
【答案】
4
A
4

（三）变形：位置定序问题
【例1】
6
个西瓜排成一列，前
3个位置按照由重到轻的顺序排列，有多少种排法？










- 14 -

A
6
6
【答案】
3
A
3



【例2】
7
名同学站一排，个子最高的站中间，其余
6
个按照从高到底、从中间到左右两边
进行排列，有多少种排法？










A
6
6
【答案】
33

A
3
A
3
三、应用：路径问题
（一）二维路径问题
【例1】如图所示：求
A
到
B
的最短走法有多少种？









- 15 -

A
7
7
【答案】
43
A
4A
3

【例2】小明哥小红去活动中心，现两人位置如下，小明先和小红回合然后 俩人一到达活动
中心，问小明的最短路径有多少种？










【答案】
18

（二）三维路径问题
【例1】三维直角坐标系中，从点
有多少种？









0,0,0< br>
到点

3,3,3

，每次只能走一个单位，则最短路径< br>A
9
9
【答案】
333
A
3
A
3< br>A
3

【例2】元宵节灯会中如图挂了
9
盏灯，每次取下一盏，有多少种取法？

- 16 -

【答案】
C
9
C
6

33
（三）路径问题推广：步骤数固定，步骤不固定
【例1】已知
2x3y15
，
x,y
均为正整数，有多少种解？







【答案】
2


【例2】有
15
根火柴，若规定每 次取
2
根或
3
根，取完这堆火柴有多少种取法？









【答案】
28


【例3】
10
阶台阶，一次上一阶或两阶，有多少种走法？









- 17 -

【答案】
89

四、应用：条件触发终止型问题
（一）连中射击问题
【例1】射击游戏中，击中
3
次则获胜，恰好射击5
次获胜有多少种情况？









【答案】
10

（二）对局比赛问题 【例1】两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则可能出现的情形（个人
输赢局次 的不同视为不同情形）共有（ ）

A.10
种
B.15
种
C.20
种
D.30
种







【答案】
C


【例2】口袋中有大小相同，颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，< br>当三种颜色的球全部取出时停止，则恰好取了
5
次停止的种数为（ ）








【答案】
42


- 18 -

五、疑惑诠释：同色摸球的思考
【例1】有一个箱子里有
3
个实心球，
2
个空心球，从中摸出一个球，有多少种摸法？


【答案】
C
2

【例2】箱子里有
2
个黄球，2
个白球，
3
个红球，
4
个绿球，从中摸出一个球，有多少种< br>结果？


【答案】
C
3
1
1

- 19 -

排列组合专题二
捆绑法

一、捆绑法介绍 ...................................... .................................................. ................................. - 21 -
二、捆绑法的两种类型 ................................... .................................................. ........................ - 22 -
（一）大小夹杂型 捆绑法 .................................................. ........................................... - 22 -
（二）小团体型 捆绑法 ................................. .................................................. .............. - 23 -
三、捆绑的“包裹” .............. .................................................. ................................................. - 24 -
（一）包裹内的定序 ............................. .................................................. .......................... - 24 -
（二）包裹内元素按照实况排列 ............................... .................................................. .... - 25 -
（三）包裹与外部元素的关系 .................... .................................................. ................... - 26 -
（四）捆绑法的缺陷 ......... .................................................. .............................................. - 26 -
四、选取+捆绑+排列 .............................. .................................................. ................................. - 27 -
五、取反策略转化为捆绑 .................................. .................................................. ..................... - 28 -

- 20 -

一、捆绑法介绍
【例1】
5
个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？








【答案】
A
2
A
4

【例2】现有
3本数学书，
2
本外语书，
3
本其他课本进行排列，要求外语课本排在一起 ，
数学课本放在一起，有多少种排法？









【答案】
A
3
A
2
A
5

【例3】
5
个人站成一排，要求甲乙排在一起，且甲排在乙的前面，有多少种排法？











【答案】
A
4

【例4】现有
3
本相同 的数学书，
2
本相同的外语书，
3
本其他不同课本进行排列，要求外
- 21 -
4
325
24

语课本排在一起，数学课本放在一起，有多少种排法？








【答案】
A
5
【例5】
12
个停车位，
8
辆车要停，要求空位连在一起，有多少种排法 ？








【答案】
A
9

9
5
二、捆绑法的两种类型
（一）大小夹杂型 捆绑法
【例1】
5
个人站成一排，要求甲乙排在一起，有多少种排法？










【答案】
A
2
A
4

【例2】排课表时，有语数英
3
门文化课和
3
门艺术课，要求文化课间没有艺术课，有多少
种排法 ？



- 22 -
24

【答案】
A
3
A
4

34
（二）小团体型 捆绑法
【例1】
7
名同学中有
4
名男生，
3
名女 生站成一排，现要求男生站一起，女生站一起，问
有多少种排法？









【答案】
A
4
A
3
A
2

【例2 】
7
名同学中有
4
名男生，
3
名女生站成两列，现要求男生 站一列，女生站一列，问
有多少种排法？









【答案】
A
4
A
3
A
2

【例3 】
3
个三口之家共
9
人坐一起吃饭，要求每家人坐一起，，有多少种排法？





- 23 -
432
432

【答案】
A
3
A
3
A
3
A
3
< br>【例4】
2
部小说各分一、二、三、四卷，每卷一本，共八本，排成一排，要求左边4
本属
于同一部小说，有多少种排法？










【答案】
A
4
A
4
A
2

442
3333
三、捆绑的“包裹”
（一）包裹内的定序
【例1 】名
7
同学中有
4
名男生，
3
名女生站成一排，现要求男生 站一起，女生站一起，且
男生按从高到低的顺序排列，问有多少种排法？







【答案】
A
3
A
2

【例2】名
7
同学中有
4
名男生，
3
名女生站成两列，现要求男生站一列，女生站一列， 且
按从低到高的顺序排列，问有多少种排法？







- 24 -
32

【答案】
2


【例3】
5
辆车
8
个停车位，有多少种停法？







【答案】
A
8
A
5

【例4】
5
辆车
8
个停车位，要求空位连在一起，有多少种停法？








【答案】
A
6

【例5】
lovemath
由< br>8
个字母组成，现将字母重新排列，要求
math
连在一起，且顺
序不 变，有多少种排法？






【答案】
A
5
5
6
35



（二）包裹内元素按照实况排列
【例1】
5
名同学排成一排，要求甲与乙相邻，乙与丙相邻，有多少种排法？





- 25 -

【答案】
12


【例2】
10
名同学排一排，男生站一起，女生站一起，小红不站外面，有多少种排法？








【答案】
A
6A
2
A
3
A
2

6132
（三）包裹与外部元素的关系
【例1】
5
名志愿者，2
名老师参加完活动要站成一排合影，要求
2
个老师站一起且不站两
端， 有多少种排法？











【答案】
A
2
C
4
A
5

215
（四）捆绑法的缺陷
1.元素个数视为1无影响
【例1】4男，2女站一排，甲站中间，女生排一起.






- 26 -

2.与外部元素无关
【例1】6人，ABC站一起，B不与E相邻，A与F差一个元素.







四、选取+捆绑+排列

【例1】
20
个学生有
10
男
10
女， 现从中选
10
名同学，要求刚好选出
5
男
5
女，然后将选< br>出的学生排成一排，男生站一起，女生站一起，有多少种排法？






552
【答案】
A
10

A
10
A
2
【例2】从字母
equation
中选
4
个字母含
qu
（顺序不变）排成一排，有多少种排法？







【答案】
C
6
A
3

23
- 27 -

五、取反策略转化为捆绑
【例1】
5
人排一排，要求甲乙不相邻，有多少种排法？








【答案】
A
5

【例2】
5
件产品排一排，要求甲乙相邻，乙丙不相邻，有多少种排法？









【答案】
36

5
A
2
2
A
4
4

- 28 -

排列组合专题三
插空法









- 29 -

一、标准的插空法 ....... .................................................. .................................................. .......... - 31 -
（一）插空法引入介绍 ................. .................................................. .................................. - 31 -
（二）插空法模型训练 ................................... .................................................. ................ - 31 -
二、插空中的定序 ............. .................................................. .................................................. .... - 32 -
三、插空中的转化：相邻至少与插空 ................. .................................................. .................. - 33 -
四、插空中的分类 ........... .................................................. .................................................. ...... - 33 -
（一）三类元素各自不邻问题 .................. .................................................. ..................... - 33 -
（二）相邻至多与插空 ...... .................................................. ............................................. - 34 -
（三）部分同种元素相邻问题 .............................. .................................................. ......... - 35 -
五、疑惑诠释：插空法与分步法 .............. .................................................. ............................. - 36 -
（一）分步插空法介绍 ................................... .................................................. ................ - 36 -
（二）分步插空法示例 ........... .................................................. ........................................ - 36 -
（三）分步插空与插空法的区别 ............................... .................................................. .... - 37 -

- 30 -

一、标准的插空法
（一）插空法引入介绍
【例1】
5
个人站一排，甲乙不相邻，有多少种排法？







【答案】
3A
4

【例2】
8
个人站一排，甲乙丙都不相邻，有多少种排法？





【答案】
A
5
A
6
53
4



【方法】①找出被插对象并排列②将不相邻者放入空中并排列

（二）插空法模型训练
【例1】
5
名妈妈和
5
个儿童进行 排列，要求
5
个儿童不相邻，有多少种排法？








【答案】
A
5
A
6

【例2】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，有多少种排法？




- 31 -
55

【答案】
A
4
A
5
43


【例 3】对四门文化课，三门艺术课进行排列，要求艺术课不能在一起，且不能排在第一节
和最后一节，有多 少种排法？







【答案】
A
3
A
4

【例4】
8
名同学和
2
名老师合影，要求老师不相邻且不排在两端，有多少种排法？







【答案】
A
8
A
7

【例5】把
5
名同学排到
6
个座位中，且
A,B
不相邻，有多少种排法？







【答案】
A
4
A
5

42
82
34


二、插空中的定序
【例1】文 艺演出舞台上有15只相同的彩灯，每次闪灯恰有6只是关着的，且相邻的灯不
能同时关，两端的灯必须 一直亮，有多少种排法？

- 32 -

【答案】
28


【例 2】显示屏一排有
7
个小孔，可以显示
0
或
1
两种信号，每 次显示
3
个小孔，但相邻孔
不能同时显示，则显示屏能显示的信号种数是多少？





【答案】
80

三、插空中的转化：相邻至少与插空
【例1】
6
节课进行排列，有
3
门文化课，
3
门艺术课，要求相邻两节文化课之间至少有一
节艺术课，有多 少种排法？












【答案】
A
3
A
4

33
四、插空中的分类
（一）三类元素各自不邻问题
【引理】两人分类的相邻与不邻
【例1】
5
人排成一排，
A,B< br>都不与
C
相邻，共有多少种排法？


- 33 -

【答案】
36

【破解方法】
1.从最多开始
2.相邻与不邻的讨论

【例1 】
5
本不同的书，其中语文
2
本，数学
2
本，物理
1
本，对其进行排列，要求同一科
目不相邻，有多少种排法？








【答案】
48

< br>【例2】文艺演出中有三类节目，
3
个歌舞类节目，
2
个小品类，1
个相声类，对其排列，
要求同类节目不相邻，有多少种排法？








【答案】
120

（二）相邻至多与插空
【破解方法】讨论相邻个数
【例1】
6
节 课进行排列，有
3
门文化课，
3
门艺术课，要求相邻两节文化课之间至多有一
节艺术课，有多少种排法？






- 34 -

【答案】
A
3
C
3
A
2
A
2

3222
（三）部分同种元素相邻问题
【破解方法】打包+不邻

【例1】将
4
个白球，
1
红
1
蓝
1
黄< br>1
绿进行排列，要求只有
2
个白球相邻，有多少种排法？







【答案】
C
4
C
5
A
4

【例2 】将
4
名男生，
2
名女生排成一排，男生只有两个相邻，则不同的排法有多少 种？








【答案】
144

【例3】某名学生默写英文单词，他记得这个单词是由3
个
e
，
“bookkeeper会计”
214

2
个
o
，
2
个
k
，
b, p,r
各一个组成，
2
个
o
相邻，
3
个
e
恰有两个相邻，
o,e
都
不在首位，他按此条件写出的结果有多少个？









- 35 -

【答案】
9000


五、疑惑诠释：插空法与分步法
（一）分步插空法介绍
1.







2.








用分步法涉及从一堆元素中多次选取时会重复
可以用分步法理解
（二）分步插空法示例
【例1】
5
名同学排成一排，甲不站排头或排尾，有多少种排法？









【答案】
A
4
C
3


【例2】
12
名同学合影，前排站
4
人，后排站
8
人，摄影师从后排找
2
人站在前排，剩下
的同学相对顺序固定，有多少种排法？


- 36 -
41

【答案】
30C
8

【小结】向一群元素中插入多个元素，不涉及相邻时，可采用多次插入的方法.

2
（三）分步插空与插空法的区别
【例1】
6
个人站一排，甲乙不相邻，共有多少种排法？







【答案】
A
4
C
5
C
4

【小结】避开相邻的特殊空也可以插入
411
- 37 -

排列组合专题四
位置分析法


一、位置分析法 .................................................. .................................................. ..................... - 39 -
（一）位置法：间隔数问题 .... .................................................. ....................................... - 39 -
（二）位置法：移动型讨论 ................................. .................................................. .......... - 39 -
（三）位置法：特殊元素 ................ .................................................. ............................... - 40 -
1.优先级策略 .................................................. .................................................. .......... - 40 -
2.讨论的起点：对后续结果造成影响 .......... .................................................. .......... - 40 -
3.讨论的技巧：对称的妙用 .............. .................................................. ...................... - 41 -
二、位置法处理其他问题 .... .................................................. .................................................. . - 41 -
（一）位置法与捆绑法 .......................... .................................................. ......................... - 41 -
1.位置法解决捆绑问题 . .................................................. ........................................... - 41 -
2.位置分析补充捆绑法的短处 ............................... .................................................. . - 42 -
（二）位置法处理三类元素不相邻问题 ................... .................................................. .... - 42 -
（三）位置法处理至多问题 ..................... .................................................. ...................... - 43 -
（四）创新型问题：位置法


枚举排列

排除 ......................... ................................. - 43 -
- 38 -

一、位置分析法
（一）位置法：间隔数问题
【例1】有
10
陇地，选
2
陇种植
A,B
两种作物，要求
AB
间隔不小于
6
陇，有多少种选法?







【答案】
12



【例2】有4
名男生，
3
名女同学进行排列，要求甲乙之间恰有
3
名学生， 有多少种排法？






【答案】
3A
2
A
5


25
（二）位置法：移动型讨论
【例1】甲乙丙
3
名志愿者周一到 周五参加活动，每人参加一天，且每人至多一天，要求甲
排在乙丙前，有多少种排法？







【答案】
20

法一： 法二：
- 39 -

（三）位置法：特殊元素
1.优先级策略
【例1】
6
个人站一排，甲不站最左或最右端，有多少种排法？








【答案】
480


【例2】
5
个人参加了比赛，已知甲乙都不是冠军，乙不是最差的，从以上 信息中可以得出
多少种结果？









【答案】
54


【练习1】
6
个人站一排，甲乙站两端，有多少种排法？








【答案】
A
2
A
4

24
2.讨论的起点：对后续结果造成影响
【例1】
6
个人站一排，甲不站左端，乙不站右边，有多少种排法？



- 40 -

【答案】
504

3.讨论的技巧：对称的妙用
【例1】
7
人站一排，甲在最中间，乙丙相邻，丁不在两端，有多少种排法？






【答案】
120


【例2】
7
人站一排，甲在最中间，乙丙不相邻，丁不在两端，有多少种排法？






【答案】
480


【例3】
7
个人排列，要求甲乙相邻，丙不在排头，丁不在排尾，有多少种排法？







【答案】
1008

二、位置法处理其他问题

（一）位置法与捆绑法
1.位置法解决捆绑问题
【例1】
a,b,c,d,e
五个元素排列，以下情况中各有多少种结果：
- 41 -


1

a
在
e
的左 边，且
a,e
相邻；

2

a,e
相邻；

3

a,e
不相邻；









【答案】

1
4A
；

2

AA
；

3

72

3
3
2
2
4
4
2.位置分析补充捆绑法的短处 < br>【例1】
5
个男生
2
个女生排列，要求
2
名女生排在 一起，男生甲站中间，有多少种排法？











【答案】
192

（二）位置法处理三类元素不相邻问题

【例1】对
3
个歌舞类节目 ，
2
个小品类，
2
个相声类进行排列，要求同类节目不相邻，有
多少 种排法？








【答案】
120

- 42 -

【例 2】现有
5
本不同的课本，语文
2
本，数学
2
本，物理1
本，随机将书放在同一层书架
上，同一科目不相邻的可能结果有多少种？









【答案】
48

（三）位置法处理至多问题
【例1】一天共
6
节课，其中文化课有语、数、外
3
节，其他艺术课各
1
门，要求 相邻文化
课间至多有一节艺术课，有多少种排法？











【答案】
432

（四）创新型问题：位置法

枚举排列

排除
【例1】将
1,2,3,4,5,6
六个数排一列，记第
i
个数为
a
i

i1,2,36

,
a
1
1,a
3
3,a
5
5,a
1
a
3
a
5< br>，问有多少种排法？









- 43 -

【答案】
30


- 44 -

排列组合专题五
隔板法


一、相同元素不同去处 .............................. .................................................. ............................. - 46 -
（一）隔板法 .. .................................................. .................................................. ............... - 46 -
1.相同元素不同去处 （非空） ...... .................................................. ...................... - 46 -
2.相同元素不同去处 （可空） .................................................. ............................ - 46 -
3.隔板法应用：

abc

项数 ............ .................................................. ............... - 47 -
n
4.隔板法中的分类 ........ .................................................. ............................................ - 48 -
（二）不定方程模型 .................................. .................................................. ..................... - 48 -
1.不定方程整数解问题 ..... .................................................. ....................................... - 48 -
2.不定方程模型应用 ................................... .................................................. ............. - 49 -
二、相同元素相同去处 .............. .................................................. ............................................. - 49 -

- 45 -

一、相同元素不同去处
（一）隔板法
1.相同元素不同去处 （非空）
【例1】将
10
个颜色相同的小球放入六个不同的盒子中，每个盒子至少一个，那么有多少
种放法？





【答案】
C
9

【总结】将
n
个相同元素分到
m
个不同的去处，每个去处至少一个元素， 则共有
C
n1
种放
法.


【练习1】四个人分五张相同的足球票，每人至少一张，则共有多少种分法？










【答案】
C
4



3
m1
5


2.相同元素不同去处 （可空）
【例1】将
10
个颜色相同的小球放入三个不同的盒子中，一共有多少种放法？



- 46 -

【答案】
C
12

【练习1】将
5
个相 同的信封分别放入
3
个邮箱中，一共有多少种放法？






【答案】
C
7


【总结 】
n
个元素

放入
m
个不同去处

去处可 空，共有
C
nm1
种放法
【方法】借球法
m1
2
2



3.隔板法应用：

abc

项数
n

【例1】








【答案】
12

【例2】
(abc)
的项数为多少？






- 47 -
5

ab

11
一共有多少项？

【答案】
21




4.隔板法中的分类
【例1】小红有
10
块糖，每天至少吃一块，问一共有多少种放法把糖吃完？











【答案】
512




（二）不定方程模型
1.不定方程整数解问题
【例1】
x
1
x
2








【答案】
C
15

< br>5
x
3


x
6
10,x
i
N

i1~6

，问该方程有多少组解？
- 48 -

【例2】
x
1
x
2







【答案】
C
9
5
x
3


x
6
16,x
i< br>2

i1~6

，问该方程有多少组解？
2.不定方程模型应用
【例1】现有
10
本相同的书要分给①②③
3
阅览室，要求每个阅览室分得的书的数量不能
小于其编号数，则一共有多少种不同的分法？








【答案】
15

二、相同元素相同去处
【例1】把
6
拆成
3
个正整数相加，一共有多少种拆法？








【答案】
10


【例2】把
5
本相同的书分成
3
堆，一共有多少种分法？






- 49 -

【答案】
2

- 50 -

排列组合专题六
选分排






- 51 -

一、按类选取模型 ..................................... .................................................. .............................. - 53 -
（一）两类型选取模型 ................................... .................................................. ................ - 53 -
1.总数选取与指定选取 .......... .................................................. .................................. - 53 -
2.至少出现一类的选取 .................................. .................................................. .......... - 54 -
（二）多类型选取模型 ................. .................................................. .................................. - 54 -
1.从2类到3类的选取——逐项讨论 ............................ .......................................... - 54 -
2.类别均匀的多类选取问题 ................................ .................................................. .... - 56 -
3.类别不均匀的多类选取问题 ................... .................................................. ............. - 57 -
（三）多面手模型 ................ .................................................. ........................................... - 57 -
二、分组模型 ....................................... .................................................. .................................... - 58 -
（一）不同元素的分组模型 ................................. .................................................. .......... - 58 -
（二）模式识别：不同元素+相同去处+非空 ....... .................................................. ........ - 59 -
（三）不同元素指定分组 .................. .................................................. ............................. - 60 -
三、分步模型 .. .................................................. .................................................. ....................... - 61 -
四、分配模型 ........ .................................................. .................................................. ................. - 62 -
（一）分配问题 ............. .................................................. .................................................. - 62 -
1.标准模型 ................................ .................................................. ................................ - 62 -
2.指定分配问题 ..................................... .................................................. ................... - 63 -
3.分配问题中的至少问题 ...... .................................................. .................................. - 63 -
（二）分配+分步问题 ................................... .................................................. .................. - 64 -
（三）选取+分配问题 ......... .................................................. ............................................ - 65 -
（四）搭配分组问题 .................................. .................................................. ..................... - 65 -
五、元素去处的定义 ....... .................................................. .................................................. ...... - 66 -
（一）元素与去处定义引入 ................... .................................................. ........................ - 66 -
（二）元素去处定义与集合映射 .................................................. ................................... - 66 -
（三）元素去处定义的应用 ................................. .................................................. .......... - 67 -
六、选分排疑惑 .................... .................................................. .................................................. . - 67 -

- 52 -

一、按类选取模型
（一）两类型选取模型
1.总数选取与指定选取
【例1】现有
10
名医务工作者，其中有四名医生，六名护士，（1）如果从中选出医生和护
士各两名，共有多少种选法 ？（2）如果从
10
名工作者中选出
4
名去参加活动，共有多少
种选 法？










【答案】

1

CC

2

C
2
4
4
10
2
6
;


【练习1】将大量元素分成两组，第一组有
M
个，第二组有
N
个，现 从两组中共选出
4
个
元素，共有多少种选法？











【答案】
C
MN

【练习2】将六个元素分成两组，每组各
3
个，现从两组中共选出
4
个元素，共有多少种选
法？


- 53 -
4

【答案】
C
6

4

2.至少出现一类的选取
【例1】现有
100
件产品，其中有
80
件合格品和
20
件次品，从中任取两件进行检测，问
抽到的产品中至少有一件 是次品的情况有多少种？








【答案】
C
100

【练习1】现有四台甲计算机，五台 乙计算机，从中任取三台，则选中至少一台甲计算机的
情况有多少种？













【答案】
74

2
（二）多类型选取模型
1.从2类到3类的选取——逐项讨论
【例1】某产品中有一等品
100
个 ，二等品
80
个，三等品
30
个，从中选出
10
个产品，问
下列情况下各有多少种结果：
- 54 -

一共有多少种结果;
（2）全是一等品;
（3）抽不到一等品;
（4）抽到
5
个一等品;
（5）
1
个一等品，
2
个二等品；
（6）至少抽到
1
个一等品.





















【答案】

1< br>
C

2

C

3

C< br>
4

C

5

C

6< br>
C
10
210
10
160
10
C
110
0
100
5
100
C
5
110
< br>1
100
27
C
80
C
30
10
C
110
10
210
【练习1】现从
10
名大学生中选出3
名当村长助理，要求甲乙至少选一名，丙没有入选，
则共有多少种选法？





- 55 -

【答案】
49



【例2】从
3
名骨 科，
4
名脑外科和
5
名内科医生中选派
5
人组成一个抗震救 灾医疗小组，
则骨科、脑外科和内科医生都至少有
1
人的选派方法种数是______ _.





【答案】
590



2.类别均匀的多类选取问题
破解方法：分堆法+相同元素排序+按类选取

【例1】现有
4
本 数学书，
4
本英语书，
4
本语文书，从中选出
6
本，每个科 目至少一本，
共有多少种选法？















【答案】
840

【例2】有
16
张不同的卡片，其中红黄 蓝绿色各
4
张，从中任取
3
张，且
3
张卡片不能同
色，红色至多
1
张，共有_______种取法.







- 56 -

【答案】
472




3.类别不均匀的多类选取问题
破解方法：分堆+相同元素排序（不乘只找出情况数）+按类选取

【例1】从3
名骨科，
4
名脑外科和
5
名内科医生中选派
5
人组成一个抗震救灾医疗小组，
则骨科、脑外科和内科医生都至少有
1
人的选派方法 种数是_______.















【答案】
590

（三）多面手模型

【例1】现有8
名青年大学生，
5
名会翻译英语，
4
名会翻译德语，从中选出
5
人，要求
3
名可以翻译英语，
2
名可以翻译德语，问共有 多少种选法？






- 57 -

【答案】
42



【例2】现有
8
名青年大学生，
6
名会翻译英语，
5
名会翻译德语，从中选出
5
人，要求
3
名
可以翻译英语 ，
2
名可以翻译德语，问共有多少种选法？









【答案】
92
.








二、分组模型
（一）不同元素的分组模型
【例1】有
6
本书分为三组，分别有
1
本，
2
本，
3
本，共有多少种分法？






- 58 -

【答案】
60


【例2】有
6
本书平均分为两组，共有多少种分法？





C
6
3
C
3
3
【答案】 < br>2
A
2
【例3】有
6
本书分为三组，分别有
1
本，
1
本，
4
本，共有多少种分法？





1
C
6
4
C
2
【答案】 < br>2
A
2
【例4】有
12
支笔，按
3:3:2:2:2
的比例分成五组，有多少种分法？






3
C
12
C
9
3
C
6
2
C
4
2
C
2
2
【答案】
23
A
2
A
3
（二）模式识别：不同元素+相同去处+非空
【例1】有
6
本书平均分为两组，共有多少种分法？





C
6
3
C
3
3
【答案】 < br>2
A
2
【例2】将
6
个颜色不同的球放入
3
个完全相同的盒子里，每个盒子至少放
1
个，有多少种
放法.
- 59 -

1
C
6< br>2
C
4
2
C
2
2
C
6
4< br>C
2
321
C
6
C
3
C
1

2
【答案】
3
A
3
A
2
【例3】将 编号为
1,2,3,4,5,6
的卡片放入
3
个相同的信封中，每个信封2
张，有多少种放
法？





C
6
2
C
4
2
C
2
2
【答案】
3
A
3
【例4】将6本书分成①②③组，每组各两本，有多少种分法？






C
6
2
C
4
2
C
2
2
3
A
【答案】
3< br>
3
A
3
（三）不同元素指定分组
【例1】将
9< br>人（含甲乙）平均分为
3
组，甲乙在同一组，有多少种分法？





C
6
3
C
3
3
【答案】
C
2
A
2
1
7
【例2】将
1,2,3,4,5,6
张卡片放入
3
个相同信封中，将
1,2
号放入同一组，有多少种分法.


- 60 -

【答案】
3

【例3】五名志愿者按
1:1:2
分成
3
组，甲乙不在一组，共有多少种分法.





【答案】
12

【例4】有
6
本书，
2
本 相同，
4
本不同，分为
3
组，每组
2
本，有多少种分法.





【答案】
9

三、分步模型
结构特征：不同元素

不同去处

可空
【例1】
6
本书，分给甲乙丙
3
人，共有多少种分法.





【答案】
3

【例2】将
4
封不同的信放到
3
个不同的邮箱中，有多少种分法.






【答案】
3
【例3】
6
名小伙伴，
5
个课外讲座，每个小伙伴只能去一个讲座，有多 少种分
法.



- 61 -
4
6

【答案】
5

【例4】
4
个人分5张电影票，有多少种分法.






【答案】
4

【例5】
4
个同学选课，每个人只能从甲乙丙中选一门，恰有两人选甲，有多少
种选法.






【答案】
24


5
6
四、分配模型
（一）分配问题
1.标准模型
【例 1】有
6
本不同的书分给
3
个人，第一个人
1
本，第二个人
2
本，第三个人
3
本，有多
少种分法.






【答案】
360

【例2】将< br>5
个不同的球放入
4
个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，有多少种放法.





- 62 -

【答案】
240

【例3】将
4
名大学生分配到
3
个镇去当官，每镇至少一名，有多少种分法.






【答案】
36

【例4】6个颜色不同的球放入标号为①②③的盒 子里，每盒球个数不同且至少有一个，共
有多少种放法.






【答案】
180

2.指定分配问题
【例1】有
6
本不同的书分给
3
个人
第一个人
1
本，第二个人
2
本，第三个人
3
本；
甲
1
本，乙
2
本，丙
3
本；
一人
4
本，其他两人各
1
本；
甲
3
本， 另外两个人分别有
1
本和
2
本，有多少种分法.





【答案】

1

CCCA

2

CCC
1
6
2
5
3
3< br>1
6
2
5
3
3
1
C
6
4< br>C
2

3

2
A
3
3
A< br>2
3
3


4

CCCA
3
6
2
3
1
1
2
2
3.分配问题中的至少问题
【例1】
4
名学生去甲乙丙三个地方活动，每个地方至少去一人，有多少种分法.



- 63 -

【答案】
36

【例2】派
6
个人去甲乙丙三个地方，每个地方至少一人，有多少种分法.






11
C
6
2
C
4
2
C
2
2
C
6
C
5
1233
CCC)A
【答案】
(
6533

32
A
3
A
2
（二）分配+分步问题
【例1】高 二有
6
个班，现有
4
名学生要分到其中
2
个班，每班
2
名，有多少种分法.










C
4
2
2
A
2
【答案】
C
2
A
2
2
6
【例2】从
7名志愿者中选
6
个人安排在周六周日值班，每天
3
个人，有多少种分法.









C
6
3
2
A
2
【答案】
C
2
A
2
6
7
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