莫须有-涕泗横流

高三专题讲座
排列组合中涂色问题的常见方法及策略

与涂色问题 有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧
性强且灵活多变，故这类问题 的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能
力，有利于开发学生的智力。本专题总结涂色 问题的常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
1、
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法
。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，相邻部分涂不同颜色， 则不同的涂色方法有多少种？

①

③
④

②


分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4 种方法，接着给③号涂色方
法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原 理，不同的
涂色方法有
5434240

2、 根据共用了多少种颜 色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法
原理求出不同的涂色方法种数。
例2、 （2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不
能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
；
4
4
4
4
4
4
⑤
⑥

②
①
④
③
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有
A
4
；（5）②与④同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120
例3、（20 03年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要
求相邻区域不得使用同一 颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
2
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3
4
4
1
4
5

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2) 区域3与5必须同色，故有
A
4
种；
3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4) 则区域3与5不同色，有
A
4
种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，
有
A
4
种，故用四种颜色时共 有2
A
4
种。由加法原理可知满足题意的着色方
法共有
A
4
+2
A
4
=24+2

24=72
3、
根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同
色入手，分别计算出两种情 形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数
。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如 图所示的四个区域内，每个区域涂一
种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有 多少种不同
的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
2 1
4
（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
12
2C
5
A
4
；
34
44
4
3
3
4
5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
5
，
2122
因 此，所求的涂法种数为
A
5
2C
5
A
4
A5
260

2
4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色，要求同一
区域涂同 一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色
可供选择
C
解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，
B
D
有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，
A
E
此时，B、D、F各有3种着色方法故有
4333108

F
种方法。
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有
C
3< br>A
4
种着色方法，此时B、
22
D、F有
322
种着色方法，故共有
C
3
A
4
322432
种着色 方法。
22
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有
A
4
种着色方法，此时B、D、
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F各有2种着色方法。此时共有
A
4
222192
种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。

3
二、 点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，
（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异
色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？

解法一
：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先从 五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的
四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C 、B与D
12
分别同色，故有
C
5
A
4
60种方法。
（2） 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，
再 从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，
故有
A
4
种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与
C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同 色即可，故有
1211
C
5
A
4
C
2
C< br>2
240
种方法。
5
（3） 若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法
2
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

解法二
：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
5436 0

种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，
故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3
种选择；C与A不同 色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、
D染色有
1322 7
种染色方法。
D
由乘法原理，总的染色方法是
607420

A
解法三
：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
S
C
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
B
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解答略。
三、 线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，
主要方法有：（1）根据共用了多少颜色分类讨论
（2）根据相对线段是否同色分类讨论
。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，且使
相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
4
解法一
：（1）使用四颜色共有
A
4
种
（2） 使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有
C
4
C
2
A< br>3
种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有
A
4
种
41122
因此，所求的染色方法数为
A
4
C
4
C
2
A
3
A
4
84
种
1122
解法二
：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有
4 312
种涂色方
法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，
故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选
当CD与A B不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，
从而对CD、DA涂色有13227
种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为
12784
种
例8、用六种颜 色给正四面体
ABCD
的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色
且共顶点的棱涂不同 的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
故有
A
6
种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二 组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间
不同色，故有
C
6
A
6种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有
C< br>3
A
6
种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有
A
6
种不同的方法。
324156
综上，满足题意的总的染色方法数为
A
6
 C
3
A
6
C
3
A
6
A
64080
种。
6
15
34
3
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四、 面涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：按色数来分

例9、从 给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两
个具有公共棱的面涂成不同的 颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应 考虑利用加法
原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论 < br>（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，
在上、下底已涂 好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个
面有3！种涂色方案，根据乘法原理
n
1
53!30

5
（2）共用五种颜色，选定五种 颜色有
C
6
6
种方法，必有两面同色（必为相对面），
确定为上、 下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数
5
取决于右侧面的颜色 ，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
n
2
C
6
5390

42
(3)共用四种颜色,仿上分析可得
n
3
C
6
C
4
90

3(4)共用三种颜色,
n
4
C
6
20

例 10、四棱锥
PABCD
，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不
同 色，有多少种涂法？

P


1
2

5



3
D

4
C


A
B
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2 、3、4相当于四个
侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有
A
4
种；
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（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组 中只能有一组同色，此时有
C
2
A
4
；
314
故 满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
4
C
2
A
472

14

环形问题的解决
如：如图，把一个圆分成< br>n(n2)
个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一
染色，要求相邻扇形不同色， 有多少种染色方法？
解：设分成n个扇形时染色方法为
a
n
种
（1） 当n=2时
A
1
、
A
2
有
A=12种，即
a
2
=12
2
4
A
1
A
2
A
3
A
n
A
3
A
4

（2） 当分成n个扇形，如图，
A
1
与
A
2
不同 色，
A
2
与
A
3
不同色，，
A
n1

与
A
n
不同色，共有
43
n1
种染色方法， 但由于
A
n
与
A
1
邻，所以应排除
A
n< br>与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A
1< br>同色时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形，与前n2
个扇形加在一起为
n1
个扇形，此时有
a
n1
种染色法，故有如下递推关系：
a
n
43
n1
a
n1

a< br>n
a
n1
43
n1
(a
n2< br>43
n2
)43
n1


2a
n2
43
n2
43
n1
an3
43
n3
43
n
43
n1< br>

4[3
n1
3
n2

nn< br>(1)
n
3]
(1)33

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