方瑞娥-乡村医生事迹

排列组合中的典型错误

1、重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问
题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例1、5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少
一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
误解：先从5 本书中取4本分给4个人，有
4
A
5
4
A
5
种方< br>法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共
有
4480
种不同的分 法，选A.
错因分析：设5本书为
a
、
b
、
c
、
d
、
e
，四个人
为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1和 表
2：




甲 乙
丙
丁

甲
乙
丙
丁
a

e

b

c

d

e

a

b

c

d

表1是甲首先分得
a
、乙分得
b
、丙分得
c
、丁分得
d
，
最后一本书
e
给甲的情况；表2是甲首先分得
e
、乙
分得
b
、 丙分得
c
、丁分得
d
，最后一本书
a
给甲
表1 表2

的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成
了不同的情况。正 好重复了一次.
正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.
第一步：从5本书中任 意取出2本捆绑成一本书，有
2
C
5
种方法；第二步：再把4本书分给4个学 生，有
4
A
4
2
4
C
5

A4
240
种方法.由乘法原理，共有种方法，故
选B.
例2 、某交 通岗共有3人，从周一到周日的七天中，
每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法
共 有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
误解：第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，
剩下的3天给第三个人，这 三个人再进行全排列.共有：
223
C
7
C
5
A
3
1260
，选B.
错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的
是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能
是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周
一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.
223
C
7
C< br>5
A
3
630
2
正解：种.

2、遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，
因为遗漏某些情况，而出错。
例3、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比
1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，
又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有3种
取
法，剩下3个数排中间两个位置有
2
23A
3
36

0 1，3
2
A
3
种排法，共有
个.
错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000
大的奇数还可能是五位数.
正 解：任一个五位的奇数都符合要求，共有
3
23A
3
36
个， 再由前面分析四位数个数和五位数
个数之和共有72个，选D.

3、忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一
句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.

例4、 如图，一个地区分为5个行政区域，
现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一
有 ___种.
3
1
2
4
5
颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共
误 解：先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色
涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有12
C
3
2A
2
12
种，由乘法原理共有：41248
种.
错因分析：据报导，在高考中有很多考生填了48种.
这主 要是没有看清题设“有4种颜色可供选择”，不一
定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务.
正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着
色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜 色中选取3
种有
3
C
4
种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下
2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，
另一种颜色涂第3、5区域，有2种着 色方法，由乘法
原理有
3
C
4
3224
种.综上共有 ：
482472
种.
2
axb0
是关于
x
的一元二次方程，其例5、已知
中
a
、
个数.
b{1,2,3 ,4}
，求解集不同的一元二次方程的

{1,2,3,4}
误解：从集 合中任意取两个元素作为
a
、
b
，
方程有
共有
2< br>A
4
个，当
a
、
b
取同一个数时方程有1个，
个.
2
A
4
113
错因分析：误解中没有注意到题设中：“ 求解集不同
的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于

a1
a2
和


b2

b4
同解、

a2

a4
和


b1
< br>b2
同解，故要减去2个。
正解：由分析，共有
13211
个解集不同的一元二
次方程.

4、未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏
就会出错.
例6、 现有1角、2角、5角 、1元、2元、5元、10
元、20圆、50元人民币各一张，100元人民币2张，
从中至少 取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
误解：因为共有人民币11张，每张人民币都有取和不< br>10
211023
取2种情况，减去全不取的1种情况，共有
种.

错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解
中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取
二张3种情况.
正解：除100元人民币以外每张均有 取和不取2种情
况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取
9
2
的 1种情况，所以共有
311535
种.

5、题意的理解偏差出错
例7、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、
丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
（A）
（C）
3
A
6
3
A
5
< br>
5
A
5

3
A
3

（B）
8
A
8

6
A
6
< br>3
A
3

8
A
（D）
8

4
A
6

5
A
5误解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有种
排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙 三
3
35
A
6
AA
5
种排法，选A. 人有种方 法，这样共有
6
错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相
邻”的含义，得到 的结果是“甲、乙、丙三人互不相
邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、
丙三 人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.

正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、 乙、丙全
相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法
863
AAA
63
，故选B. 数，即
8

6、解题策略的选择不当出错
有些排列组合问题用直接法或分类讨论比较困难，
要采取适当的解决策略，如间接法、插入法、捆绑法、
概率法等，有助于问题的解决.
例8、高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂
进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何
工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种
误解：甲工厂先派 一个班去，有3种选派方法，剩下
的2个班均有4种选择，这样共有
34448
种方
案.
错因分析：显然这里有重复计算.如：
a
班先派去了甲
工 厂，
b
班选择时也去了甲工厂，这与
b
班先派去了
a
甲工厂 ，班选择时也去了甲工厂是同一种情况，
而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复
很 难排除.

正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总
数，再扣除甲 工厂无人去的情况，即：
44433337
种方案.
排列组合 问题虽然种类繁多，但只要能把握住最
常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序
排 列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变
应万变，把排列组合学好.