龙潭峡-小议慎独

“加减乘除”解排列组合问题

【摘要】排列组合问题是高中数学的 重要内容。为了
更好的解决排列组合问题，本文首先总结出了求解排列组合
问题的依据，原则， 关键，接着通过实际问题说明了分类讨
论法，并重点介绍利用“加减乘除”方法在一些问题的应用，说明该方法在解决排列组合问题时是一种很有效的方法。

【关键词】排列；组合；分类讨论；加减乘除
解排列组合问题的依据、原则、关键
①解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有
序排列，无序组合：
②解排列组合问题的三先三后原则：先分类后分步：先
特殊后一般，先组合后排列：
③解排列组合问题的关键：注意分类讨论。
一、分类讨论法
【例1】安排5名 歌手的演出?序时，要求某名歌手不第
一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是
____。（用数字作答）
【分析及解】分两种情况：（1）不最后一个出场的歌手
第一个出场，有A：种排法（2）不最后一个出场的歌手不第
一个出场，有A 3JA3A；种排法，故共有78种不同排法。

二、解排列组合问题的方法
相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，多排问题单排法，
定位问题优先法，多元问题分类法 ，选取问题先选后排至多
至少问题间接法，求正整数解个数出隔板法等：主要方法有：
加：利用加法的关键是正确分类，分类前必须先确定一
个分类标准，使完成这件事的任何一种方法都属于 且只属于
某一类。
【例1】有一个密码为631208的手提箱，现有显示号码
为080127，要打开箱子，至少旋转几次？（每个旋钮可显示
的数字依次为O，1，2，3，4， 5，6，7，8，9中的任何一
个，只要一个旋钮上转…一个新的数字就为一次，逆转与顺
转都 可以）
【分析及解】在第一个旋钮上由O转为6，顺转需要6
次，逆转需要4次，所以 ，在第一个旋钮上至少需要转4次，
同理，在第二个旋钮上至少需要转5次，在第三个旋钮上至
少需要转1次，在第四个旋钮上至少需要转1次，在第五个
旋钮上至少需要转2次，在第六个旋钮上至少 需要转1次，
因此，要打开箱子，至少旋转4+5+1+1+2+1= 14次。
减： 完成一件事，当正面直接分类较困难，而不完成这
件事的情况却容易分类时，则只需要在完成这件事与否 的方
法总数中减去不完成这件事的方法总数即可，
【例2】以正方体的顶点为顶点，共可构成多少个四面

体？
【分析及解 】由于以正方体的顶点为顶点，共可构成C48
个四边形，其中共面的四边形有（1）以正方体的表面四 边
形有6个，（2）对角面有6个，因此，以正方体的顶点为顶
点，共可构成C4-6-6=5 8个四面体。
乘：是分步计数原理在解题中的应用，完成一件事，需
要分成连续ri个 步骤，只有完成且只需要完成这n个步骤，
事情才能完成，则完成这件事的方法总数是分步完成方法数< br>的乘积。
【例3】2100有多少个正的约数？
【分析及解】由210 0=22x3x52x7，第一步，考虑是否有
约数2，有3种选择：“不选”，“选1个”，“选2个 ”共3种
不同的选法：第二步，考虑是否有约数3，有2种选择：“不
选”，“选1个”，共2 种不同的选法；第三步，考虑是否有
约数5，有3种选择：“不选”，“选1个”，“选2个”共3种< br>不同的选法：第四步，考虑是否有约数7，有3种选择：“不
选”，“选1个”，共2种不同的选 法：所以，2100有3×2x3x2=
36个正约数。
除：除是针对有“对称”关 系而采用的一种解法.如果完
成一件事中存在着一些特殊的元素，将这些元素相互对换后，
并不 影响完成这件事的方法总数，就称这些特殊的元素具有
“对称”关系，把具有“对称”关系的所有元素的 全排列应

看作同一种情形，这时候要用除法。
【例4】将n个不同的元 素排成一列，其中a，在a2的
左边，a。在a的左边，…，ak-1，在ak的左边，（a1，a2， …，
ak不一定相邻），有多少种不同的排法？
【分析及解】这是一个定序问题，其中，a.，a2，…，
ak的顺序只有一种情形，因此，共有
种排法。
【例5】把6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同
的分法？
【分析及解】这是一个平均分组问题，由于各组内的元
素个数相同，所以组内元素进行整体 对换后，分组总数不受
影响，即组与组是对称的，因而，平均分组问题要用除法解
决.有
种不同的分法。
捆：是对元素进行整体处理的形象化描述，在排列组合
问 题中，有时要求某些元素必须相邻，可以把这些元素“捆”
在一起，从而保证这些元素相邻而不散乱。
【例6】把4封信投入三个信箱中的两个信箱，有多少
种不同的投法？
【 分析及解】4封信的投法分为两类：第一类是一个信
箱3封，一个信箱1封，第二类是两个信箱各2封， 在第一
类分法中，为了保证3封信在同一个信箱，需要把其中的3

封信“捆”在 一起，在第二类分法中，同样需要把其中的每
个2封信“捆”在一起。
（1）-个信箱3封，一个信箱1封时，有 种投法。
（2）两个信箱各2封时，有
种投法。
由（1），（2）共有24+18= 42种投法。
插 ：是排列组合中保证某些特殊元素互不相邻的常用手
段，在解题时，先将其它元素排列，然后再将这些特 殊元素
插入在其它元素的间隙中。
【例7】马路上有编号为1，2，3，…，10的十 只路灯，
为节约用电又不影响照明，可以把其中的3只路灯熄灭，但
不能同时熄灭相邻的两只或 三只路灯，问满足条件的熄灭3
只路灯的方法有多少种？
【分析及解】不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，实
质上是熄灭的任意两只路灯不能相邻。
亮着的7只路灯是不加区别的，其排列的情况只有一种.
这7只路灯之间有8个间隙，将3 只熄灭的路灯插入间隙，
共有c 种插法，所以，满足条件的熄灭3只路灯的方法有
lxC3= 56种。
隔：用与整数分解型的排列组合问题，其思路是先把整
数分解成单位数1的和 ，然后把这个和式分隔成若干段，使
每种分隔都只和完成这件事的一种方法相对应。

【例8】某学校从高中三个年级中选20人组成田径队，
要求高一至少4人 ，高二至少5人，高三至少6人，共有几
种选法？
【分析及解】首先确定在高一选3人 ，高二选4人，高
三选5人，共12人，还差8人，再在高中三个年级中选8
人，每个年级至少 选一人，相当于方程x，+X2+X3=8的正整
数解的组数，即有c；=21种选法。
化：就是通过一一对应关系，用映射的方法寻求解题途
径。
【例9】若凸八边形的对角线两两相交，且除顶点外，
再无三线共点，试问这些交点有多少个在其内部？
【分析及解】以凸八边形的顶点为顶点的四边形的对角
线的交点对应一个凸八边形的对角线 两两相交的内部的交
点，而以凸八边形的顶点为顶点的四边形共有C =70个，即
凸八边形的对角线交点有70个在内部。