囱-家有毕业生

学而思高中完整讲义：排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法
总结1.学生版



知识内容

1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有
n
类办法，在第一类办法中 有
m
1
种不同的方法，在第
二类办法中有
m
2
种方 法，……，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事共 有
Nm
1
m
2
m
n
种不同的方法．又称加 法原理．

⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成
n个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，
做第二个步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个步骤有
m
n
种不 同的方法．那么完成这件事
共有
Nm
1
m
2
mn
种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数
原理．如果 完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，
那么计算完成这件事的 方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础， 也是求解排列、组合
问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m( m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从
n
个不 同的元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同元< br>素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．
排列数公式：
A
m
(nm1)
，
m，nN

，并且
m≤n
．
n
n(n1)(n2)
全排列：一 般地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排列．
n
的阶乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n的阶乘，用
n!
表示．规定：
0!1
．
⑵组合：一般地，从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成一组，叫做从< br>n
个元
素中任取
m
个元素的一个组合．
组合数：从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的个数，叫做从< br>n
个不
同元素中，任意取出
m
个元素的组合数，用符号
Cm
n
表示．
n(n1)(n2)(nm1)n!

组 合数公式：
C
m
，
m,nN

，并且
m≤n．
n

m!m!(nm)!
nmmm1
组合数的两个性 质：性质1：
C
m
；性质2：
C
m
．（规定
C0
n
C
nn1
C
n
C
nn
 1
）
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的 定义，即首先弄清是分类还是分步，
是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复 杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分
类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某 些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素
进行排列，然后再给那“一捆 元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的 分组问题——把
n
个元素排
m1
成一排，从
n1
个空中 选
m1
个空，各插一个隔板，有
C
n1
．
7．分组、 分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般
地平均分成
n< br>堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
8．错位法：编号为1至
n
的
n
个小球放入 编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放一个小球，
要求小球与盒子 的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n2
，3，4，5时的错位
数各为1 ，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、
3个、4个元素 的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原
理还是分步计 数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算
作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．


典例分析


直接法
（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）
【例1】 从5
名外语系大学生中选派
4
名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活< br>动，要求翻译有
2
人参加，交通和礼仪各有
1
人参加，则不同的选派方 法共
有 ．

【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有
14
名志愿者参加接待工作．若每天 排早、
中、晚三班，每班
4
人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
44
C
12
443
14
C
12
C
8
A．
CCC
B．
CAA
C． D．
C
12
14
C
12
C
8
A
3

3
A
3
12
14
4
12
4
812
14
4
12
4
8





【例3】 在平面直角坐标系中，
x
轴正半轴上有
5
个点 ，
y
轴正半轴有
3
个点，将
x
轴上这
5
个 点和
y
轴上这
3
个点连成
15
条线段，这
15条线段在第一象限内的交点最多有
（ ）
A．
30
个 B．
35
个 C．
20
个 D．
15
个











【例4】 一个口袋内有
4
个不同的红球，
6
个不同的白球，
⑴从中任取
4
个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红 球记
2
分，取一个白球记
1
分，从中任取
5
个球，使总分不 少于
7
分
的取法有多少种？








【例5】 一个口袋内装有大小相同的
7
个白球和
1
个黑球．
⑴从口袋内取出
3
个球，共有多少种取法？
⑵从口袋内取出
3
个球，使其中含有
1
个黑球，有多少种取法？
⑶从口袋内取出
3
个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

【例6】 有
12
名划船运动员，其中
3
人只会划左舷，
4
人只会划右舷，其余
5
人既会划左舷
也会划右舷．从这
12
名运动员中选出
6< br>人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多
少种不同的选法？




















1
11
【例7】 若
xA
，则
A
，就称
A
是伙伴关系集合，集合
M{1，0，，，，12，3，4}
的
32< br>x
所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．
15
B．
16
C．
2
8
D．
2
5








【例8】 从
6
名 女生，
4
名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取
5
名学生组成课外小组，
则不同的抽取方法种数为______．
2
A．
C
3
6
C
4

2
B．
C
6
C
3
4

5
C．
C
10

2
D．
A
3
6
A
4

【例9】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街
3
条，东西向大街
4
条 ，一人欲从西南角走到东
北角，路程最短的走法有多少种．







【例10】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共
11
级， 上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，
若规定从二楼到三楼用
7
步走完，则上楼梯 的方法有______种．













【例11】 亚、欧乒乓球对抗赛， 各队均有
5
名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先
由
1
号队 员比赛，负者淘汰，胜者再与负方
2
号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，
另一方获胜 ，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？












【例12】 设含有
10
个元素的集合的全部子集数为
S
，其中由
3
个元 素组成的子集数为
T
，则
T
的值为（ ）
S

A．
20151621
B． C． D．
8












【例13】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x
轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一
0)
（允许重复过此点）处，则质点不同 的运个单位，经过
5
次跳动质点落在点
(1，
动方法种数为 ．
















【例14】 从
10
名男同学，
6
名女同学中选
3
名参加体能测试，则选到的
3
名同学中既有男同
学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）







A
2
，A
3
，A
4
四点，
OB
边上有
B
1
，B2
，B
3
，B
4
，B
5
共
9
个【例15】 在
AOB
的边
OA
上有
A
1
，< br>点，连结线段
A
i
B
j
(1≤i≤4，≤1j≤5)
，如果其中两条线段不相交，则称之为一
对“和睦线”，和睦线的对数共有：（ ）
A．
60
B．
80
C．
120
D．
160

【例16】 从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？
⑴
A
、
B
必须当选；
⑵
A
、
B
都不当选；
⑶
A
、
B
不全当选；
⑷ 至少有2名女生当选；
⑸ 选出 5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育
委员由男生担任，文娱委员由女 生担任．


















【例17】 甲组有
5
名男同学，
3
名女同学；乙组有
6< br>名男同学、
2
名女同学．若从甲、乙两
组中各选出
2
名同学， 则选出的
4
人中恰有
1
名女同学的不同选法共有（ ）
A．
150
种 B．
180
种 C．
300
种 D．
345
种




【例18】 从
10
名大学毕业生中选
3
人担任村长助理 ，则甲、乙至少有
1
人入选，而丙没有入
选的不同选法的种数为（ ）
A．
85
B．
56
C．
49
D．
28





【例19】 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果 要求至少有1

名女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A．
14
B．
24
C．
28
D．
48





【例20】 要从
1 0
个人中选出
4
个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参
加 ，问共有多少种不同的选法？






【例21】 有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放
在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？








【例22】 某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生 甲只能安排到
周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（ ）
A．288种 B．72种 C．42种 D．36种




【例23】 某班有
30
名男生，
30
名女生，现要从中选出
5
人组成一个宣传小组，其中男、女
学生均不少于
2
人的选法为（ ）
21555
A．
C
30
C
2
20
C< br>46
B．
C
50
C
30
C
20

1441 3223
C．
C
5
50
C
30
C
20< br>C
30
C
20
D．
C
30
C
20
C
30
C
20






【例24】 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位
数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位，数字6不在千位．

【例25】 甲、乙、丙、丁、戊
5
名学 生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙
两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾 ，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：
“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，
5
人 的名次排列共有_______（用数字
作答）种不同情况．





【例26】 某高校外语系有
8
名奥运会志愿者，其中有
5
名男生，
3
名女生，现从中选
3
人参
加某项“好运北京 ”测试赛的翻译工作，若要求这
3
人中既有男生，又有女生，则
不同的选法共有（ ）
A．
45
种 B．
56
种 C．
90
种 D．
120
种




【例27】 用5，6， 7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数
之间的五位数的个数为（ ）
A．
120
B．
72
C．
48
D．
36






【例28】 某电视台连续播放
5
个不同的广告，其中有
3
个不同的商业广告和
2
个不同的奥运
宣传广告，要求最后播放的必须是奥 运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播
放，则不同的播放方式有（ ）
A．
120
种 B．
48
种 C．
36
种 D．
18
种





【例29】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，
要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴
黎游览，则不 同的选择方案共有_____种（用数字作答）．

【例30】 从
4
名男生和
3
名女生中选出< br>3
人，分别从事三项不同的工作，若这
3
人中至少有
1
名女生 ，则选派方案共有（ ）
A．
108
种 B．
186
种 C．
216
种 D．
270
种






【例31】 甲组有
5
名男同学，
3
名女同学 ；乙组有
6
名男同学、
2
名女同学．若从甲、乙两
组中各选出
2
名同学，则选出的
4
人中恰有
1
名女同学的不同选法共有（ ）
A．
150
种 B．
180
种 C．
300
种 D．
345
种





【例32】 将
4
名大学生分配到
3
个乡镇去 当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配
方案有_______种（用数字作答）．







【例33】 用数字
1,2 ,3,4,5
可以组成没有重复数字，并且比
20000
大的五位偶数共有（ ）
A．
48
个 B．
36
个 C．
24
个 D．
18
个




【例34】 一生产过程有
4
道工序，每道工序需要安排一人照 看．现从甲、乙、丙等
6
名工人
中安排
4
人分别照看一道工序，第一 道工序只能从甲、乙两工人中安排
1
人，第四
道工序只能从甲、丙两工人中安排
1
人，则不同的安排方案共有（ ）
A．
24
种 B．
36
种 C．
48
种 D．
72
种

【例35】 2位男生和3位女生共5位同 学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只
有两位女生相邻，则不同排法的种数为 （ ）
A．36 B．42 C． 48 D．60







【例36】 从
6
名女生，
4
名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取
5
名学生组成课外小组，
则不同的抽取方法种数为______．
2
A．
C
3
6
C
4

2
B．
C
6
C
3
4

5
C．
C
10

2
D．
A
3
6
A
4







7
名志愿者中安排
6
人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排
3
人，则【例37】
不同的安排方案共有 种（用数字作答）．










【例38】 给定集合< br>A
n
{1,2,3,,n}
，映射
f:A
n
A< br>n
满足：
,f(m)}
．
①当
i,jA
n,ij
时，
f(i)f(j)
；
②任取
mA
n
，若
m≥2
，则有
m{f(1),f(2),
则称映射
f
：
A
n
A
n
是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射
f
：
A
3
A
3
是
一个“优映射”．
表1

表2

1 2 3
i


f(i)

2 3 1

⑴
i
1 2 3 4

f(i)

3
已知表2表示的映射
f
：
A
4
A
4
是一 个优映射，请把表2补充完整（只需填出一
个满足条件的映射）；
⑵若映射
f
：
A
10
A
10
是“优映射”，且方程
f(i)i< br>的解恰有6个，则这样的“优
映射”的个数是_____．




i

1

2

3

4

f(i)

2

3

1

4






【例39】 将
7
个不同的小球全部放入编号为
2
和
3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的
个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有_____ _____种．






【例40】 将 4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子
里的球的个数不小于该盒 子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种







【例41】 一个口袋内有
4
个不同的红球，
6
个不同的白球，
⑴从中任取
4
个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
⑵若取一个红 球记
2
分，取一个白球记
1
分，从中任取
5
个球，使总分不 少于
7
分
的取法有多少种？





anN，n1)
称为凹数，如果
a
1
a
2
 a
n
，且【例42】 正整数
a
1
a
2
a
n2n2
a
n2
(
1

a
2n1
 a
2n2
a
n
，其中
a
i
{0，，12， ，9}(i1，2，)
，请回答三位凹数

．
a
1
a
2
a
3
(a
1
a
3
)
共有 个（用数字作答）





2010
年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派【例43】
四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事
前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．
36
种 B．
12
种 C．
18
种 D．
48
种



【例44】 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完 成．如果第一
棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，
则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）




【例45】 某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，有5次
出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？




【例46】 从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派
方法有（ ）
555555555
A．
C
7
种 B．
A
7
种 D．
C
7
A
10
A
5
C
10
P
5
5
种 C．
C
10
C
7
A
10





【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的
分配方案共有（ ）
444
C
12
C
8
C
4
A．
CC C
种 B．3
CCC
种 C．
CCA
种 D．种
3
A
3
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
3< br>3


【例48】 袋中装有分别编号为
1,2,3,4
的< br>4
个白球和
4
个黑球，从中取出
3
个球，则取出球的
编号互不相同的取法有（ ）
A．
24
种 B．
28
种 C．
32
种 D．
36
种．

【例49】 现有男 、女学生共
8
人，从男生中选
2
人，从女生中选
1
人分别参 加数学、物理、
化学三科竞赛，共有
90
种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）
A．男生
2
人，女生
6
人 B．男生
3
人，女生
5
人
C．男生
5
人，女生
3
人 D．男生
6
人，女生
2
人．




【例50】 将
4
个小球任意放入
3
个不同的盒子中，
⑴若
4
个小球各不相同，共有多少种放法？
⑵若要求每个盒子都不空，且
4
个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑶若要求每个盒子都不空，且
4
个小球互不相同，共有多少种不同的放法？




【例51】 将
7
个小球任意放入
4
个不同的盒子中，每个盒子都不空，
⑴若
7
个小球完全相同，共有多少种不同的放法？
⑵若
7
个小球互不相同，共有多少种不同的放法？













【例52】 四个不同的小球，每球放入编号为
1
、
2
、
3
、
4
的四个盒子中．
⑴ 随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？
⑵ 四个盒都不空的放法有多少种？
⑶ 恰有一个空盒的放法有多少种？
⑷ 恰有两个空盒的放法有多少种？
⑸ 甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？





【例53】 设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿
x
轴跳动，每次向正 方向或负方向跳
1
个
0

处（允许重复过此点）单位，若经过
5
次跳动质点落在点

3，
，则质点不同的运

动方 法共___________种；若经过
m
次跳动质点落在点

n，0

处（允许重复过此
点），其中
m≥n
，且
mn
为偶数 ，则质点不同的运动方法共有_______种．






2，3，4，5}
，选择
I
的两个非空子集
A
和
B
，要使
B
中最小的数大于【例54】 设集合
I{1，
A
中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种 B．49种 C．48种 D．47种







2，3，4}
到集合
N{1，2，3}
的映射，
g
是集合
N
到集合
M
的映【例55】
f
是集合
M{1，
射，则不同的映射
f
的个数是多少？
g
有多少？满足
f(a)f(b)f(c)f(d)8g)
有多少？ 的映射
f
有多少？满足
f[g(x)]x
的映射对
(f，











【例56】 排球单循坏赛，胜者得
1
分，负者
0
分，南方球队比北 方球队多
9
支，南方球队总
得分是北方球队的
9
倍，
设北方的球队数为
x
．
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；
⑵证明：
x6
或
x8
；
⑶证明：冠军是一支南方球队．

【例57】 已知集合
A

1,2,3

，函数
f(x)
的定义域、值域都是
A
，且 对于任意
,4
iA,f(i)i
．设
a
1
,a
2
,a
3
,a
是
1,2,3,4
的任意的一个排列，定义数 表
4
a
2
a
3
a
4

a
1

，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这
f(a)f(a)f( a)f(a)
1234

是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）
A．
216
B．
108
C．
48
D．
24











间接法（直接求解类别比较大时）
【例58】 有五张卡片 ，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任
意三张并排放在一起组成三位 数，共可组成多少个不同的三位数？








【例59】 从
0,2,4
中取一个数字，从
1,3, 5
中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则
所有不同的三位数的个数是（ ）
A．
36
B．
48
C．
52
D．
54








【例60】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥．

【例61】 设集合
S

1,2,3,,9

，集合A

a
1
,a
2
,a
3

是
S
的子集，且
a
1
,a
2
,a
3
满足
a
1
a
2
a
3
，
a
3
a
2
≤6
，那么满足条件的子集
A
的个数为（ ）
A．
78
B．
76
C．
84
D．
83






【例62】 将甲 、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、
乙两名学生不能分到同一个 班，则不同分法的种数为（ ）
A．
18
B．
24
C．
30
D．
36





【例63】 某高校外语系有
8
名奥运会志愿者，其中有
5
名男生，
3
名女生，现从中选
3
人参
加某项“好运北京”测试赛的翻译工作 ，若要求这
3
人中既有男生，又有女生，则
不同的选法共有（ ）
A．
45
种 B．
56
种 C．
90
种 D．
120
种





【例64】 对于各数互不相等的正数数组

i
1
,i
2
,,i< br>n

（
n
是不小于
2
的正整数），如果在
p q
时有
i
p
i
q
，则称“
i
p
与
i
q
”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺
序”的个数称为此 数组的“顺序数”．例如，数组

2,4,3,1

中有顺序“
2, 4
”，
“
2,3
”，其“顺序数”等于
2
．若各数互不相等 的正数数组

a
1
,a
2
,a
3
,a4
,a
5

的
“顺序数”是
4
，则

a
5
,a
4
,a
3
,a
2
,a< br>1

的“顺序数”是_________．






3，4}
，从这三个集合中各取一个元素构成
2}
，< br>C{1，
【例65】 已知集合
A{5}
，
B{1，
空 间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）
A．
33
B．
34
C．
35
D．
36

【例66】 甲、乙、丙
3
人站到共有
7
级的台阶上，若每级台阶最 多站
2
人，同一级台阶上的
人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．





【例67】 设有编号为< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
的五 个球和编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
的五个盒子，现
将这五个球放入
5
个盒子内，
⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？
⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？
⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种
投放方法？










【例68】 在排成
44
的方阵的
16
个点中，中心
4< br>个点在某一个圆内，其余
12
个点在圆外，
在
16
个点中任选
3
个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有
（ ）
A．
312
个 B．
328
个 C．
340
个 D．
264
个



【例69】 从甲、乙等
10
名同学中挑选
4
名参加某项 公益活动，要求甲、乙中至少有
1
人参加，
则不同的挑选方法共有（ ）
A．
70
种 B．
112
种 C．
140
种 D．
168
种





axby1
b)
的【例70】 若关于
x，
有解，且 所有解都是整数，则有序数对
(a，
y
的方程组

22
< br>xy17

数目为（ ）
A．
36
B．
16
C．
24
D．
32






【例71】 从
5
名男医生、
4
名女医生中选
3
名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医
生都有，则不 同的组队方案共有（ ）
A．
70
种 B．
80
种 C．
100
种 D．
140
种





【例72】 甲、乙两人从
4
门课程中各选修
2
门，则甲、乙所选的课程中至少有
1
门不相同的
选 法共有（ ）
A．
6
种 B．
12
种 C．
30
种 D．
36
种



【例73】
A

1，2，，9

，则含有五个元素，且 其中至少有两个偶数的
A
的子集个数为
_____．





【例74】 在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不 能被5整除的数共
有_______个．




【例75】 在
AOB
的
OA
边上取
4
个点，在
OB
边上取
5
个点（均除
O
点外），连同
O
点共
10
个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？




a，b，c，d，e
共
5
个人，从中选1
名组长
1
名副组长，但
a
不能当副组长，不同的选【例76】
法总数是（ ）
A．
20
B．
16
C．
10
D．
6

【例77】 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲 、
乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．
18
B．
24
C．
30
D．
36





【例78】 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．





【例79】 从
5
名奥运志愿者中选出
3
名， 分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人
承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方 案共有（ ）
A．
24
种 B．
36
种 C．
48
种 D．
60
种



【例80】 某校从
8
名教师中选派
4
名教师同时去
4个边远地区支教（每地
1
人），其中甲和乙
不同去，则不同的选派方案共有种（ ）
A．
1320
B．
288
C．
1530
D．
670




【例81】 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各
一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）