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数算]排列组合问题之 插板法应用小结！

插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）
组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1） 这n个元素必须互不相异
（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异

分 享一点个人的经验给大家，我的笔试成绩一直都是非常好的，不管是行测还是申论，
每次都是岗位第一。 其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的
时间，估计很多人能够做出大部 分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的
能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括 轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间
上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率 ，各种资料习题都要涉及多遍；
第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。我复习过程中，阅 读和背诵的能力非
常强，读一份一万字的资料，一般人可能要二十分钟，我只需要两分钟左右，读的次数 多，
记住自然快很多。包括做题也一样，读题和读材料的速度也很快，一般一份试卷，读题的时
间一般人可能要花掉二十几分钟，我统计过，我最多不超过3分钟，这样就比别人多出20几
分钟，这在 考试中是非常不得了的。QZZN有个帖子专门介绍速读的，叫做“得速读者得行
测”，我就是看了这个 才接触了速读，也因为速读，才获得了笔试的好成绩。其实，不只是
行测，速读对申论的帮助更大，特别 是那些密密麻麻的资料，看见都让人晕倒。学了速读之
后，感觉有再多的书都不怕了。而且，速读对思维 和材料组织的能力都大有提高，个人总结，
拥有这个技能，基本上成功一半，剩下的就是靠自己学多少的 问题了。平时要多训练自己一
眼看多个字的习惯，慢慢的加快速度，尽可能的培养自己这样的习惯。有条 件的朋友可以到
这里用这个软件训练速读，大概30个小时就能练出比较厉害的快速阅读的能力，这是给 我帮
助非常大的一个网站，极力的推荐给大家（给做了超链接，按住键盘左下角Ctrl键，然后
鼠标左键点击本行文字）。大家好好学习吧！最后，祝大家早日上岸。此段是纯粹个人经验
分享，可能 在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享。

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举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用

a 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
例1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入
1个小球， 则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几
种情况？
显然就是 c12 2=66
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例2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第 一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，
第三个箱子可以放空球，有几种情况？

我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个
箱子放入 8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至
少1个，几种方法？ c8 2=28
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b 添板插板法
例3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空 c12 2=66
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例4：有一类自然 数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不
能再写为止，如257，145 9等等，这类数共有几个？
因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况 即可，设前两位
为ab
显然a+b<=9 ,且a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位
我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，
但此时第二 组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，
所以一共有 c10 2=45
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例5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是 它前面三个数字之和，直至不
能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
类似的，某数的前三位为abc，a+b+c<=9,a不为0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第 二组取b个1，第三组取c个1，
由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第 10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以
一共有c11 3=165
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c 选板法
例6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？
o - o - o - o - o - o - o - o - o - o o代表10个糖，-代表9块板
10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉
这样一共就是 2^9= 512啦
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d 分类插板
例7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类
讨论
最多吃5天，最少吃1天
1： 吃1天或是5天，各一种吃法 一共2种情况
2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10
3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28

4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20
所以一共是 2+10+28+20=60 种
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e 二次插板法
例8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，
共有几种情况？
-o - o - o - o - o - o - 三个节目abc
可以用一个节目去插7个空位，再用第二个节目去插8个空位，用最后个节目去插9个空位
所以一共是 c7 1×c8 1×c9 1=504种