爱的信号-2017浙江高考作文

对排列组合的剖析及其简单应用
摘要：排列组合是一个渊远流长的古老数学问题， 在初等数学中是一段独特的
内容，一段与现实生活联系紧密的、重要的基础知识。排列组合的内容独特， 思
维新颖，方法灵活，能够培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。它也是组
合数学最初步 、最基本的知识，它的应用广泛，现已被应用到工程技术以及许多
自然科学中。
关键词：排列 组合 常规解法 数学思想
排列组合是初等数学中一段独特的内容， 是很重要的一部分基础知识，也是
一个源远流长的古老数学问题。排列组合在中国最早的文献记载见于《 周易》中
关于卦符问题的研究。唐朝和尚张遂（或一行，公元683-727年）、北宋著名科
学家沈括（公元1031-1095年）等人的棋局都数问题，贾宪三角形和宋元算学家
的垛积数，清代 汪莱等人的数理研究等，都包含了深刻的排列组合思想和方法。
沈括还在他的著作《梦溪笔谈》中给出了 棋局都数的好几种做法。
一、排列组合的定义
排列的定义及其计算公式： 从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然
数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫作 从n个不同元素中取出m个元
素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个 数，叫
作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示。
此外规定0！=1。其计算公式为：Anm= 。
组合的定义及其计算公式： 从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一
组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 ；从n个不同元素中取出m
（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的 组合
数，用符号Cnm表示。
其计算公式为：Cnm＝ 。
二、排列组合的两个计数原理
加法（分类）计数原理：完成一件事，有n类 办法。在第1类办法中有m1
种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有 mn种
不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
乘法（分步）计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1
种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有N=m1·m2…mn种不同的 方法。
三、排列与组合的区别与联系
排列与组合的共同点是从n个不同的 元素中任取m（m≤n）个元素，而不同
点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是不管元素的顺序如 何并成一组，因
此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。下面通过实例来体会排列与组合的区别。
例：判断下列问题是排列问题还是组合问题？高二年级学生会有11 人，若每
两人互通一封信，共通了多少封信？若每两人互握了一次手，共握了多少次手？
解：由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，与
顺序有关，是排列，所以共通 了A112=110(封)；由于每两人互握一次手，甲与乙
握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无 关，是组合问题，所以共需握手
C112=55（次)。由上述实例可以看出区分排列与组合的关键是“ 有序”与“无序”。
四、排列组合中的数学思想探讨及对其常规解法的剖析

1.分类思想。解排列组合问题最常用的方法是分类法，它的基本思想是:当被
研究的问题包含多种可能 的情况，导致我们不能对它们一概而论的时候，迫使我
们按可能出现的所有情况来分类讨论，得出各类相 应的结论。分类法以加法原理
为基础，加法原理给我们提供了分类后排列数或组合数的计算方法。加法原 理所
回答的是分类独立完成一件事，每类方法都能完成这件事，那么完成这件事总的
方法数是各 类方法数之和。
2.特殊化思想。求解带限制条件的排列组合问题通常有两种方法： 一是直接
计算法，把符合限制条件的排列数或组合数直接计算出来；二是间接计算法，先
算出无 限制条件的所有排列数或组合数，再从中减去全部不符合条件的排列数或
组合数。以上两种方法中都体现 了特殊化思想，即优先考虑受限制的元素或位置，
从特殊元素或特殊位置着手，抓住主要矛盾，这样就可 使问题迎刃而解。
3.化归思想。化归思想是贯穿于整个中学数学的基本思想之一， 它的基本思
想是：在解决问题的过程中，面对问题不是直接求解，而是对此进行变形转化，
进而 把它们化归为某个已经解决或容易解决的问题。在排列组合问题的解题过程
中化归思想更是应用广泛、无 处不在。如组合数公式的导出，解题中正面与反面、
对立面之间、整体与局部的相互转换等等，都是化归 思想.
4.对称思想。对称思想是数学的基本思想，在解排列组合问题时，如能恰当
地利用元素之间位置的对称关系，便可使解题过程显得异常简捷明快。
本文 首先介绍了排列组合的定义、原理及区别与联系，其次重点研究了排列
组合中的数学思想及常规解法。通 过本文的研究，为我们在学习排列组合做进一
步研究提供了参考、帮助，也为提高中学生排列组合学习效 率提供了理论依据，
并且对学生在排列组合的学习有所帮助促进，让学生不但从中体会数学思想方法、< br>提高数学能力，而且还可以与其他知识领域结合，使学生更好地把握排列组合所
蕴含的数学思想并 与实际生活相结合。