干豇豆的做法-中学物理课件

排列组合及二项式定理知识点复习
分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办 法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，
在第二类办法中有
m2
种不同的方法，„„，在第n类办法中有
m
n
种不同的方法那么完成这 件
事共有

种不同的方法
2.分步计 数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m
1
种不同的方法，做第
二步有
m
2
种不同的方法，„„，做第n步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事有

种不同的方法
（分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在
于：分类 加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件
事；分步乘法计数原 理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算
完成.）
3．排列的概念：从
n
个 元素中，任取
m
（
mn
）个元素（这里的被取元素各不相同）
按照 排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列
．．．．

4．排列数的定义：从
n
个不同元素中，任取
m
（
mn
）个元素的所有排列的个数叫做从
n
个
元素中取出
m
元素的排列数，用符号表示

m
5．排列数公式：
A
n


6 阶乘：
n!
表示正整数1到

的连乘积，叫做
n
的阶乘规定
0!

．

m
（
m,nN

,mn
）或
A
n
=
7.组合的概念：一般地，从
n
个 元素中取出
m

mn

个元素并成一组，叫做从
n
个
不同元素中取出< br>m
个元素的一个组合
8．组合数的概念：从
n
个不同元素中取出m

mn

个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个
不同元素中取出
m
个元素的组合数．用符号表示．
．．．

A
n
m
m
9．组合数公式：
C
m
或
C
n

(n,mN

,且mn)

A
m


m
n
10 组合数的性质：
C
n

m

．规定：
C
n
1
；
C
n1
＝
0m
11．二项式定理及其特例：
（1）
(ab)
（2）(1x)1C
n
x
n1
n
(nN

)
，
rr
C
n
xx
n
.
1

12．二项展开式的通项公式：
T
r1


(求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对
r
的
限制；求 有理项时要注意到指数及项数的整数性 )
13 二项式系数表（杨辉三角）
(ab)
n
展开式的二项式系数，当
n
依次取
1,2,3
„时，二项 式系数
表，表中每行两端都是
1
，除
1
以外的每一个数都等于它肩上 两个数
的和
14．二项式系数的性质：
012nr
，，，„，．可以看成 以
r
为自变量的函数
f(r)
，
C
n
C
n
C
n
C
n
(ab)
n
展开式的二项式系数是C
n
定义域是
{0,1,2,,n}
，
mnm
（1 ）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵
C
n
）．
C
n
（2）增减性与最大值：当
n
是偶数时，中间一项
C
取得 最大值；当
n
是奇数时，中间两项
C
n
2
n
n1
2
n
，
C
n1
2
取得最大值．
n
rr
C
n
x
n

C
n
1
（3）各二项式系数和：∵
(1x)
n
1C
n< br>x
012
令
x1
，则
2
n
C
n
C
n
C
n

r
C
n
< br>x
n
，
二、解题思路：
解排列组合问题，首先要弄清一件事是“ 分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，
还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确 使用分类计数原理和分步计数原理、排列
定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需 掌握以下几种常用的解题方法：
特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以 从这些特殊的东西
入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先 法.例如：
用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有______ __个.（答案：
30个）
科学分类法对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对 各种不同情况，进行科
学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计 算机和5台
组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_____ __种.
（答案：350）
插空法解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元 素，使问题得以解决例
如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答 案:3600)
捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”
2

元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐 在一起的不同坐
法是________种.（答案：240）
排除法从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
b、排列组合应用题往 往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了
问题的综合性，解答这类应用题 时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，
2，3，5，7，11}中任取3个 元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标
原点的直线有______ ___条.（答案：30）
一、两个计数原理
基础自测
1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为
A.6 B.5 C.3 D.2
x
2
y
2
2.设集合A={1，2，3，4}，m，n∈A，则方程
1
表示焦点位于x轴上的椭圆有
mn
A.6个 B.8个 C.12个 D.16个
3.右图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、 C、
D四个维 修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的
这批配件分别调整为40、45 、54、61件，但调 整只能在相邻维修点之间进
行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配 件从一个维修点调整到相
邻维修点的调动件次为n）为（ ）
A.15 B.16 C.17 D.18
4.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤 与一件上衣配成一套，则不同
的配法种数 （ ）
A.7 B.64 C.12 D.81
5.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若 只需一人参加，有
多少种不同的选法？ （2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ （3）若只
需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
题型分类 深度剖析
题型一 分类加法计数原理
【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
智能迁移1 同 学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装
有20张英语单词卡片， 这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，
有 种不同的取法.
题型二 分步乘法计数原理
【例2】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示 平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P可表示平面上多少个不同的点?
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?

3

智能迁移2 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.
（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？
（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？
题型三 两个计数原理的综合应用
【例3】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数.

智能迁移3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种 颜色，并
使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色
方法总数.
方法与技巧
1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数
的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任
何一种方 法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只
有各个步骤都完成了 才算完成这件事.
2.混合问题一般是先分类再分步.
3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
失误与防范
应用两种原理解题：
（1）分清要完成的事情是什么？
（2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？
“类”间互相独立，“步”间互相联系；
（3）有无特殊条件的限制；
（4）检验是否有重漏.
二、排列组合：
基础自测
1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没 有重复数字的三位
数，这样的三位数共有 （ ）
A.9个 B.24个 C.36个 D.54个
2.已知{1，2}

X

{1,2,3 ,4,5}，满足这个关系的集合X共有 （ ）
A.2个 B.6个 C.4个 D.8个
3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥 运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同
时参加，则不同的选派方案共有 （ ）
A.25种 B.35种 C.840种 D.820种
4.从10名大学毕业生中选3人 担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没
的不同选法的种数为 （ ）
A.85 B.56 C.49 D.28
5.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（ ）
A.36种

有入选
B.48种 C.72种 D.96种
4

题型一 排列问题
【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；
（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；
（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.

探究提高 排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要
表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类
问题在分 析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.
知能迁移1 用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数
字的四位数： （1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.
题型二 组合问题
【例2】 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形
中各有多少种选派 方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.
探究提高 解组合题时，常遇 到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法
求解以减少运算量.当限制条件较多时 ，要恰当分类，逐一满足.
知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？
（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；
（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须
由男生担任，班长必须由女生担任.
题型三 排列、组合的综合应用
【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（ 组合）或进行分组，再对取
出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均 分组”的差异及分
类的标准.
知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现对它 们进行一一测试,直至找出所有4件
次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次 才找到最后一件次品，则这
样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件 次品，则这样的不
同测试方法数是多少？
方法与技巧
1.解排列、组合混合题一般 是先选元素、后排元素、或充分利用元素的性质进行分类、分步，
再利用两个基本原理作最后处理.
2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.
3.对于选择题要谨慎处理 ，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析答案
5

的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误.
4.对于分配问题，解题的 关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺
序，避免计数的重复或遗漏.
失误与防范：要注意均匀分组与不均匀分组的区别，均匀分组不要重复计数.
基础自测 1.二项式
(a2b)
2
展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式 系数为
A.24 B.18 C.16 D.6
（ ）
（ ）
2.在二项式
(x
2
)
5
的展开式中，
x
4
含的项的系数是
A.-10 B.10 C.-5 D.5
3
1
x
3.若对于任意实数x,有
x
A.3
2
=a
0
+a
1
(x-2)+a
2
(x-2)+a
3
(x-2)
D.12

23
,则
a
2
的值为 （ ）
B.6 C.9
4.在
(x)
的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是
A.3 B.4 C.5

1
x
n
（ ）
D.6
（ ） 5.若
(12)
5
ab2
(a、b为有理数)，则a+b=
A.45 B.55 C.70 D.80
题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数
【例1】在二项式
(x
1
2
4
x
)
n
的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项
和二项式系数最大的项.


知能迁移1 已知(
3
xx
2
)
2n
的展开式的二项式系数和比
（3x-1）
的展开式的二项式系数
和大992.求
(2x)
的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.
题型二 求展开式中各项系数之和
n
1
x
2n
【例2】 已知(1-2x)
7
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+„+a
7
x
7
.求:(1)a
1
+a
2
+„+a
7
;
(2)a
1
+a
3
+a
5
+a
7
;(3)a
0
+a
2< br>+a
4
+a
6
;(4)|a
0
|+|a
1< br>|+|a
2
|+„+|a
7
|.

知能迁移2 设
(23x)
100
=a
0
+a
1
x+a
2
x

2
+„+ a
100
x
100
,
求下列各式的值：
6

(1)a
0
; (2)a
1
+a
3
+a
5
+„+a
99
;
(3)(a
0
+a
2
+a
4
+„+a
100
)
2
-(a
1
+a
3
+„+a
99
)
2
;
(4)|a
0
|+|a
1
| +|a
2
|+„+|a
100
|.

题型三 二项式定理的综合应用
【例3】（1）求证：
4×6
n
+5
n+1
-9
是20的倍数（n∈N*）；
100
（2）今天是星期一，再过3天是星期几？


知能迁移3 求证：
（1）3
（2）
3


方法与技巧
1.通项公式最常用，是解题的基础.
2.对三项或三项以上的展开问 题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常
为集项、配方、因式分解，集项时要注意 结合的合理性和简捷性.
3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制； 求有理项时要注意
到指数及项数的整数性.
4.性质1是组合数公式的再现，性质2是从函数 的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是
利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和. < br>5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二
项 展开式各项系数和的一种重要方法.
6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、 二项式系数等方面的内在联系，
涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式 系数的性质对条件进
行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意 二项式定
理的逆用.
失误与防范
1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”， “奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”
严格地区别开来.
2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.
3.通项公式是第r+1项而不是第r项.
7

n
2n+2
-8n-9能
被64整除（n∈N）；
*
*
>(n+2)·2
n-1
（
n∈N，n>2）.