排列组合学案

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2021年01月10日 13:54
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新劳动合同法全文-圣诞节橱窗

2021年1月10日发(作者:缪瑞英)


高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1
学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏
高考目标
掌握排列、组合问题的解题策略

一、知识与技能
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策 略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
三维目标
二、过程与方法 < br>通过问题的探究,体会知识的类比迁移。以已知探求未知,从特殊到一般的数
学思想方法

三、情感态度与价值观
通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验 成功的喜
悦。提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。


教学重点

重点:排列、组合综合题的解法.
教学难点
难点:正确的分类、分步.


解决措施
教学要点


一、邮信问题:把4封信投入3个邮箱有多少种方法。
解析:这类问题首先分清哪个有限制条件,以有限制条件的为主体研究。(即

指数形式,

有条件的为指数在上边无条件的在下边)如本题中的信有条件,即一 封信只
能投入一个信箱,所以,3种,3种,3种,3种。共
3
4
种。

练习:若A={a,b,c},B={1、2、3、4、5 },则从集合A到集合B一共 可以
有多少个不同的映射;从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射?
125、243
二.排序问题:
1. 优限(先)法:特殊元素优先或特殊位置优先。。
例:4名男生和4名女生排成一排,女生不排首末两端,则不同的排法数为:
先排男生
A
26
或 先排女生
A
44
4
A
66
A
4

2. 捆绑法:用于在一起相邻,整体性的问题。
例:6人站成一排,其中甲,乙、丙3人站在一起的所有排 列的种数为:
A
34
3
A
4

3. 插空法:用于元素不相邻的问题,先排无条件的,再插空。
(1)不同元素与不同元素间的间的不相邻。
例:7人站成一排,其中甲,乙、丙3人不在一 起的所有排列的种数为:(有
序)先排其余4人,产生5个空,再排3人:
A
434
A
5

(2)不同元素与相同元素间的不相邻。
例:3个人坐在8个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法有多
少种?
解析:可以看作先将5个座位放好,三个人带着各自的座位坐在中间的4
个空隙中的三个位置上有
A
3
4
=24种 (座位无序不排)(半有序)
(3)相同元素与相同元素间的不相邻。
例:一排路灯有10盏,为了节约用电,灭掉3盏, 要求不能灭两边的且灭灯
不相连,有多少种方法?(无序)
C
3
6

4.留位法:用于个别顺序固定的,先在所有位置上排无条件的,有条件还进
入即可。
例:五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为
1
5
3
2
A
5

A
5

解:方法1.留位法: 在5个位置上先排3人,其余两人站入即可。
A
3
5

方法2:因两 人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选


1
2
A
5
5

变式:若把英语单词“look ”的字母顺序写错了,则可能出现的错误共有
___11___种。
4
解析:同本例 即oo无序不排,在四个位置上排l,k即可
A
2
4
,或去序
A4
A
2

2
-1=11
练习:四名男生和三名女生排成一排,
(1)甲乙二人必须站在两端的排法有多少种?
A
25
2
A
5
=240
(2)甲乙二人不能站在两端的 排法有多少种?
A
25
5
A
5
=2400
(3)甲不站在排头,乙不站在排尾的排法有多少种?
方法1:直接。①甲排尾,
A
6
1
15
6
②甲不排尾,
A
5
A
5
A
5
共有:
A< br>615
6
+
A
1
5
A
5
A
5
=3720
方法2:间接。
A
76
5
7
-2< br>A
6
+
A
5
=3720
(4)女生不相邻的排法有多少种?(插空法)
男生先排
A
443
4
共产生5个空位,插入3个女生
A
3
5
。共有:< br>A
4
A
5
=1440

(5)甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种?
先从5人(除甲乙)中,选二人排到甲乙中间 有
A
2
2
5
种排法,再排甲乙
A
2
此4人视为一体与另3 人排列有
A
4
2
2
4
4
种。所以共有
A
5
A
2
A
4
=960种
(6)甲排在乙的右边有多少种不同的排法?(留位法)
A
5
1
7
7

2
A
7
=2520

三、排数字:
例:用0、1、2、3、4、5 这六个数字:
(1)能组成多少个无重复数字的四位奇数。 末位
A
1
12
3
,首位
A
4
,中间
A
4

故共在:
A
1
12
3
A
4
A
4

(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数。
① 0在末位
A
3
1
A
12
5
。② 0不在末位:先排 末位
A
2
,再首位
4
,中间
A
4
。即A
112
2
A
4
A
4

共有:< br>A
3
A
112
5
+
2
A
4
A
4
=156
(3)能组成多少个无重复数字的四位数字,且个位小于十位数字。
① 没0 :先排后两位且不排列
C
22

C
22
5
,再排前两位
A
3

5
A
3
=60
② 有0:在末位时,
A
3
=120。不在末位时,0只能在第二位,
C
21
5
5
A
3
=30
共有
C
2
A
2
3
21
53
+
A
5
+
C
5
A
3
=150
(4)能组成多少个无重复且大于345012的数字。(排大小:从高位到低位逐
位排)26 9
练习:用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的
正整数. 114
解:分两类: 第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意 排列,有
4A
4
4
96
个,
第二类,万位为1,则千 位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有
3A
3
3
18
个;
共有18+96=114个.
四、 隔(档)板法:处理无序分组问题.要点:元素相同。有两类,空与不

把n个小球放入不同编号的m个盒子中,
(1)每个盒子至少放一个有多少种放法。(2)盒子容量不限有多少种放法。
解析:(1) 每个盒子至少放一个直接用档板法:把n个小球排成一排,中
间产生n-1个空,插入m-1个档板,( 分成m份)放入盒中即可。故
C
m1
n1

例1:10个相同 的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中,每盒中至少有1
个,有多少种放法。
解:把10个小球排成一排,中间产生9个空,插入两个档板,(分成3份) 即
可,故有
C
2
9
=36
(2)盒子容量不限,即盒子可 以有空的,直接插空不会有空的,若讨论很麻
烦,故此题的处理方法是:将n个球和m-1个档板(分成 m份用m-1


个档板)全放在一起。共需要n+m-1个位置,在这些位置上任意放n个
球(或m-1个档板)有
C
n
m1
nm1
种(或C
nm1
)。这样可以保证隔板在一
起,即可空盒。
例2:10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中,有多少种放法。
(可空)
解:10个球和2个板共用12个位置,看板
C
2
12

变式1:把10个苹果分给3个人,每人至少两个苹果有多少种分法。
解析:1
0< br>转化成例1:先每人分1个,把余下的7个苹果再分给3人,隔
板法,产生6个空插入2个板,< br>C
2
6
=15种。2
0
转化成例2:先每人分
两个再 用例2方法
C
2
6

变式2:把10个相同的小球放入编号为1、2 、3的三个盒子中,要求每个
盒子放球的个数不小于基编号,有多少种放法。
解析:1
0
转化成例1:先放球,1号不放,2号放1个,3号放2个,变成
例1,即变成每盒至少1 个.
C
2
6
=15。
2
0
转化成例2:1号盒 放1个,2号盒放2个,3号盒入3个,利用例2的
方法,再
C
2
6

变式3:A={a
1


a
2

……a
60
},B={b
1
,b
2
…… b
25
},每个象都有原象,
且f(
a1
)≤f(a
2
)≤……≤f(a
60
),这样的映射有多少个 ?
解:此题相当于把60个小球放入25个盒子中(不空)则有
C
24
59
种。
五.能人问题:
方法:此类问题以哪类人分类都可,但主要是分类的标准一定 要明确,可以
按其中一类人的参与情况分类,也可以以能人参加其中一项为标准分类;也
可按能 人的参与情况分类,能人不参加;能人一人参加;能人两人参加,一
般哪个情况少以哪个分类。
例. 车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,
又能当 钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,
问有多少种选派方法?
解析: 按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有
C
5
4C
6
4
75
种; 5名钳工有3名被选上的方法有
C
5
3
C
1
2
C
5
4
100
种; 5名钳工有2名被选
上的方法有
C
5
2
C
2
2C
4
4
10
种.共有75+100+10=185种.
练习 :有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即
会左浆,又会右
浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?
解:5名左浆手有 4名被选上的方法有
C
5
4
C
6
4
75
种;
5名左浆手有3名被选上的方法有
C
5
3
C
12
C
5
4
100
种;
5名左浆手有2名被选上的 方法有
C
5
2
C
2
2
C
4
410
种. 共有75+100+10=185种.
六、分组问题、分配问题:
它们的主体区别:分组问题没有序,分配问题有序
1、平均分组配问题:对于km个不同的元素分成k 组,每组m个,则
不同的分配种数是< br>C
mm
m
km
C
(k1)m

C
m
(有序)平均分组的种数是
C
m
C
m
km
C
m
(k1)mm
A
k
(无序)
k
2、混合分 配问题:是指在分配中既含有平均分配的情况,又含有不平均分配
的成分,注意平均分成k组的部分要除 以
A
k
k
,只后再排列。
如:10个人分成三组,人数分别为2、 4、4,参加3种不同劳动,分法种数

C
244
10
C
8
C
4
A
2
A
3
3

2
例:有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方法。
(1)分成1本,2本,3本三组。
(2)分给甲,乙,丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本。
(3)分成每组都是2本的三个组。
(4)分给甲,乙,丙三人,每人2本。
解析 :(1)分三步,先选一本有
C
12
6
种选法,再从余下的5本书中选两本< br>C
5

选法,最后余下的三本全选有
C
31
C
23
3
种选法。故共有:
C
65
C
3
=60种( 分堆)
(2)由于甲,乙,丙是不同的三个人,在(1)的基础上再分配。所以共有
C
1233
6
C
5
C
3
A
3
=360种


(3)先
C
2
C
22
6
4
C
2
,但这里面出现了重复,(其实这就已经分配了,有序)
要想分组无序就要除以< br>A
3
C
2
6
C
2
4
C
2< br>2
3
,所以有
A
3
=15种 (可用4个元素
3
举例好说一些)
22
(4)在(3)的基础上再分配即可 ,共有
CC
2
6
C
42
3
A
3
A
3
=90或直接
C
2
22
6
C
4
C
2
3
=90
练习1:3名医生和6名护士,被分配到3所学校为学生体检 ,每校分配1
名医生和2名护士,不同的分配方法共有_______种。
A
3
C
2
C
2
C
2
36
42
=540 练习2:4名医生和6名护士组成一个医疗小组,若把他们分配到4所学校去
为学生体检,每所学校 需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多
少种(答:37440);
解析:先排4名医生排列数为
A
4
4

再排护士,由题知 有两种情况:①分配人数为3、1、1、1。其中3人
C
3
6

其余 三个
1人可平均分组也可不分直接排
A
4
3
4
4
所以
C
6
A
4
=480(分组
C
3
C1
C
1
C
1
6321
A
3
A
4
4

3
②分配人数为2、2、1、1的,2、2行平均分组
C
2
C
2
64
A
2
其余两个1人可直
2< br>C
11
22
C
22
接排(或
2
C
1
C
6
C
46
C
C
11
A
2
),故有
A
4
(或
4
2
C
1
4
4
=1080
2
A
2
2
A
2
.
2
.
A
4
=1080)。
2
A
2
所以护 士分配方法有
C
3
6
A
4
C
2
C
2
4
+
64
A
2
A
4
4
=156 0
2
所以共有排列方法:(
C
3
A
4
C
22
6
C
4
4
6
4
+
A
2
A
4

A
4
4
=37440
2
七、环状排列问题:
m
从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数 有
A
n
m
种;特殊的n个
A
n
不同元素的环状全排 列的种数为
n
n
=(n-1)!(由于环状有重复一样的)
例:由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个?
分析:由a、b、c、d组成的全 排列有
A
4
4
=24个。其中4个全排列abcd bcda
cdab dabc在环状排列中只算作1个排列,故由4个不同元素组成的环状排
列有:4!
4
=3!=6种
八.涂色问题:
1、区域涂色问题:
根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。
例1.用5种不同 的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂
一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂 色方
法有多少种?

分析:先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色


有4种方 法, ②
接着给③号涂色方法有3种,由于④号与①、②不
相邻,
因此④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有
5434240

练习: 用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域(如图),要求相邻两个区域
颜色不同,个区 域只涂一种颜色,则一共有多
1
少种涂法。
4 3 2
解析:注意讨论2与4的同色与不同色两种情况。
84种
(1)2与4同色时,1有4种,2有3种,3有3种4与2同 色
不排,所以,4*3*3=36
(2)2与4不同色时,1有4种,2有3种,3 有2种,4有2种。4*3*2*2=
48
故共有:36+48=84种



2、点的涂色问题:
方法有:(1)可根据 共用了多少种颜色分类讨论,(2)根据相对顶点是否
同色分类讨论,(3)将空间问题平面化,转化成 区域涂色问题。
例、将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种颜色,并使同一 条棱的
两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数
是多少?
解法一:设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有


54360
种染色方法。(讨论c)
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,影响到D点颜色的选取方法数,
故分类讨论:
①C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同
色,有3种选择;故:5× 4×3×3=180 ② C与A不同色时,C有2种选
择的颜色,D也有2种颜色可供选择,故:5 ×4×3×2×2=240。所以共有
180+240=420种方法。
解法二:(麻烦,用第一种方法好)满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三 种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的
四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点, 此时只能A与C、B与D分
12
别同色,故有
C
5
A
460
种方法。
(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ,
再从余下的四种颜色中任选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,
2
故有
A
4
种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C,而D与C,
1211
而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有
C
5
A
4
C
2
C
2
240
种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色,有
A
5
120
种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

课堂
小结


孙俪风吹麦浪-科学发现


小班优秀教案-楚辞取名


感恩节几月几日-我难忘的一件事作文


安全教育的黑板报-关于大自然的古诗


国家专项计划-赞美老师文章


山西一日游-品质年终总结


种植业什么最赚钱-描写夏天的词语


当世界年纪还小的时候-成语疯狂猜