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高二数学集体备课学案与教学设计

章节标题 选修2-3 排列组合专题 计划学时 1
学案作者 杨得生 学案审核 张爱敏
高考目标
掌握排列、组合问题的解题策略

一、知识与技能
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策 略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.
三维目标
二、过程与方法 < br>通过问题的探究，体会知识的类比迁移。以已知探求未知，从特殊到一般的数
学思想方法

三、情感态度与价值观
通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验 成功的喜
悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。


教学重点

重点：排列、组合综合题的解法．
教学难点
难点：正确的分类、分步．

及
解决措施
教学要点

经
一、邮信问题：把4封信投入3个邮箱有多少种方法。
解析：这类问题首先分清哪个有限制条件，以有限制条件的为主体研究。（即
典
指数形式，
例
有条件的为指数在上边无条件的在下边）如本题中的信有条件，即一 封信只
能投入一个信箱，所以，3种，3种，3种，3种。共
3
4
种。
题
练习：若A=｛a,b,c｝,B={1、2、3、4、5 }，则从集合A到集合B一共 可以
有多少个不同的映射；从集合B到集合A一共可以有多少个不同的映射？
125、243
二．排序问题：
1. 优限(先)法：特殊元素优先或特殊位置优先。。
例：4名男生和4名女生排成一排，女生不排首末两端，则不同的排法数为：
先排男生
A
26
或 先排女生
A
44
4
A
66
A
4

2. 捆绑法：用于在一起相邻，整体性的问题。
例：6人站成一排，其中甲，乙、丙3人站在一起的所有排 列的种数为：
A
34
3
A
4

3. 插空法：用于元素不相邻的问题，先排无条件的，再插空。
（1）不同元素与不同元素间的间的不相邻。
例：7人站成一排，其中甲，乙、丙3人不在一 起的所有排列的种数为：（有
序）先排其余4人，产生5个空，再排3人：
A
434
A
5

（2）不同元素与相同元素间的不相邻。
例：3个人坐在8个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法有多
少种？
解析：可以看作先将5个座位放好，三个人带着各自的座位坐在中间的4
个空隙中的三个位置上有
A
3
4
＝24种 （座位无序不排）（半有序）
（3）相同元素与相同元素间的不相邻。
例:一排路灯有10盏，为了节约用电，灭掉3盏， 要求不能灭两边的且灭灯
不相连，有多少种方法？（无序）
C
3
6

4．留位法：用于个别顺序固定的，先在所有位置上排无条件的，有条件还进
入即可。
例：五名学生站成一排,其中甲必须站在乙的左边(可以不相邻)的站法种数为
1
5
3
2
A
5
或
A
5

解:方法1.留位法： 在5个位置上先排3人，其余两人站入即可。
A
3
5

方法2：因两 人可交换顺序,则有2种排法,顺序固定时,则排法少了一半.故选

1
2
A
5
5
。
变式：若把英语单词“look ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有
___11___种。
4
解析：同本例 即oo无序不排，在四个位置上排l,k即可
A
2
4
，或去序
A4
A
2
都
2
－1＝11
练习：四名男生和三名女生排成一排，
（1）甲乙二人必须站在两端的排法有多少种？
A
25
2
A
5
=240
（2）甲乙二人不能站在两端的 排法有多少种？
A
25
5
A
5
=2400
（3）甲不站在排头，乙不站在排尾的排法有多少种？
方法1：直接。①甲排尾，
A
6
1
15
6
②甲不排尾，
A
5
A
5
A
5
共有：
A< br>615
6
+
A
1
5
A
5
A
5
=3720
方法2：间接。
A
76
5
7
-2< br>A
6
+
A
5
=3720
（4）女生不相邻的排法有多少种？（插空法）
男生先排
A
443
4
共产生5个空位，插入3个女生
A
3
5
。共有：< br>A
4
A
5
=1440
种
（5）甲乙两人中间间隔两人的排法有多少种？
先从5人（除甲乙）中，选二人排到甲乙中间 有
A
2
2
5
种排法，再排甲乙
A
2
，此4人视为一体与另3 人排列有
A
4
2
2
4
4
种。所以共有
A
5
A
2
A
4
=960种
（6）甲排在乙的右边有多少种不同的排法？（留位法）
A
5
1
7
7
或
2
A
7
=2520
种
三、排数字：
例：用0、1、2、3、4、5 这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数。 末位
A
1
12
3
，首位
A
4
，中间
A
4
。
故共在：
A
1
12
3
A
4
A
4

（2）能组成多少个无重复数字的四位偶数。
① 0在末位
A
3
1
A
12
5
。② 0不在末位：先排 末位
A
2
，再首位
4
，中间
A
4
。即A
112
2
A
4
A
4

共有：< br>A
3
A
112
5
+
2
A
4
A
4
＝156
（3）能组成多少个无重复数字的四位数字，且个位小于十位数字。
① 没0 ：先排后两位且不排列
C
22
故
C
22
5
，再排前两位
A
3

5
A
3
=60
② 有0：在末位时，
A
3
=120。不在末位时，0只能在第二位，
C
21
5
5
A
3
=30
共有
C
2
A
2
3
21
53
+
A
5
+
C
5
A
3
＝150
（4）能组成多少个无重复且大于345012的数字。（排大小：从高位到低位逐
位排）26 9
练习：用数字1,2,3,4,5可以组成_________个没有重复数字且比13000大的
正整数. 114
解:分两类: 第一类,万位比1大,有4种不同的选法,其余任意 排列,有
4A
4
4
96
个,
第二类，万位为1,则千 位有3,4,5三种选法,其余任意排列,有
3A
3
3
18
个;
共有18+96=114个.
四、 隔（档）板法：处理无序分组问题．要点：元素相同。有两类，空与不
空
把n个小球放入不同编号的m个盒子中,
（1）每个盒子至少放一个有多少种放法。（2）盒子容量不限有多少种放法。
解析：（1） 每个盒子至少放一个直接用档板法：把n个小球排成一排，中
间产生n－1个空，插入m-1个档板，( 分成m份)放入盒中即可。故
C
m1
n1
种
例1：10个相同 的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每盒中至少有1
个，有多少种放法。
解：把10个小球排成一排，中间产生9个空，插入两个档板，(分成3份) 即
可，故有
C
2
9
＝36
（2）盒子容量不限，即盒子可 以有空的，直接插空不会有空的，若讨论很麻
烦，故此题的处理方法是：将n个球和m－1个档板（分成 m份用m－1

个档板）全放在一起。共需要n+m－1个位置，在这些位置上任意放n个
球（或m－1个档板）有
C
n
m1
nm1
种（或C
nm1
）。这样可以保证隔板在一
起，即可空盒。
例2：10个相同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，有多少种放法。
（可空）
解：10个球和2个板共用12个位置，看板
C
2
12

变式1：把10个苹果分给3个人，每人至少两个苹果有多少种分法。
解析：1
0< br>转化成例1：先每人分1个，把余下的7个苹果再分给3人，隔
板法，产生6个空插入2个板，< br>C
2
6
＝15种。2
0
转化成例2：先每人分
两个再 用例2方法
C
2
6

变式2：把10个相同的小球放入编号为1、2 、3的三个盒子中，要求每个
盒子放球的个数不小于基编号，有多少种放法。
解析：1
0
转化成例1：先放球，1号不放，2号放1个，3号放2个，变成
例1，即变成每盒至少1 个.
C
2
6
＝15。
2
0
转化成例2：1号盒 放1个，2号盒放2个，3号盒入3个，利用例2的
方法，再
C
2
6

变式3：A=｛a
1
，

a
2
，
……a
60
｝，B=｛b
1
，b
2
…… b
25
｝，每个象都有原象，
且f(
a1
)≤f(a
2
)≤……≤f(a
60
),这样的映射有多少个 ？
解：此题相当于把60个小球放入25个盒子中（不空）则有
C
24
59
种。
五．能人问题：
方法：此类问题以哪类人分类都可，但主要是分类的标准一定 要明确，可以
按其中一类人的参与情况分类，也可以以能人参加其中一项为标准分类；也
可按能 人的参与情况分类，能人不参加；能人一人参加；能人两人参加，一
般哪个情况少以哪个分类。
例. 车间有11名工人,其中5名是钳工,4名是车工,另外2名老师傅即能当车工,
又能当 钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机床,
问有多少种选派方法?
解析: 按钳工的参与情况分类。5名钳工有4名被选上的方法有
C
5
4C
6
4
75
种; 5名钳工有3名被选上的方法有
C
5
3
C
1
2
C
5
4
100
种; 5名钳工有2名被选
上的方法有
C
5
2
C
2
2C
4
4
10
种.共有75+100+10=185种.
练习 ：有11名划船运动员,其中有5人会左浆,4人会右浆,还有甲、乙两人即
会左浆,又会右
浆,现要派出4名左浆手,4名右浆手,组成划船队,有多少种选派方案?
解:5名左浆手有 4名被选上的方法有
C
5
4
C
6
4
75
种;
5名左浆手有3名被选上的方法有
C
5
3
C
12
C
5
4
100
种;
5名左浆手有2名被选上的 方法有
C
5
2
C
2
2
C
4
410
种. 共有75+100+10=185种.
六、分组问题、分配问题：
它们的主体区别：分组问题没有序，分配问题有序
1、平均分组配问题：对于km个不同的元素分成k 组，每组m个，则
不同的分配种数是< br>C
mm
m
km
C
(k1)m
…
C
m
（有序）平均分组的种数是
C
m
C
m
km
C
m
(k1)mm
A
k
（无序）
k
2、混合分 配问题：是指在分配中既含有平均分配的情况，又含有不平均分配
的成分，注意平均分成k组的部分要除 以
A
k
k
，只后再排列。
如：10个人分成三组，人数分别为2、 4、4，参加3种不同劳动，分法种数
为
C
244
10
C
8
C
4
A
2
A
3
3

2
例：有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法。
（1）分成1本，2本，3本三组。
（2）分给甲，乙，丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本。
（3）分成每组都是2本的三个组。
（4）分给甲，乙，丙三人，每人2本。
解析 ：（1）分三步，先选一本有
C
12
6
种选法，再从余下的5本书中选两本< br>C
5
种
选法，最后余下的三本全选有
C
31
C
23
3
种选法。故共有：
C
65
C
3
＝60种（ 分堆）
（2）由于甲，乙，丙是不同的三个人，在（1）的基础上再分配。所以共有
C
1233
6
C
5
C
3
A
3
＝360种

（3）先
C
2
C
22
6
4
C
2
，但这里面出现了重复，（其实这就已经分配了，有序）
要想分组无序就要除以< br>A
3
C
2
6
C
2
4
C
2< br>2
3
，所以有
A
3
＝15种 （可用4个元素
3
举例好说一些）
22
（4）在（3）的基础上再分配即可 ，共有
CC
2
6
C
42
3
A
3
A
3
＝90或直接
C
2
22
6
C
4
C
2
3
＝90
练习1：3名医生和6名护士，被分配到3所学校为学生体检 ，每校分配1
名医生和2名护士，不同的分配方法共有_______种。
A
3
C
2
C
2
C
2
36
42
=540 练习2：4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去
为学生体检，每所学校 需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有多
少种（答：37440）；
解析：先排4名医生排列数为
A
4
4
。
再排护士，由题知 有两种情况：①分配人数为3、1、1、1。其中3人
C
3
6
，
其余 三个
1人可平均分组也可不分直接排
A
4
3
4
4
所以
C
6
A
4
=480（分组
C
3
C1
C
1
C
1
6321
A
3
A
4
4
）
3
②分配人数为2、2、1、1的，2、2行平均分组
C
2
C
2
64
A
2
其余两个1人可直
2< br>C
11
22
C
22
接排（或
2
C
1
C
6
C
46
C
C
11
A
2
），故有
A
4
（或
4
2
C
1
4
4
=1080
2
A
2
2
A
2
.
2
.
A
4
=1080）。
2
A
2
所以护 士分配方法有
C
3
6
A
4
C
2
C
2
4
+
64
A
2
A
4
4
=156 0
2
所以共有排列方法：（
C
3
A
4
C
22
6
C
4
4
6
4
+
A
2
A
4
）
A
4
4
=37440
2
七、环状排列问题：
m
从n个不同元素中取出m个元素的环状排列的种数 有
A
n
m
种；特殊的n个
A
n
不同元素的环状全排 列的种数为
n
n
＝（n-1）!(由于环状有重复一样的)
例：由a、b、c、d四个元素组成的环状排列有多少个？
分析：由a、b、c、d组成的全 排列有
A
4
4
＝24个。其中4个全排列abcd bcda
cdab dabc在环状排列中只算作1个排列，故由4个不同元素组成的环状排
列有：4！
4
＝3！＝6种
八．涂色问题：
1、区域涂色问题：
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1.用5种不同 的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂
一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂 色方
法有多少种？
①
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色
③
④
有4种方 法， ②
接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不
相邻，
因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
5434240

练习： 用4种不同的颜色去涂矩形的四个区域（如图），要求相邻两个区域
颜色不同，个区 域只涂一种颜色，则一共有多
1
少种涂法。
4 3 2
解析：注意讨论2与4的同色与不同色两种情况。
84种
（1）2与4同色时，1有4种，2有3种，3有3种4与2同 色
不排，所以，4*3*3＝36
（2）2与4不同色时，1有4种，2有3种，3 有2种，4有2种。4*3*2*2＝
48
故共有：36+48＝84种

2、点的涂色问题：
方法有：（1）可根据 共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否
同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成 区域涂色问题。
例、将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一 条棱的
两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数
是多少？
解法一：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有


54360
种染色方法。（讨论c）
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，影响到D点颜色的选取方法数，
故分类讨论：
①C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同
色，有3种选择；故：5× 4×3×3=180 ② C与A不同色时，C有2种选
择的颜色，D也有2种颜色可供选择，故：5 ×4×3×2×2=240。所以共有
180+240=420种方法。
解法二：（麻烦，用第一种方法好）满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三 种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的
四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点， 此时只能A与C、B与D分
12
别同色，故有
C
5
A
460
种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S ，
再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，
2
故有
A
4
种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，
1211
而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
C
5
A
4
C
2
C
2
240
种方法。
5
（3）若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。

课堂
小结