笔的种类-闻一多的说和做

排列组合

知识要点
1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；
3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会分析与数字有关的计数 问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和
逻辑思维能力；
通过本讲的学习， 对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联
系和区别，并掌握一些排列组合技巧 ，如捆绑法、挡板法等。
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些 事物排在一起，构成一列，计算有
多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有 关，而且与各事物所
在的先后顺序有关。
一般地，从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同， 指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺
序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们 是不同的排列；如果两个排列中，虽然
元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
mn
)个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．

根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个步骤完成：
步骤
1
：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的(
n1
)个元素中任取一个元素排 在第二位，有(
n1
)种方法；
……
步骤
m
：从剩下 的
[n(m1)]
个元素中任取一个元素排在第
m
个位置，有
n （m1）nm1
(种)方法；
由乘法原理，从
n
个不同元素中取 出
m
个元素的排列数是
nn1）（.n2）（Lnm1）
，即
P
n
m
（
，这里，
mn
，且等
n（n1 ）（n2）L（nm1）
号右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，共有
m
个因数相乘。
二、排列数
n1）（n2）L321
． 一般地，对于
mn
的情况， 排列数公式变为
P
n
n
n（
表示从
n
个不同元素 中取
n
个元素排成一列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取
出 的排列，叫做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n
开始，后面每一个因数 比前一个因
数小
1
，一直乘到
1
的乘积，记为
n!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
n!
，其中
n!n（n1）（n2）LL321 　
。

三、组合问题
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把 参赛队分为几个组，从全班同学
中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的 组合问题，这里，
我们将着重研究有多少种分组方法的问题。
一般地，从
n
个不同元素中取出
m
个(
mn
)元素组成一组不计较组内各元素的次序，< br>叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两
个组合中的元素完全 相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合
中的元素不完全相同时，才是不同的 组合．
从
n
个不同元素中取出
m
个元素(
mn
)的所有组合的个数，叫做从
n
个不同元素中取
出
m
个不同元素的组 合数．记作
C
n
m
。
一般地，求从
n
个不同元素 中取出的
m
个元素的排列数
P
m
n
可分成以下两步： 第一步：从
n
个不同元素中取出
m
个元素组成一组，共有
Cn
m
种方法；
第二步：将每一个组合中的
m
个元素进行全 排列，共有
P
m
m
种排法．

根据乘法原理，得到
mm
P
n
m
C
n
P
m
．因此 ，组合数
P
n
m
n（n1）（n2)
L
（n m1）
C
m

．
P
m
m（m1）（m 2）
L
321
m
n
这个公式就是组合数公式．
四、组合数的重要性质
mnm
C
n
一般地，组合数有下面的重 要性质：
C
n
(
mn
)
这个公式的直观意义是：
C
n
m
表示从
n
个元素中取出
m
个元素组成一组 的所有分组方
nm
法．
C
n
表示从
n
个元素中取 出(
nm
)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从
n
个元素
中 选出
m
个元素的分组方法恰是从
n
个元素中选
m
个元素剩下 的(
nm
)个元素的分组方法。
例如，从
5
人中选
3< br>人开会的方法和从
5
人中选出
2
人不去开会的方法是一样多的，即3
C
5
C
5
2
。
0
1
。 规定
C
n
n
1
，
C
n


排列组合问题
模块一：排列问题及其应用
【例 1】 （难度等级 ※）计算：⑴
P
5
2
；⑵
P
7
4
P
7
3
。





2
【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴
P
3
2
；⑵
P
6
3
P
10
。




3253
【巩固】 （难度等级 ※）计算：⑴
P
14
P
14
； ⑵
3P
6
P
3
。

【例 2】 （难度等级 ※）有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表
示多少种不同的信号？




【巩固】 （难度等级 ※）有红、黄、蓝三种信号旗，把 任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，
问共可以组成多少种不同的信号？




【巩固】 （难度等级 ※）在航海中，船舰常以“旗语”相互联系， 即利用不同颜色的旗子发送出各种不
同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升 起表示一定的信号，问这
样总共可以表示出多少种不同的信号？




【例 3】 （难度等级 ※※）用1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？




【巩固】 （难度等级 ※※）由数字
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
可以组成多少没有重复 数字的三位数？




【例 4】 （难度等级 ※※）用0
、
1
、
2
、
3
、
4
可以组 成多少个没重复数字的三位数？




【例 5】 （难度等级 ※※）用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？




【巩固】 （难度等级 ※※）用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取 三张卡片组成三位数，一共可
以组成多少个不同的偶数？

【例 6】 （难度等级※※）由
0
，
2
，
5
，
6
，
7
，
8
组成无重复 数字的数，四位数有多少个？




【例 7】 （难度等级※ ※）用
1
、
2
、
3
、
4
、
5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的
倍数？




【例 8】 （难度等级※※）用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比
2 0000
大且百位数字不是
3
的无
重复数字的五位数？




【巩固】 （难度等级※※）用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将 这些四位数按从小到大
的顺序排列，则5687是第几个数？




【例 9】 （难度等级 ※※※）由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自 然数，按照从小到
大排列。2008排在 个。




【例 10】 （难度等级 ※※※）千位数字与十位数字之差为2（大减小)，且不含重复数字的四位数有多
少个?




【例 11】 （难度等级※※）某管理员忘记了自己小保险柜的密码 数字，只记得是由四个非
0
数码组成，
且四个数码之和是
9
，那么确 保打开保险柜至少要试几次？




【例 12】 （难度等级 ※※）幼儿园里的
6
名小朋友去坐
3
把不同的椅子，有多少种坐法？

【巩固】 （难度等 级※※）10个人走进只有
6
辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一
个人，那么共有多少种不同的坐法？




【巩固】 （难度等级※※）幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少种不同
的坐法？




【例 13】 （难度等级 ※※）有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能
有多少种拍照情况？ (照相时3人站成一排)




【巩固】 （难度等级 ※※）4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？




【巩固】 （难度等级 ※※）9名同学站成两排照相，前排4人，后排5人，共有多少种站法？





【巩固】 （难度等级 ※※）5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？





【巩固】 （难度等级 ※※）丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福” ，
5
人并排站成一排，奶奶
要站在正中间，有多少种不同的站法？




【例 14】 （难度等级 ※※）停车站划出一排
12个停车位置，今有
8
辆不同的车需要停放，若要求剩余的
4
个空车位连在 一起，一共有多少种不同的停车方案?

【例 15】 （难度等级 ※※）一个篮球队有五名队员
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，由于某种原因，
E
不能做中
锋，而其余
4
个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同 的站位方法？





【例 16】 （难度等级 ※ ※※）将A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须
相邻．请问共有多 少种不同的排列方法？（2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛）





【例 17】 （难度等级 ※※※）6名小朋友
A、B、C、D、E、 F
站成一排，若
A，B
两人必须相邻，一共
有多少种不同的站法？若
A、B
两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？





【巩固】 （难度等级 ※※）四年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2个舞蹈、 2个演唱和3
个小品组成。请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？





【例 18】 （难度等级 ※※）两对三胞胎 喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹
相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的 坐法)，那么共有多少种不同的坐法？




【巩固】 （难度等级 ※※※）五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一
排表演节 目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（ ）种不同的排法。





【例 19】 （难度等级 ※※※）学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生。某次比赛后他们站成一排照相，
请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？

（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？




【例 20】 （难度等级 ※※）某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队 员有
4
人，全组同
学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起， 这样的排法有多少种？




【例 21】 （难度等级 ※※）5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有 种不同
的排法．




【巩固】 （难度等级 ※※※）8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种
坐法？




【例 22】 （难度等级 ※※※）a，b，c，d，e五个人排成一排，a与b不相邻，共有多少种不同的排法？





【巩固】 （难度等级 ※※※）4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子中，恰有两个空盒的放
法共有几种？





【例 23】 （难度等级 ※※）一列往返于 北京和上海方向的列车全程停靠
14
个车站(包括北京和上海)，
这条铁路线共需要多 少种不同的车票。




【例 24】 （难度等级 ※※）班 集体中选出了5名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣
传委员和体育委员．问：有多少 种不同的分工方式？

【例 25】 （难度等级 ※※）小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不
同的吃法?




【例 26】 （难度等级 ※※）一种电子表在6时24 分30秒时的显示为6:24
30
，那么从8时到9时这段
时间里，此表的5个数字都 不相同的时刻一共有多少个?




【例 27】 （难度等级 ※※※）一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位
数的6个数字重新排列 ，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?




【例 28】 （难度等级 ※※※）已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了
第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿
到冠军． ”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同
的情况？




【例 29】 （难度等级 ※※※）书架上有< br>3
本故事书，
2
本作文选和
1
本漫画书，全部竖起来排成一排 。
⑴ 如果同类的书不分开，一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？





【例 30】 （难度等级 ※※※）
4
名男生，
5
名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
⑴ 甲不在中间也不在两端；
⑵ 甲、乙两人必须排在两端；
⑶ 男、女生分别排在一起；
⑷ 男女相间．

【巩固】 （难度等级 ※※）一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、 紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把
灯串成一串，有多少种不同的串法？
⑴ 把
7
盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．
⑵ 串起其中
4
盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．




【巩固】 （难度等级 ※※）某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其 中某动画片和
某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的 播
放节目方案？




【例 31】 （难度等级 ※ ※※）从
6
名运动员中选出
4
人参加
4100
接力赛．试 求满足下列条件的参赛方
案各有多少种：
⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒。




【例 32】 （难度等级 ※※※）一台晚会上有
6
个演唱节目和
4
个舞蹈节目．求：
⑴ 当
4
个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？
⑵ 当 要求每
2
个舞蹈节目之间至少安排
1
个演唱节目时，一共有多少不同的安排节 目的顺序？




【巩固】 （难度等级 ※※）由
4
个不同的独唱节目和
3
个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个
合唱节 目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？





【例 33】 （难度等级 ※※※）光明小学甲、乙、丙三个班组织 了一次文艺晚会，共演出十四个节目．如
果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同 情况共有多少种？




【例 34】 （难度等级 ※※※） 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，
问一共有多少种站法？

【巩固】 （难度等级 ※※※）甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，
问一共 有多少种站法？




【例 35】 （难度等级 ※※※）甲 、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙
不能站在队伍右半边，丙不能站在 队伍两端，问一共有多少种站法？




【例 36】 （难度等级 ※※※）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最
靠左的三 个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种
站法？




【例 37】 （难度等级 ※※※）小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.
（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.
（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.
（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。







【例 38】 （难度等级 ※※※）用
2，3，4，5
排成四位数：
（1）共有多少个四位数？
（2）无重复数字的四位数有多少个？
（3）无重复数字的四位偶数有多少个？
（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？
（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？
（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？

【巩固】 （难度等级 ※※※）用数字
0，1，2，3，4，5
组成没有重复数字的正整数．
⑴能组成多少个五位数？
⑵能组成多少个正整数？
⑶能组成多少个六位奇数？
⑷能组成我少个能被
25
整除的四位数？
⑸能组成多少个比
201

345
大的数？
⑹求三位数的和。







【例 39】 （难度等级 ※※※）由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数．
⑴四位数有多少个？
⑵四位数奇数有多少个？
⑶四位数偶数有多少个？
⑷整数有多少个？
⑸是5的倍数的三位数有多少个？
⑹是25的倍数的四位数有多少个？
⑺大于5860的四位数有多少个？
⑻小于5860的四位数有多少个？
⑼由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？
⑽由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？








【例 40】 （难度等级 ※※※）⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？
（只要求列式）
⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？
⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？
⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？
⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？
⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？

【例 41】 （难度等级 ※※※）现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同
学各2 人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：
(1)共有多少种选法?
(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?
(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?
(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?








【例 42】 （难度等级 ※※※※）游乐园的门票1元1张,每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票,
其中5 个小朋友只有1元的钞票,另外5个小朋友只有2元的钞票,售票员没有准备零钱.问有多
少种排队方法 ,使售票员总能找得开零钱?






模块二：组合及其应用
【例 43】 （难度等级 ※）计算：⑴
C
6
2
，
C
6
4
；⑵
C
7
2
，
C
7
5
．






1985598100
2C
100
【例 44】 （难度等级 ※※）计算：⑴
C
200
；⑵
C
56
；⑶
C
100
．




3998
【巩固】 （难度等级 ※※）计算：⑴
C
12
；⑵
C
1000
；⑶
P
8
2
C
8
2
。




【例 45】 （难度等级 ※※）6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

【巩固】 （难度等级 ※※）某班毕业生中有
20
名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家
一共握了多少次手？




【例 46】 （难度等级 ※※）学校开设
6
门任意选修课， 要求每个学生从中选学
3
门，共有多少种不同的
选法？




【例 47】 （难度等级 ※※）某校举行排球单循环赛，有
12
个队参加．问：共需要进行多少场比赛？




【巩固】 （难度等级 ※※）芳草地小学举行足球单循环赛，有
24
个队参加．问：共需要进行多少场比赛？




【例 48】 （难度等级 ※※）一批象棋棋手进行循环 赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠
军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循 环赛？





【例 49】 （难度等级 ※※※） 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比
赛的48名选手分成8个小组， 每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前
2名共16人再分成
4
个小组，每组
4
人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的
4
个< br>第
1
名进行
2
场半决赛和
2
场决赛，确定
1
至
4
名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比
赛？




【例 50】 （难度等级 ※※※）从分别写有
1
、
3
、
5
、
7
、
9
的五张卡片中任取两张 ，做成一道两个一位
数的乘法题，问：
⑴ 有多少个不同的乘积？
⑵ 有多少个不同的乘法算式？

【巩固】 （难度等级 ※※）从分别写有
1
、
2
、3
、
4
、
5
、
6
、
7
、8
的八张卡片中任取两张，做成一
道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？





【例 51】 （难度等级 ※※※）在
1~100
中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的
取法？




【巩固】 （难度等级 ※※※）从
19
、
20
、……、
93
、
94
这
76
个数中 ，选取两个不同的数，使其和为
偶数的选法总数是多少？





【例 52】 （难度等级 ※※※）一个盒子装有
10
个编号依次为1
，
2
，
3
，
L
，
10
的球 ，从中摸出
6
个球，
使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少？






【例 53】 （难度等级 ※※※）用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数？
用
2
个0
，
2
个
1
，
2
个
2
可以组 成多少个互不相同的六位数？




【例 54】 （难度等级 ※※※）从
1
，
3
，
5
，
7
，
9
中任取三个数字，从
2
，
4
，
6
，
8中任取两个数字，
组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？




【例 55】 （难度等级 ※※※）由数字1，2，3组成五位数，要求这五位 数中1，2，3至少各出现一次，
那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯” 高年级组决赛)

【例 56】 （难度等级 ※※） 从
0
、
0
、
1
、
2
、
3
、
4
、
5
这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组
成多少个不同 的三位数？（这里每个数字只允许用
1
次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）。（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛五年级）




【例 57】 （难度等级 ※※※）工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件
进行检查，问：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？




【例 58】 （难度等级 ※※※）200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件 ，各有多
少种不同的抽法（只要求列式）？⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．




【例 59】 （难度等级 ※※※）在一个圆周上有
10
个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：
⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形。




【巩固】 （难度等级 ※※）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？





【巩固】 （难度等级 ※※）在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？





【例 60】 （难度等级 ※※※）平面内有
12
个点，其中
6
点共线，此外再无三点共线．
⑴ 可确定多少个三角形？⑵ 可确定多少条射线？

【巩固】 （难度等级 ※※）如图，问：⑴ 图
1
中，共有多少条线段？
⑵ 图
2
中，共有多少个角？ B
P
9
...
P
3
P
2
P
1
A
A
C
1
C
2
C
3
C
4
C
5
B


O

图
1
图
2






【例 61】 （难度等级 ※※※）如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少
个三角形？



【例 62】 （难度等级 ※※※）如图，正方形
ACEG
的 边界上共有7个点
A
、
B
、
C
、
D
、E
、
F
、
G
、
其中
B
、
D< br>、
F
分别在边
AC
、
CE
、
EG
上 ．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同的四边
形的个数是_____ 个．(小学数学奥林匹克决赛)
G
A
B
F
C
DE


【巩固】 （难度等级 ※※）图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成
多少个四边形？

【巩固】 （难度等级 ※※）如图，有
53
个点，取不同的三个点就可 以组合一个三角形，问总共可以组
成＿＿＿＿个三角形．






【例 63】 （难度等级 ※※※）某班要在
42
名同学中选 出
3
名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如
果在
42
人中选< br>3
人站成一排，有多少种站法？






【巩固】 （难度等级 ※※※）学校新修建的一条道路上有
12
盏路灯， 为了节省用电而又不影响正常的照
明，可以熄灭其中
2
盏灯，但两端的灯不能熄灭，也 不能熄灭相邻的
2
盏灯，那么熄灯的方法共
有多少种？




【例 64】 （难度等级 ※※）
10
个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？




【例 65】 （难度等级 ※※※）8个人站队，冬冬必须站在小悦 和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大
智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少 种？




【例 66】 （难度等级 ※※）将三盘同样的红 花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，
共有__________种不同的方法。（ 2007年“希望杯”第一试）

【例 67】 （难度等级 ※※）在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8 个人要站成两排，每排4个人，且
前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会 被挡住．一共有多少种
不同的排队方法？




【例 68】 （难度等级 ※※※）在一次考试的选做题部分，要求在第一题的
4
个小题中选做3
个小题，在
第二题的
3
个小题中选做
2
个小题，在第 三题的
2
个小题中选做
1
个小题，有多少种不同的选法？





【例 69】 （难度等级 ※※※）小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？







【巩固】 （难度等级 ※※※）把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分
法？




【巩固】 （难度等级 ※※）有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？




【例 70】 （难度等级 ※※※）学校合唱团要从
6
个班中补充
8
名同学，每个班至少
1
名，共有多少种抽
调方法？




【例 71】 （难度等级 ※※※）10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里 ，允许有的盘子空着．请问一
共有多少种不同的放法？

【例 72】 （难度等级 ※※※）(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?
(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?





【例 73】 （难度等级 ※※※）某年级
6< br>个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两
个班，分派的方法有多少种？





【例 74】 （难度等级 ※※※）如下表， 请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字
里能连续(即相邻的字在表中也是左右相 邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好
玩的数学”的读法。
我 们 学 习 好
们 学 习 好 玩
学 习 好 玩 的
习 好 玩 的 数
好 玩 的 数 学
1
1
1
1
1
1
2
34
5
1
3
6
10
15
1
4
1 0
20
35
1
5
15
35
70
【例 75】 （难度等级 ※※※）6人同时被邀请参加一项活动。必须有人去，去几个人自行决定，共有多
少种不同的去法？





【例 76】 （难度等级 ※※※）某池塘中 有
A、B、C
三只游船，
A
船可乘坐
3
人，
B船可乘坐
2
人，
C
船
可乘坐
1
人，今有
3
个成人和
2
个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须
至少有个成人陪同，那么他们
5
人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？






【巩固】 （难度等级 ※※）有蓝 色旗
3
面，黄色旗
2
面，红色旗
1
面．这些旗的模样、大小 都相同．现在
把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号 ，
那么利用这些旗能表示多少种不同信号?

【例 77】 （难度等级 ※※※）从
10
名男生，
8
名女生中选出
8
人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有
多少种选法？
⑴恰有
3
名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。






【例 78】 （难度等级 ※※※）从
4
名男生，
3
名女生中选出
3
名代表．
⑴ 不同的选法共有多少种？
⑵ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？
⑶ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？







【巩固】 （难度等级 ※※※※）在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任 和外科主任各一名，现要
组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？
⑴ 有3名内科医生和2名外科医生；
⑵ 既有内科医生，又有外科医生；
⑶ 至少有一名主任参加；
⑷ 既有主任，又有外科医生。








【例 79】 （难度等级 ※※※※）在10名学生中， 有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人
既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由
6
人组成的安装小组，组内安装电脑要
3
人，安装
音响设备要
3< br>人，共有多少种不同的选人方案？

【例 80】 （难度等级 ※※※※）有 11名外语翻译人员，其中
5
名是英语翻译员，
4
名是日语翻译员，
另外两名英语、日语都精通．从中找出
8
人，使他们组成两个翻译小组，其中
4
人翻译英文，另
4
人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张 ？








【巩固】 （难度等级 ※※※※）某旅社有导游
9
人，其中
3
人只会英语，
2
人只会日语，其余
4
个既会英
语又会日语．现要从中选
6
人 ，其中
3
人做英语导游，另外
3
人做日语导游．则不同的选择方法
有 多少种？