mnm
mmm1
组合性质：性质1.
C
n
, 性质2.
C
n

C
n
1
C
n
C
n
在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排
列数 公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地
运用这些公式及性质，但是在 使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，
要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式 都有两种形式：乘积形式
和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的< br>倒用，即由
n!
m
写出
C
n
.
m!(n m)!
mm
排列数
A
n
与组合数
C
n
里的 m、n的关系是
mn(m、nN)

0011nn
牢记：0！=1；< br>A
n
1;C
n
1;A
n
n;C
nn;A
n
n!;C
n
1.

012nknk
组合数派生性质：
C
k
C
k
C
n1
C
k2


C
n1

kk1
C
k
k
C
k
k
1
C
k
k2
C
n
C
n1

（5）排列组合的综合应用
排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者 说与一种
顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少
个不 同的三位数？这是排列问题，有
A
4
个，而组成的三位数中个位、十位、百
位 上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题有
C
4
3
3
个不同的三位数.
按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的
基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.
处理排列组合的综合 性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一
次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取 的元素都取出来后，再进
行排列
在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元 素不能在某
几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种
基本类 型.
在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一
个在内，某些元 素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几
种基本类型.
（6）二项式定理的有关概念
第一、对通项要注意以下几点:
第3页（共7页）

①它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定.
②公式表示的是第r+1项，而不是第r项.
③公式中a、b的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.
第二、要注意区分，展开式的第r+1项的 二项式系数与第r+1项的系数是两个
不同的概念，千万不能混在一起.
（7）二项式系数的性质
①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. n
1
项的二项式系
2
n1
1
）数最大；若二项式 系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（
2
n1
1
）项的二项式 系数相等且最大. 项和第（
2
②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第
012n
③展开式的所有二项式系数的和等于
2
.即
C
n
 C
n
C
n
C
n
2
n

n
④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即
024135

C
n
C
n
C
nC
n
C
n
C
n

=
2< br>n1

注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构< br>造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.
②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.
③赋值法是解决二项 展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有
关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解 决.
（8）随机事件的概率、等可能事件的概率计算
首先、对于每一个随机实验来说，可能 出现的实验结果是有限的；其次、
所有不同的实验结果的出现是等可能的一定要在等可能的前提下计算基 本事
件的个数只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的
个数才是正确 的，才能用等可能事件的概率计算公式P（A）=mn来进行计算
(9)互斥事件有一个发生的概率
求解这类问题的数学思想方法是：在给定的命题背景下，先判断事件之间
是否互斥，并 理解“和事件”的意义，计算出每个简单事件的概率，然后再利
用互斥事件的概率计算公式进行加法运算 特别要注意的是，若事件A与B不是
互斥事件而是相互独立事件，那么在计算P（A+B）的值时绝对不 可以使用P（A+B）
=P（A）+P（B）这个公式，只能从对立事件的角度出发，运用P（A+B） =1-P（
AB
）
进行计算
(10)相互独立事件同时发生的概率
事件间的“互斥”与“相互独立”是理解的一个难点，也是高考考查的一
个热点解题过 程中要特别注意：在同一随机实验中，两事件互斥是指两个不可
第4页（共7页）

能同时发生的事件；两事件相互独立是指其中的一个事件发生与否对 另一个事
件的发生没有影响学生对这两个概念的区分能力足以体现他们分析问题和解
决问题的能 力，这正是高考考查的主要目的另外要理解“积事件”的意义，特
别要注意：若事件A与B不是相互独立 事件而是互斥事件，那么在计算P（AB）
的值时绝对不可以使用P（A·B）=P（A）P（B）这个 公式，只能从对立事件的
角度出发，运用P（A·B）=1-P（
AB
）进行计算
(11)n次独立重复实验恰好有k次发生的概率
要求掌握n次独立重复实验恰好有k次发生 的概率计算公式，对这个公式，
k
不能死记硬背，要真正理解它所表示的含义，特别要理解其中 的
C
n
的意义此
公式是概率的加法公式的应用，也为处理离散型随机变量的概 率分布问题做了
很好的铺垫一般高考不单独考这个知识点，经常是和互斥事件有一个发生的概
率 或者相互独立事件同时发生的概率综合起来考查
四、教学建议
1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做
分类计数原理和分步计数原理是两个基 本原理，它们既是推导排列数公式、
组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常 需要直接
运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、
组合问 题的教学从这两个原理入手带有根本性.
分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类 计数原理解
题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的
标准， 最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办
法都能完成这件事.分步计数原 理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标
准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完 成这件事，每步中
的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分
步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时
往往需要先分类，每类中 再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗
嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理 去分析问题.只有这样才能使
学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排 列、
组合的学习奠定坚实的基础.
2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合
排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，
并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与
顺序有关的是排列问题，与顺序无关 是组合问题，顺序对排列、组合问题的求
解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在 具体求解过程中
学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.
(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的
秘诀在于度，学的真谛在于 悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯
第5页（共7页）

通.
(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.
(3) 学生易于辨别组合 、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.
在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关 系后，按以下两步思考：
首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元< br>素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，
如果不需要，是组 合问题；否则是排列问题.
3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质
排列、 组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题
思路通常是依据具体做事的过程，用数学的 原理和语言加以表述.也可以说解排
列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会 问题的实
质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习
中感到 抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、
考虑问题就缺乏条理性，或解题 思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于
常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分 析问题时要根据实际
情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能
说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发
排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考 的角度不同，就会得到不同
的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教 学
中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行
认识思考，才能 得到最优方法.
排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了
一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组
合问题的分析与解答的 过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合
作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的 理解说明分类还是分步的理由，
m
m
每类或每步中.
A
n
、
C
n
及n、m取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别
的同学能在你思考 的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启
发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解， 激发学习的兴趣.
概率所研究的 对象具有抽象和不确定性等特点，学生很难用已获得的解决
确定性数学问题的思维方法，去求得“活” 的概率问题的解，这就决定了概率
教学中教师的教学方式和学生的学习方式的转变，学生不能沿用传统的 记忆加
形成性训练的机械学习方法去学习，教师不能沿用传统的 给予加示范性的灌输
式教学方 法去教学，教师必须引导学生经历概率模型的构建过程和模型的应用
过程，从中获得问题情境性的情境体 验和感悟，才能迎对“活”的概率问题为
此，在概率教学中，我们必须做到：
5．创设情境，引导经历概念和模型构建的过程
概率涉及到很多的新概念和模型，要使这些新概念变为学生自己的知识，
第6页（共7页）

必须与学生已有的知识经验建立起广泛的联系这就要求我们在概念和 模型的
教学过程中，必须根据学生的生活，学习经验，创设丰富的问题情境，引导学
生自己去生 成概念、提炼模型，发现计算的法则，教师且不可因教学时间紧而
淡化概念、模型构建的过程否则，学生 因获得孤立的概念、模型，无法在纷繁
的问题情景中去辨认，从而导致解题思想僵化
6．构建知识网络，引导把握各知识点间的联系与区别
学生能否准确迅速地运用概念和模型解 题，主要取决于他们对概念和各模
型之间的联系和区别是否真正把握，我们平时说“夯实基础，提高能力 ”，从本
质上说就是引导学生把握知识间的联系和区别，即教材的知识结构是否转化为
自己的认 知结构因此，在概率的教学过程中，教师要随时引导学生将获得的新
概念、新模型和已有的概念和模型进 行对照和比较，找出它们之间的联系和区
别，优化自己的认知结构
7．充分展示建模的思维过程，引导感悟模型提取的思维机制
概率问题求解的关键是寻找它的 模型，只要模型一找到，问题便迎刃而解
而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂 的思维过程，
常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途因此，在概率应用问
题的 教学中，教师应随时充分展示建模的思维过程，使学生从问题的情境中感
悟出模型提取的思维机制，获取 模型选取的经验，久而久之，感受多了，经验
丰富了，建模也就容易了，解题的正确率就会大大提高
第7页（共7页）