拔丝苹果的做法-一怒为红颜

“解排列、组合应用问题”的思维方法

一、优先考 虑：对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通
常是先排特殊元素或特殊 位置，再考虑其它的元素或其它的位置。
例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
（2） 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有
个。
（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有
种。
二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一 个
“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。
例2．（1） 有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有 种。

（2） 有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。

三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。
例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，
有 种陈列方法。
（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有 种。

四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。
例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。

（2） 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。

（3）集合
A
有8个元素，集合
B有7个元素，
AB
有4个元素，集合
C
有3个元素且满
足下列 条件：
CAB,CA,CB
的集合
C
有几个。

（4）从6名短跑运动员中选4人参加4100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不
能跑第四棒，共有多少种参赛方案？

第1页

五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。
例5（1）用1、2、 3、9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的
五位数有 个。
（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2
本， 其它每人一本，则共有 种不同的奖法。

（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有 种分配方法。
六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规
定顺序元 素个数的全排列。
例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定 不变，
那么不同的排法有 种。

（2）由0、1、2、3、4、5组成 没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位
数字小于百位数字，则这样的数共有 个。

（3）书架上放有5本书（1~5册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有
种放法。

七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去 考虑便顺利求得结
果又易理解。
例7．（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有 种放映次序。

（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。

（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。

八、分情况研究：分情况研究（即分类计算）复杂的排列、组合综合题，常常通过画简 图、
按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，

第2页

尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种 情况研究，在“有0”时，排列
的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。
例8．（1）从编号为了1、2、3  9的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，
再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？

（2）用0、1、2、39这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五 位数
有多少个？

（3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中， 若按从小到大的顺序排列23140
是第几个数？
排 列 与 组 合
(思考方法1～8训练)


一．优先考虑
1．现有6名同学站成一排：
（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？
（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？

2．用
0,1,2,3,4
，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？

二．插空
3．有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？

4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有 种排法；（2）男女相间有 种
排法。

三．捆在一起
5．由1、2、3、4、5组成一个无重复数字 的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在
一起，
则不同的5位数共有_________个。

6．有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有 种。

四．逆向思考
7．某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女 生入选时的不同选法有
16种，则小组中的女生数为________。

8．6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？

五．先组后排
9．有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有 种参加方式。


第3页

10．从两个集合

1,2,3,4

和

5,6,7

中各取两个元素组成 一个四位数，可组成 个
数。

六．除以排列数
11．书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有 种放
法。

12．9人（个子长短不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种 排
法。

七．对象互调：
13．某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是 。

14．三个人坐在一排7个座位上，
（1）若3个人中间没有空位，有 种坐法。
（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有 种坐法。

八．分情况（即分类）
15．用
0,1,2,3,4
组成无重复 数字的5位数，若按从小到大的顺序排列，则数12340是
第_____个数。

16．某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中
选出
2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？


九．和、整除、倍数、约数问题。
例9．和：（1）用0、1、2、3、4、5、6这七个数 字可以组成多少个没有重复数字的三位
数？这些三位数的和是多少？


整除：（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中
Ⅰ、能被5整除的数有多少个？
Ⅱ、能被3整除的数有多少个？
Ⅲ、能被6整除的数有多少个？

倍数：（3）在1、2、3  100这100 个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积
是7的倍数，这样的取法共有多少种？（取7,11与 取11,7认为是同一种取法）


第4页

（4）在1、2、3  30这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，
共有多少种不同的取法？


约数：（5）数2160共有多少个正约数（包括1和本身在内）？其中共有多少个正的偶约数？


十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（ 分堆）的
区别。
例10．（1）将12本不同的书
Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有 种分法。
Ⅱ、平均分成三堆，有 种分法。
（2）7本不同的书
Ⅰ、全部分给6个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。
Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有 种不同的分法。
（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？
a、甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。
b、一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。
c、甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。
d、一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。

排 列 与 组 合
(思考方法全训练)

一 ～ 八 ：
1．5名男生和2名女生 站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同
的站法共有 种(用数字作答)。

2．8人排成一排, 其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有______
种.

3．现有6张同排连座号的电影票, 分给3名老师与3名学生, 要求师生相间而坐, 则不同
的分法
数为________.


第5页

4．在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有
种。

5．现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、 和“环保”三
个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，< br>则不同的参加方案的种数是___________.(写出具体数字)
6．将A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C顺序（即A在B前，C 在B 后）的排
列总数为 。

7．如果从一排10盏灯中关掉3盏灯，那么关掉的是互不相邻的3盏灯的方法有 。

2
8．（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻
3
1
5
地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着
4
色方法共有 种。（以数字作答）

（2）同室
4
人各写了一张贺年卡先集中起来，然后 每人从中取回一张别人送出的贺卡，这
4
张贺年卡不同的分配方式有__________种。

九．和、整除、倍数、约数问题
17．(1) 由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：①这些数的数字之和；②这些数的
和。
（2）由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？

18．（1）在1、2、3、4 、…、50这50个自然数中，每次取出2个（无论先后），使他们< br>的积是13的倍数，这样的取法有多少种？
（2）① 420共有多少个正约数？② 14175共有多少个正约数？

十．分配、分组问题：
19．六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？
① 甲一本、乙二本、丙三本；有 种分法。
② 一人一本、一人二本、一人三本；有 种分法。
③ 甲一本、乙一本、丙四本；有 种分法。
④ 一人一本、一人一本、一人四本；有 种分法。

20．一般地，现有
6n
本不同的书，
①分给甲、乙、丙三人，甲得
n
本、乙得
2n
本、丙得
3n
本，则有 种分法。
②分给三人，一人得
n
本、一人得
2n
本、另一人得3n
本，则有 种分法。
③分给三人，甲、乙各得
n
本、丙得
4n
本，则有 种分法。
④分给三人，其中二人各得
n
本，另一人得
4n
本，则有 种分法。
⑤分成三堆，一堆
n
本、一堆
2n
本、一堆
3n
本，则有 种分法。
⑥分成三堆，有二堆各
n
本，还有一堆
4n
本，则有 种分法。

排 列 与 组 合 (思考方法1～8训练) 参考答案

一．优先考虑：
15
1．（1）法一：（先考虑特殊元素甲）
P
4
P
5
480
种；法二：（先考虑特殊位置头尾）
P
52
P
4
480
种；
5114654
（2）法一：< br>P
4
P
4
P
4
(甲不在尾)=120+384=50 4； (或法二：
P
6
2P
5
P
4
504< br>种)；
5
(甲在尾)+
P

第6页

14
2．先考虑首位再其它：
C
5
P
5
600
。
3
二．插空： 3．
P
3
P
4
144
；4．（1）
P
4
P
5
4
2880
；（2）
2P
4
P< br>4
1152
。
3
三．捆在一起： 5．
P
2
P
2
P
3
2
24
； 6．
P
6
P
2
P
4
5760
。
33
四．逆向思考： 7．令小组中的女生数为
x
，则：
C
6
C
6x
16x2
； 8．
P
6
P
5
600
。
222
五．先组后排： 9．
C
4
P
3
36
；10．
C
4
C
3
P
4
432
。
六．除以排列数： 11．
P
9
P
6
504
（即
P
9
3
504
）；12．
P
8
(P
4
P
4
)70
。
1
七．对象互调： 13．
P
5
2
20
；14． （1）
C
5
P
3
30
；（2）
P
3
P
4
2
72
。
1111
八．分情况（即分类）： 15．
P
3
P
2
19
； 16．
P
3
2
C
3
C
2
C
3
C
527
。

排 列 与 组 合 (思考方法全训练) 参考答案
一 ～ 八：
522551442
1．
C
1
即：先前，再后）；2 ．
P
3．72；4．
C
200
C
197
C3
C
197

；5．
C
5
C
4
P
4
P
3
P
3
）
5
P
3P
6
21600
；
3
180

3（即：先组，再捆，后排）；6．120；7．56；8．（1）
2P
4
P4
72
；（2）9．
九．和、整除、倍数、约数问题
17．（1） ①由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有
P
4
个，而每一个数的各位数字之和都 是
235717
，
所以所有四位数的数字之和是
P
4
(2357)408
。
②如2在个，十，百，千位上的情况各有
P
3
次，同理3，5，7的情况与2相同，所以这些数的和为：
P
3
(23 57)(1101001000)113322
。
11
（2）不含2 的有：
P
3
P
3
18
；不含5的情况也为：
P< br>3
P
3
18
，故共有36无重复数字且能被3整除的四
位数 。
18．（1）∵由
113k50
1
211
k3.85
，∴这50个自然数中有3个是13 的倍数，∴有
C
3
C
3
C
47
144

13
种取法。（2）① ∵
4202
2
357
，∴ 正约数有：
322224
个。
② ∵
141753
4
5
2
7
，∴正约数有：
43224
个。
十．分配、分组问题：
12312312
19．分析：① 先甲
C
6
，再乙
C
5
，后丙
C
3
，则有
C
6
C
5
C
3
C
6
C
5
60
（种）。
12
② 将①中甲、乙、丙的顺序变化，则有
C
6
C
5
P
3
360
（种）。
11411411
③ 先甲
C
6
，再乙
C
5
，后丙
C
4
，则有
C
6
C
5
C
4
C
6
C
5
30
（种）。
1111
④ 在③中将甲、乙、丙看成三堆：
C
6
C
5P
2
，再将此三堆全排列：
(C
6
C
5
P2
)P
3
90
（种）。

第7页

n2nn2nnn4nnnnn2n
20．①
C
6 n
C
5n
；②
C
6n
C
5n
P
3
；③
C
6n
C
5n
（或写成
C
6n
C
2n
）；④
(C
6n
C
5n
P
2)P
3
；⑤
C
6n
C
5n
；⑥
n2n
C
6n
C
5n
P
2




第8页