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可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法
相离问题插空法 元素分析法（位置分析法）
多排问题单排法 定序问题缩倍法（等几率法）
标号排位问题（不配对问题）
不同元素的分配问题（先分堆再分配）
相同元素的分配问题隔板法：
多面手问题（ 分类法---选定标准）
走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
排数问题（注意数字“0”） 染色问题
“至多”“至少”问题用间接法或分类:
几何中的排列组合问题:
排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题是高考的必考 题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不
易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模 式，熟练运用，是解决排列组合应用
题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
一． 可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复 ，把不能重复的元素看
作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题 使用住
店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少
种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）
A、
8
3
B、
3
8
C、
A
33
8
D、
C
8


二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参
与排列.高☆考♂资♀源€网 < br>【例1】
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻 且
B
在
A
的右边，那
么不同的排法种数有

【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两
端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
二． 相离问题插空法 ：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的
几个元素 插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种
不同的插法（具体数字作答）

【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各 音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节
目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进
行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立
即进行。那么安排这6项工 程的不同排法种数是

【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后 决定添加3个与“抗冰救灾”有关的
节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好 的10个
节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【 例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉
相邻的二盏或三 盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少

种？
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有
多少种？

【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一
起， 不同的停车方法有多少种？

四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位 置，可先排这个或几个
元素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会要从 小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中
选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中小张和小
赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案
共有 （ ） 高☆考♂资♀源€网 ☆
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排
法有多少种？

【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。高☆考
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【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
55
A
15
A
10

个元素排在后排，有多少种不同排法？
五．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制 某几个元素必须保持一定的顺序，
可用缩小倍数的方法.
【例1】.
A,B,C,D ,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
不相邻）那么不同的排法种数是

【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少
种不同的插法？高☆考
♂资♀源€网 ☆
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B 、C必须按A在前，B居中，
C在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】 ：
法一：
3
A
6
法二：A
的右边（
A,B
可以
1
6
A
6

3
A
3
六．标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，
则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种高☆考♂资♀源€网 ☆
【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对
应数字填
入其它三个 方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×
3×1=9
种填法，选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，
其中
（B）
5553155553
A
15
A
10
A
5< br>A
3
（C）
A
15
（D）
A
15
A
10
A
5
A
3

（3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺
年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
3(12)9
种分配方式。 故选（B）
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有( )高☆考♂（A）60种（B）44种
答案：B
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？高☆
考♂资♀源€网 ☆
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
【解析】 ：（1）
C
1
6
211 111
C
5
C
5
C
4
C
3
C2
C
1
5
（5）
A
5

4
A
4
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方
案有 种（用数字作答）．高☆考♂资♀源€网 ☆
211
C
4
C
2
C
1
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1 ，1分成三组，其分法有
2
A
2
;
第二步将分好的三组分配到3个 乡镇，其分法有
211
C
4
C
2
C
1
3
A
3
36
2
A
2

A
3< br>3
所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常 用先分组再分配.
法共有
（A）150种
(D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有
3
＝< br>2
A
2
（C）36种

（D）24种 【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方
(B)180种 (C)200种
60种，若是1,1,3，
12 2
C
5
C
4
C
2
3
A
3
☆则有＝90种，所以共有150种，选A
2
A
2
CC
2
5
31
（2）
63

222
C
6
C
4
C
2
CCCA
（3）
3
A
3
2
5
3
3
3
3 （4）
C
6
C
4
C
2

222
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的
种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
答案 ：（ A ）

【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，
则不同的分配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７
０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，
则将5
12
C
5
C
4
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2 人，有
15
种方法，再将3组分
2
A
2
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4
人承担
这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，
第
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C
8
C
7
211
2520
种，选
C
.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经
济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？高☆考♂资♀源
€网 ☆
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案
到3个班，
共有
15A
3
3
90
种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项
目不超
过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 高☆考A．16种 B．36种 C．42
种 D．60种
A
8
4
种；
A< br>8
3
方法，所以共
【解析】：按条件项目可分配为
33
C4
2
C
3
2
A
2
2
C
4< br>A
3
362460
故选D；
2,1,0,0
与< br>1,1,1,0
的结构，∴
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余 学生有
有
3A
8
；
3
【例7】（1）5本不同的书，全部 分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数
为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
. < br>（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的
分配方案 有多少种？
44
C
12
C
8
4
C
43
答案：
A
3
高☆考♂资♀源€网 ☆
3
A< br>3
③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安 排甲乙，有7种方
法，然后再安排其余8人到另两个城市有
A
8
种，共有7A
8
方法.所以共有不同的派遣
方法总数为
2
2
3< br>A
8
4
3A
8
3
3A
8
37A
8
2
4088
种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有
多少种？

【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C< br>4
种，再排：在四个
盒中每次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个 相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中
的球数不少于其编号数，则有多少 种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然 后再把
这17
个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
C
16
网 ☆
【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分
配方案
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，
每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配
方案，
故共有不同的分配方案为
C
9
6
3
23
2
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？高☆考♂资♀源
€网 ☆
【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，
可以在4个相同 的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空
挡中分别插入两个板。各有
C
3
、
C
4
、
C
5
种方法。
3、由分步计数原理可得
C
4
3
2
3
144
种.
22
2
C
3
2
C
4
2
C
5
2
=720种
120
种。高☆考♂资♀源€
八．多面手问题（ 分类法---选定标准）
【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译 员，另外两名
是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
431413423 113
C
5
4
C
4
C
5
C
2< br>C
4
C
5
4
C
2
C
4
 C
5
2
C
4
C
5
4
C
4
C
5
C
2
C
1
C
4

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精
通 ,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少
不同的选派方式 ?
答案 ：185高☆考♂资♀源€网 ☆
【例1】 小明家住二层，他每次 回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻
楼层之间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有 多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；高☆考♂资♀源€网 2）有
1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个 挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
84
种.高☆考
变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有 九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4， 5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可
以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满
足条件
的关灯办法有 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中
的3个

的空中，有
C
6
1
6
种 < br>的数集
C

2,6,,98

，能被4除余3的数集
D

3,7,11,99

，易见这四
（b）两次三级不挨着时 ：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成
的空中，有
C
6
2
个集合中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中各取一个数也
15
种走法。
符合要求；从
C
中任取两个数也符 合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要
求的取法共有
C
25
211 2
C
25
C
25
C
25
种.
4）有3次（不可能）高☆考♂资♀源€网 ☆
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶， 互换角色，想成把两个2级台阶放到3
级台阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种C
5
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有( )
（A）34种
（C）
十．排数问题（注意数字“0”）高☆考♂资♀源€网 ☆
【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小
于十位数字的共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
个，
A
4
A
3
A
3
,A
3
A3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
1
C
5
2
15
走法；
十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;
（2）根据相对区域是否同色分类讨论;高☆考♂资♀源€网 ☆
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥
S ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端
点异色，如果只有5种颜色可供使用， 那么不同的染色方法的总数是
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若 恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任
选两种涂A、B、C、D 四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
C
5
A
4
法。 (2)若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四
12
（B）55种 （C）89种 （D）144种 答案：
60
种方
5
种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
4
种染法； 再从余下的两
种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
C
5
A
4
C
2
C
2
1211
2
（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的 取法（不计
顺序）有多少种？
【解析】 ：将
I
240
种方法。
5
A
5
120
种染色法高☆考♂资♀综上所知，满足题意的(3) 若恰用五种颜色染色，有


1,2,3,100

分成四个不相交 的子集，能被4整除的数集
染色方法数为60+240+120=420种。
【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色 ，有
54360
种染色方法。
A

4,8,12,100

；能被4除余1的数集
B

1,5,9,97

，能被4除余2

由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类
讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选
择；
C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染
色有
13 227
种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
607420

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色);
③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一
种涂 色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）
根据相对区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平 面化，转化成平面区域涂色问题。
十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三． 几何中的排列组合问题:
【例1】 已知直线
一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
m
列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
n
.

1.公式：1.m
A
n
n

n1

n2
< br>……

nm1


n!


nm

!

2.
(1)

规定：0!1


(2)
n!n(n1)!,(n1)n!(n1)!

nn![(n1)1]n!(n1)n!n!(n1)!n!
；
nn11n1111


(n1)!(n1)!(n1 )!(n1)!n!(n1)!
(3)
三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元 素并组成一组，叫做从n 个不同的m
元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：
n

n1

……

nm1

A
m
n!
C
n

m!m!

nm

!
A
m
m
m
n

规定：C
n

2.组合数性质：

0
1

xy
1
（
a，b
是非零常数 ）与圆
x
2
y
2
100
有公共点，
ab
mnmmm1m01nn
C
n
C
n
，C
n
C
n
C
n1
，C
n
C
n
…… C
n
2

且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：
(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)
12 个
2
12
①；②

r
r
r
r1
；③；④
rrrr
C
n1
C
n
C
r2< br>C
r2
注：CC
若
C
n
1
m
C
r
r2
C
r
n1
r1rr
Cn
C
r
r
1
C
r1
C
r 2

rrrrrrrr
1
注：CCCCCCCC
r r1
条 不满则条件
r2n1n
C=12
r1
，
r1r2

C=66
其中关于原点对称的有4 切线 有其中平
12
rrr1r
C
n
CCC
1nr2 r2

rrr1
C
n
CC
1nn1

行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60
m
2
C
n
则m
1
=m< br>2
或m
1
+m
2
n

四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无
序 ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：①直接法；
②间接法：对有限制 条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这
是解决排列组合应用题时一种常用的解 题方法。
（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。
与“不含” 用间接排除法或分类法:
3．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
4．分配问题：
（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由
分步计数原理解 决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其
原则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、
特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
（3）．相邻问题：捆邦法：
对 于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元
素与其余元素排列， 然后再对相邻元素内部进行排列。
（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要 在某特殊位置时可采
用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元< br>素之间及两端的空隙之间插入。
（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进
行全排列，然后用 总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素
的全排列。
解法二：在总 位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的
几个位置放定序的元素，若定序 元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；
若不要求，则有2种排法；
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求 组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元
素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列 。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不 能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位
是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：
各位数字之和是3的倍数的偶数。
4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分 配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分
堆后排，注意平均分堆除 以均匀分组组数的阶乘。
5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台 连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，
要求首尾必须播放公益广告，则 共有 种不同的播放方式（结果用数值表
示）.
解：分二步：首尾必须播 放公益广告的有A
2
A
4
2
种；中间4个为不同的商业广告有
4
种，
从而应当填 A
2
·A
4
24
＝48. 从而应填48．
例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法：即
A
6
A
554
65
A
5< br>A
4
720212024504

解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
(1) 甲排在最右端时,有
A
5
5
种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最 左端）时，则
甲有
A
11
种排法，其他人有
A
41
A
14
4
种排法，乙有
A
44
种排法，共有
A44
A
4
种排法，分类
相加得共有
A
5114
5
+
A
4
A
4
A
4
=504种排法 例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生
从矮到高排列 ，有多少种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A
4
7
种排法.剩余的3个位置排女生，
因要求“从矮到高”，只有1种排法，故共有A
4
7
·1=840种.
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视 机各一台，则
不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号， 不取另一种型号的电视
机，故不同的取法共有
C
3
9
C
3 3
4
C
5
70
种,选.
C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2
台乙型1 台；故不同的取法有
C
21
5
C
4
C
12
5
C
4
70
台,选
C
.
2．从5名男生和4 名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各
选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；

（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中
必须既有男生又有女生，有 种选法
分析：本题考查 利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，
所以是组合问题.
解： （1）先从男生中选2人，有
C
22
5
种选法，再从女生中选2人，有
C
4
种选法，所以
共有
C
22
5
C
4< br>=60（种）；
（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C
22
2
C
7
=21
（种）；
（3）在9人 选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：
C
4
9
C
4
7
=91（种）；
直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含 甲和乙，得到符合条件的方法数
C
131322332
1
C
7
C
1
C
7
C
2
C
7
C
7
C
7
C
7
=91（种）.
（4）在9人选4人的选法 中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数
C
4
C
44
95
C
4
=120（种）.
直接法：分别按照含男生1、2、3人分类 ，得到符合条件的选法为
C
13231
5
C
4
C
2
5
C
4
C
5
C
4
=120（种）.

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
[解析] 先分组再排 列，一组2人一组4人有C
2
6
＝15种不同的分法；两组各3人共有
C3
6
A
2
＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选 B.
2
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
[解析] 恰 有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，
然后插空，从而共A
3 2
3
A
4
＝72种排法，故选C.
3．只用1,2,3三个数字组 成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不
能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
[解析] 注意题 中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相
邻，选四个数字共有C
1< br>＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A
22
32
×C
3
＝6(种)
排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个 ．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，
其中女生有( )

A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
[解析] 设男生有
n
人，则女生有(8－
n
)人，由 题意可得C
21
n
C
8－
n
＝30，解得
n
＝5或
n
＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼的楼 梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若
规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶
的有2步，那么共有C2
8
＝28种走法．
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个 部门，其中两名英语翻译人
员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则 不同的分
配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，
共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C
1
3
种
分法，然后再分到两部门去共有C
12
3
A
2
种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1
人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后 两人所去的部门就已确定，故第
三步共有C
112
C
1
3
种 方法，由分步乘法计数原理共有2C
3
A
23
＝36(种)．
7． 已知集合
A
＝{5}，
B
＝{1,2}，
C
＝{1,3,4 }，从这三个集合中各取一个元素构成空间
直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
[解析] ①所得 空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C
13
2
·A
3
＝12个 ；
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C
133
2
·A< br>3
＋A
3
＝18个；
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C
1
3
＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
[解析] 分两类 ：若1与3相邻，有A
212233
2
·C
3
A
2
A
3
＝72(个)，若1与3不相邻有A
3
·A
3
＝
36(个)
故共有72＋36＝108个．
9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学 校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一
所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天， 那么不同的安排方法有
( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2) 、(2,3)、
(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C
1
6
，然后在剩下的5天中任选2天有序地
安排其余两所学校参观，安排方法有A
2< br>5
种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排
方法C
12
6
·A
5
＝120种，故选C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班 ，每人值班一天，其中甲、乙二人都

不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
2
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A
5
＝20(种)排法， 其余5人再进行排列，
5
有A
5
＝120(种)排法，所以共有20×120 ＝2400(种)安排方法．
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有
________种不同的排法．(用数字作答)
423
[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C
9
·C
5
·C
3
＝1260(种)排法．
12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人， 另两个组各1人，分赴世博会的四个
不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答 )．
22
C
6
C
4
[解析] 先将6名志愿者分为4组 ，共有
2
种分法，再将4组人员分到4个不同场馆
A
2
22
C
6
·C
4
44
去，共有A
4
种分法，故所有分配 方案有：
2
·A
4
＝1 080种．
A
2
13． 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同
的花，要求相邻区域不同色，有________ 种不同的种法(用
数字作答)．
[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法． 若1、
3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有
4×3×2×(1×2＋ 1×1)＝72种．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同
的信 封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入
同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每 天1人，每人值班1天，若7位
员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7 日，则不同的安
排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2
214
A
2< br>A
4
A
4
种方法
24113
(A
4
A
3
A
3
A
3
)
种方法 甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有
4A
2
故共有1008种不同的排法