nobler-招聘收银员

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？

A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列
P”计算范畴。

上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该
只有9-1-1 种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9
倒数3个的乘积 ）

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可
以组合成多少个“三国联盟”？

A2: 213组合和312组合，代表同 一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。

上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终
组合数 C(3,9)=9*8*73*2*1

排列、组合的概念和公式典型例题分析



例1

设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只 参加一个课外小组；（2）每名学生
都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多 少种不同方法？


解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人
数，因此共有 种不同方法．


（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共
有 种不同方法．


点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．


例2排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？


解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共3类，每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出：



∴ 符合题意的不同排法共有9种．


点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种
具有直观形象的有 效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．


例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．


（1）高三年级学生 会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次
手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名 副组长，共有多少种不同
的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？


（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商 可以有多少
种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

举例：

（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不 同的选法？②从中选
出2盆放在教室有多少种不同的选法？


分析 （ 1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺
序有关是排列；②由于 每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，
所以是组合问题．其他类似分 析．


（1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手 （次）．


（2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．


（3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不同的积．


（4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法．


排列组合、二项式定理

一、考纲要求

1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.

2.理 解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并
能用它们解决一些简单的问题 .

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.

二、知识结构



三、知识点、能力点提示

(一)加法原理乘法原理

说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、
组合中有关问题提供了理论根据.

例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名
方法共有多少种?

解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有

3种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有

3×3×3×3×3=3
5
(种)

(二)排列、排列数公式

说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究
的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比
较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或 填空题考查.

例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的 偶
数共有( )

A.60个 B.48个 C.36个 D.24个

解 因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P
1
2
；小于50 000的五位数，
万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P
1
3
;在首末两位数排定 后，中间3
个位数的排法有P
3
3
，得P
1
3
P< br>3
3
P
1
2
＝36(个)

由此可知此题应选C.

例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的 四个方格里，每格填一个数字，
则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?

解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有
3种，即214 3，314 2，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将
数字1填入第4方格，也对应3种填 法，因此共有填法为

3P
1
3
=9(种).

例四 例五可能有问题，等思考