杀鸡儆猴-很冷

§ 排列组合

教学目标

1．理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
2．理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
学习内容


知识梳理

1． 排列
(1)排列的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出m
个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从
n
个不同元素中取出< br>m
(
m
≤
n
)个元素的所有排列的个数，叫做从
n< br>个不同元素中取出
m
个元
素的排列数，用符号A
n
表示． < br>(3)排列数公式：A
n
＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)．
(4)全排列：
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个元素的一个全排列，A
n
＝
n
·(
n
－1)·(
n
－2)·…·2·1
＝< br>n
！.排列数公式写成阶乘的形式为A
n
＝
2． 组合
(1 )组合的定义：从
n
个不同元素中，任意取出
m
(
m
≤n
)个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素中任取
m
个元素的< br>一个组合．
(2)组合数的定义：从
n
个不同元素中，任意取出
m< br>(
m
≤
n
)个元素的所有组合的个数，叫做从
n
个不 同元素中任意
取出
m
个元素的组合数，用符号C
n
表示．
A
n
n
！
nn
－1
(3)组合数的计算公式：C＝
m
＝＝
A
m
m
！
n
－
m
！
m
n
m
m
m
n
m
m
n
！
，这里规定0！＝1.
n
－
m
！
n
－2…
n< br>－
m
＋1
0
，由于0！＝1，所以C
n
＝1. m
！
(4)组合数的性质：①C
n
＝C
n
__；②C< br>n
＋1
＝C
n
__＋C
n
__.

mn
－
mmmm
－1


例题讲解

题型一 排列问题
例1 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法

(1)甲不在中间也不在两端；
(2)甲、乙两人必须排在两端；
(3)男女相间．
思维启迪 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素 开始考虑，有时也从特殊的位置讨论
起．对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空 法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不
在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素 先考虑)．
解 (1)方法一 (元素分析法)
先排甲有6种，其余有A
8
种，
故共有6·A
8
＝241 920(种)排法．
方法二 (位置分析法)
中间和两端有A
8
种排法， 包括甲在内的其余6人有A
6
种排法，故共有A
8
·A
6
＝ 336×720＝241 920(种)排法．
方法三 (等机会法)
6
999个人的全排列数有A
9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，依题意，甲不在中间及 两端的排法总数是A
9
×＝
9
241 920(种)．
方法四 (间接法)
A
9
－3·A
8
＝6A
8
＝241 920(种)．
(2)先排甲、乙，再排其余7人，
共有A
2
·A
7
＝10 080(种)排法．
(3)(插空法)
先排4名男生有A
4
种方法，再将5名女生插空，有A< br>5
种方法，故共有A
4
·A
5
＝2 880(种)排法．
思维升华 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优 先考虑特殊
位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路．
巩 固 用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位位置上的五位数
解 本题可分两类：
第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为A
4
＝24；
第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置 上只能排1,3,7之一，这一步有
A
3
＝3种方法．又由于0不能排在万位位置上， 所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两
个数字之一，这一步有方法A3
＝3(种)．十位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，这一步有方法A
3
＝6(种)．根据分步乘法计数原理，第二类中所求五位数的个数为A
3
·A
3
·A
3
＝54.
由分类加法计数原理，符合条件的五位数共有
24＋54＝78(个)．
题型二 组合问题
例2 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
113
13
1
4
4545
27
988
3636
8
8

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种
思维启迪 可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法．
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C
34
＝561(种)，
∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2)从34种可选商品中，选取3种，有C
34
种或者C
35
－C
34
＝C
34
＝5 984(种)．
∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中 选取1件，从15种假货中选取2件有C
20
C
15
＝2 100(种)．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4)选取2件假货有C
20< br>C
15
种，选取3件假货有C
15
种，共有选取方式C
20< br>C
15
＋C
15
＝2 100＋455＝2 555(种)．
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3件的总数有C
35
，因此共有选取方式
C
35
－C
15
＝6 545－455＝6 090(种)．
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将 这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，
则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键 词的含
义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理．
巩 固 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：
(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种
解 (1)甲、乙两人从4门课 程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C
4
C
2
C
2
＝24(种)．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C< br>4
C
4
，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C
4
种，
因此满足条件的不同选法种数为C
4
C
4
－C
4
＝30(种)．
题型三 排列与组合的综合应用问题
例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法
思维启迪 把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．
222
222
211
33
3
123123
12
3323
2

解 (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个 球，3个盒子，每个
盒子都要放入球，共有几种放法”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个 盒子中选1个放2个球，其余2
个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C
4C
4
C
3
×A
2
＝144(种)．
(2)“ 恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一
个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．
(3)确定2个空盒有C
4
种方法．
4个球放进2个盒子可分成(3,1) 、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C
4
C
1
A
2
种方法；第二类有序均匀分组有
C
4
C
2
2
C
4< br>C
2
22312
2
·A
2
种方法．故共有C
4
(C
4
C
1
A
2
＋
2
·A2
)＝84(种)．
A
2
A
2
思维升华 排列、组合 综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组
进行排列．其 中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．
巩 固 (1)将标号为1 ,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片
放入同一信封，则不同的放法共有 ( )
2222
312
2
1212
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
(2)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派 5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外
科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_____ ___．(用数字作答)
答案 (1)B (2)590
C
4
212
解析 (1)先放1、2的卡片有C种，再将3、4、5、6的卡 片平均分成两组再放置，有
2
·A
2
种，故共有C
3
·C< br>4
＝
A
2
1
3
2
18种．
(2) 分三类：①选1名骨科医生，则有C
3
(C
4
C
5
＋C4
C
5
＋C
4
C
5
)＝360(种)． ②选2名骨科医生，则有C
3
(C
4
C
5
＋C
4
C
5
)＝210(种)；
③选3名骨科医生，则有C
3
C
4
C
5
＝20(种)．
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.
易错题 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1 个一等品的不同
取法有________种．
易错分析 易犯错误如下：先从一等品中取1个 ，有C
16
种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C
19
种不同取法 ，
共有C
16
×C
19
＝2 736种不同取法．上述做法使两次取的一等品有了先后顺序，导致取法重复．
解析 方法一 将“至 少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰
有3个一等品 ”，由分类加法计数原理有C
16
C
4
＋C
16
C
4
＋C
16
＝1 136(种)．
方法二 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C
20
－C
4
＝1 136(种)．
答案 1 136
温馨提醒 (1)排列、组合问题由于其思想方法独特， 计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵
循一定的解题原则，如特殊元素、位置优 先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这
33
12213
12
12
311
21221
1132231

样我们才 能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解
题 ．
(2)“至少、至多型”问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事 件求解.

综合题库


A组
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．












( × )
( × )
( √ )
( √ )
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．
(4)(
n
＋1 )！－
n
！＝
n
·
n
！.
(5)A
n
＝
n
A
n
－1
.
(6)
k
C
n
＝
n
C
n
－1
.
kk
－1
mm
－1























( √ )
( √ )
2． 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位 朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方
法共有 ( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
答案 B
A
5
解析 方法一 不同的赠送方法有
23
＝10(种)．
A
2
A
3
方法二 从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本 有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3
本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出， 从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是
相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中 选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C
4
＝4(种)赠送方法；第
二种取法中只 需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C
4
＝6(种)赠送方法．因此共有 4＋6＝10(种)
赠送方法．
3． (2012·大纲全国)将字母
a
，
a
，
b
，
b
，
c
，
c
排 成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，
则不同的排列方法共有 ( )
2
1
4
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
答案 A
解析 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A
3
种不同的排法．
再排第二列， 其中第二列第一行的字母共有A
2
种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．
因此共有A
3
·A
2
·1＝12(种)不同的排列方法．
4． 用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( )
31
1
3

A．8 B．24 C．48 D．120
答案 C
解析 分两步：
(1)先排个位有A
2
种排法． (2)再排前三位有A
4
种排法，故共有A
2
A
4
＝4 8种排法．
5． 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名 女生，那么不同的选派方案有
________种．
答案 14
解析 ①有1名女生：C
2
C
4
＝8.
②有2名女生：C
2
C
4
＝6.
∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．
B组
1． (2012·课标全国)将 2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1
名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案 A
解析 利用分步乘法计数原理和组合数公式求解．
分两步：第一步，选派 一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C
2
＝2(种)选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C
4
＝6(种)选派方法．
由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．
2． 10名同学合影，站 成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，
则不同调整 方法的种数为
252222
2
1
22
13
313
1
( )

23
( )
A．C
7
A
5
B．C
7
A
2
C．C
7
A
5
D．C
7
A
5

答案 C
解析 从后排抽2人的方法种数是C
7
；前排的排列方法种数是A
5
.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C
7
A
5
.
3． 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第 一位，节目丙
必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
( )
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
答案 B
解析 分两类 ，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A
4
种排法；第二 类：
甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C
3
种 排法，其他3个节目有A
3
种排法，
故有C
3
A
3
种排法．依分类加法计数原理，知共有A
4
＋C
3
A
3
＝4 2(种)编排方案．
4． 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )
13413
13
4
2222

A．11种
C．21种
答案 C
解析 当第一组开关有一个接通时，电路接通有C
2
(C
3
＋C
3
＋C
3
)＝14(种)方式；
当第一组开关有两个接通时，电路接通有C
2
(C
3
＋C
3
＋C
3
)＝7(种)方式．
所以共有14＋7＝21(种)方式，故选C.
5． (2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取 3张，要求这3张卡片
不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为
( )
A．232 B．252 C．472 D．484
答案 C
解析 利用分类加法计数原理和组合的概念求解．
分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C< br>4
C
12
＝264(种)；
第二类，不含有红色卡片，共有不同的取 法C
12
－3C
4
＝220－12＝208(种)．
由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．
6．
A、
B
、
C
、
D
、
E
五人并排站成一排 ，如果
B
必须站在
A
的右边(
A
、
B
可以 不相邻)，那么不同的排法共有________
种．
答案 60
解析 可先排< br>C
、
D
、
E
三人，共A
5
种排法，剩余A
、
B
两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法
共有A
5
＝60(种)．
7． (2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5 张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观
券连号，那么不同的分法种数是__ ______．
答案 96
解析 将5张参观券分成4堆，有2个连号有4种分法，每种分 法再分给4人，各有A
4
种分法，∴不同的分法种
数共有4A
4
＝9 6.
8． 用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之 间的四位数的个数为________．
答案 8
解析 先把两奇数捆绑在一起有A
2
种方法，再用插空法共有个数A
2
·C
2
·A
2
＝8.
9． 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必 须排在一起，而丙、丁两
种不能排在一起，不同的排法共有________种．
答案 24
2212
4
4
3
3
33
12
21231123
B．20种
D．12种

解析 甲、乙排在一起，用捆 绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有2A
2
·A
3
＝24( 种)．
10．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C
18
＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C
18
＝8 568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有C
2
C
18
＋C
18
＝6 936(种)；
(4)方法一 (直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，
所以共有C
12
C
8
＋C
12
C
8
＋C
12
C
8
＋C
12
C
8
＝14 656(种)．
方法二 (间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C
20
－(C
1 2
＋C
8
)＝14 656(种)．

C组
1． (2 012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数 为

A．24 B．18 C．12 D．6
答案 B
解析 当 选0时，先从1,3,5中选2个数字有C
3
种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位 有C
2
种方法，
剩余1个数字排在首位，共有C
3
C
2＝6(种)方法；
当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C
3
种方法，然后 从选中的2个数字中选1个排在末位有C
2
种方法，其余2
个数字全排列，共有C3
C
2
A
2
＝12(种)方法．
依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．
2． 把3盆不同的兰花和4盆不同 的玫瑰花摆放在右图中的
所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放
方法有
A．2 680种
B．4 320种
C．4 920种
D．5 140种
( )
1,2,3,4,5,6,7
2 12
21
21
21
555
14233241
143
5
3
22
( )

答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A
7
种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5 A
3
A
4
(种)，故所求摆放方法有
A
7
－5A< br>3
A
4
＝4 320(种)．
3． 计划展出10幅不同的画，其中 1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，
并且水彩画不放在两端 ，那么不同的排列方式的种数有( )
A．A
4
A
5

C．C
3
A
4
A
5

答案 D
解析 先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油 画与国
画有A
2
种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A2
A
4
A
5
种．
4． (2013·浙江)将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六个字母排成一排，且
A
、
B
均在
C
的同侧， 则不同的排法共有________种(用
数字作答)．
答案 480
解析 分类 讨论：
A
、
B
都在
C
的左侧，且按
C
的左 侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右
侧情况．
所以共有2(A
2
·A
3
＋C
3
A
3
·A
2
＋ C
3
A
4
＋A
5
)＝480(种)．
5． 将6 位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同场馆服务，不同的分配方
案有________种(用数字作答)．
答案 1 080
C
6
C
5
C
4
4
解析 先分组再分配，共有
2
·A
4
＝1 080(种)分配方案．
2A
2
6． 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成． 如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三
人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方法共有________种(用数字作答)．
答案 96
解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A
4
种方法．
乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A
4
种方法．
丙传第一棒，共有C
2
·A
4
种方法．
由分类加法计数原 理得，共有A
4
＋A
4
＋C
2
·A
4
＝9 6(种)方法．
7． 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3 ,4的蓝色卡片，从这8种卡片中取出4张卡
片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 ，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
答案 432
解析 取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234.
所取卡片是1144的共有A
4
种排法．
所取卡片是2233的共有A
4
种排法．
4
4
4414< br>14
4
4
112
23132245
2245
145< br>45
734
734
B．A
3
A
4
A
5

D．A
2
A
4
A
5

245
343

所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色 ，3张红色，全是红色，共有排法A
4
＋C
4
A
4
＋
C
4
A
4
＋C
4
A
4
＋A
4< br>＝16A
4
(种)，
∴共有排法18A
4
＝18×4×3×2×1＝432(种)．

4
243444
414
归纳总结
方法与技巧

1． 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．
2． 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列 、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)
不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除 法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；
(9)构造模型；(10 )正难则反，等价条件．
失误与防范
1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合 理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或
遗漏．
2．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．
3．对于分配问题 ，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或
遗漏 ．