qq表情文件夹-波澜壮阔的反义词

排列组合中区域涂色问题

排列组合中的区域涂色问题 技巧性强，方法灵活多变，一直是选修2-3中的教学难点
问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规 律做一下探讨。
区域涂色问题，应当从使用多少种颜色入手，分类讨论。再每一类中（若有必要），< br>再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法
种数。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜
色，相邻部 分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？

①

③
④

②


分析：当使用4中颜色涂色时，方法种数为
A
5
；当使用3中颜色时，分两类：①④
同色或者②④同色，方法种数为
2A
5
。可以这样给学生解释：①④同色，相当于①④合并
成了一个区域，这样的话原本的 四个区域变成了3个区域，故涂色方法种数为
A
5
。根据
43
分类分 类加法原理，所有涂色方法总数为
A
5
2A
5
3
3
4

。
例2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现 给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意，可分为3种颜色或4中颜色两类。
①当先用三种颜色时，区域2与4必 须同色，区域3与5必须同色，（相当于5个区
域合并成了4个区域）故有
3
A
4
种；
②当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有
与5同色 ，则区域2与4不同色，有
原理可知满足题意的着色方法共有




3
A
4
A
4
4
种；若区域3
A
4
4
+2
种，故用四种颜色时共有2
A
4
4
种。最后 ，由加法
A
4
4
=24+2

24=72
3
2
1
4
1
5

例3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种
颜色，相邻两个区 域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
①涂四中颜色：四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
4
；
②涂三种颜色：有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，
涂法种数为
12
2C
5
A
4
；
③涂两种颜色：两组对角小方格分别涂 相同的颜色，涂法种数为
因此，所求的涂法种数为
12
A
5
2
2C
5
A
4
A
5
2
260
A5
2
，


2 1


4
3


例4、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域 ，且相邻两个区域不
能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有
A
4
；
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有
A
4
；
所以根据分类加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120
例5、将 一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异
色，如果 只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
分析：可把这个问题转化成相邻区域不同 色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，
有多少种不同的涂色方法？

D
A
2
S
C
B
4
4
4
4
4
4
⑤
⑥
②
①
④
③

。
3
①若恰用三种颜色，，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
A
5
60
种方法。
②若恰用四种颜色染色， A、C同色，有
A
5
种染法； D、B 同色也有
A
5
种染法，共
4
有
2A
5
2 40
种方法。
5
③若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法
44
例6、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色 ，
且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
①使用四颜色共有
A
4
4
种
3
②使用三种颜色涂 色，则必须将一组对边染成同色，故有
2A
4
种，
③使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有
因此，所求的染色方法数为
A
4
2
种
41122
A
4
C
4
C
2
A
3
A
4
8 4
种
例7、用六种颜色给正四面体
ABCD
的每条棱染色，要求每条棱只 染一种颜色且共
顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1 ）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不
同，故有
A
6
种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组< br>与组之间不同色，故有
C
3
A
6
种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有
C
3
A6
种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有
A
6
种不同的方法。
324156
综上，满足题意的总的染色方法数为
A
6
 C
3
A
6
C
3
A
6
A
64080
种。
6
15
24
3
例8、四棱锥
PABCD
，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不
同色，有多少种涂法？


3

P





D
<=>
C


A

B
1
5
4
2
3



解：这种面的涂色问题可转化为区域 涂色问题，如图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，
区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
①若用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有
A
4
种；
② 若用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有
C
2
A
4
；
314
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
4
C
2
A
4
72
3
14




说明：文中所用例题均来自互联网，经本人改编加工后形成本文。向原
作者致敬。



4