哑铃锻炼方法图解-我的四季

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专题十五 排列组合问题

【母题原题1】【2018浙江，16】从
1，3，5，7，9
中任取2
个数字，从
0，2，4，6
中任取
2
个数字，一
共可 以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1260
【解析】分析
:
按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计 数
.
详解：若不取零，则排列数为
因此一共有
若取零，则排列数为
个没有重复数字的四位数
.

【母题原题2】【2017浙江，16】从6男2女共 8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组
成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生， 共有________种不同的选法．(用数字作答)
【答案】600

【命题 意图】考查排列数、组合数公式，考查运算求解能力、分类讨论的思想及分析问题与解决问题的能
力．
【命题规律】纵观近几年的高考试题，排列组合问题往往以实际问题为背景，考查排列数、组合数、分类
分步计数原理．除了以选择、填空的形式考查，也往往在解答题中与古典概型概率计算相结合进行考查． 难
度基本稳定在中等.
【答题模板】求解排列组合问题，一般考虑：
第一步：分清分类和分步.
第二步：分清排列与组合，确定解题方向.根据问题有序和无序，确定是排列问题还是组合问题；
第三步：正确应用公式运算求解.

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【方法总结】
1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．
具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2. 解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4) “分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
3. 有条件的排列问题大致分四种类型．
(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考 虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意
是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列 总数中减去不符合条件的排列个数．
(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．
(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种
排法．
4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可 能遇到“至多”或
“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先 取再后取”产生顺
序造成计算错误．
5.不同元素分组：将个不同元素放入个不同的盒中 < br>6、相同元素分组：将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种.解决此类
问题常用的方法是“挡板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素
排成一列，共有
对应那个盒子.
7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行
分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对 不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻
的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进 行涂色即可.
个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好

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1．【2018届贵州省凯里市第一中学《黄金卷》第四套】集合
中各取一个数，能组成（ ）个没有重复数字的两位数？
A. 52 B. 58 C. 64 D. 70
【答案】B
，从集合
【解析】分析：分别从集合A，B取一个数字，再全排列，根据 分步计数原理即可得到答案．
详解：
故选：B
2．【2018届浙江省金丽衢十二 校第二次联考】用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三
位数的个数是（ ）
A. 20 B. 24 C. 36 D. 48
【答案】A

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆 邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制
的排列问题——“除序法” ；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
3．【2018届浙江 省台州市高三上期末】有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站
中间，与老师相 邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老师两边，共有< br>二步剩余的学生全排列，共有
种，故选D.
4．【2017届黑龙江省齐齐哈尔市一模 】由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字
且6、7均不得排在首位与个 位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（）
A. 300 B. 338 C. 600 D. 768
种排法；第
种排法，所以根据分步计数乘法原理可得，符合题意 的排法共有

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【答案】D
【解析】 当1在首位时，6只有一种排法，7有四种排法，余下四数共有中排法，共有
当1在个位时，同样共有9 6种；
当1即不再首位也不在个位时，先把1和6排好，有
排法，共有
综上：共有< br>故选：D
点睛：本题是一道带有限制条件的排列组合题目，这种问题的常用解题策略有：相邻问 题捆绳法，不邻问
题插空法，特殊元素（特殊位置）优先分析法，定序问题缩倍法，多排问题单排法，相 同元素隔板法等等.
5．【2018届浙江省台州中学高三模拟】由
【答案】
可组成不同的四位数的个数为__________．
=768
种
种排法，再排7有3种排法，余下四数共有中
种；
【解析】分析：此问题可以分为以 下三种情况：i）选取的4个数字是1,2,3,4；ii）从四组
中任取两组；iii）从四组中任取 一组，再从剩下的3组中的不
同的三个数字中任取2个不同的数字，利用排列与组合的计算公式及其乘法 原理即可得出.
详解：i）选取的四个数字是1,2,3,4，则可组成
ii)从四组
此时共有
iii)从四组
个不同的四位数；
个不同的四位数，所以中任取两组有种取法，其中每一种取法可组成
个不同的四位数；
中任取一组有种取法，再从剩下的三组中的不同的三个数中任取2个不
种方法，而剩下的两个相同数字 只有同的数字有种取法，把这两个不同的数字安排到四个数位上共有
一种方法，由乘法原理可得此时共有 个不同的四位数；
，综上可知，用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个 数是
故答案是204.
6．【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】有6张卡片分别写 有数字1,1,1，2,3,4，从中任取3张，
可排出不同的三位数的个数是__________． （用数字作答）
【答案】34.

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点睛：对于排数问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如偶数、奇数等，可考虑末位数字的特点，还有零不能排首位等；（2）先选后排，比如要求所排的数字来自某个范围，我们得先选< br>出符合要求的数字，在把它们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑．
7．【20 18届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品
两种 物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资
援助 ，则不同的援助方案有__________种．
【答案】25.
【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可．
详解：联合国际援助组织 计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，
也可以由其中两个或三 个国家均分，若每个国家都要有物资援助，需要分为：粮食和药品都有，方法1种；
一个国家粮食，两个 国家药品，有3种方法；一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法；两个国家粮食，
三个国家药品，有 3种方法；两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个
国家各一种，有3 ×（2+2）=12种方法；方法总数是：25．故答案为：25．
8．【2018年天津市十二重点 中学联考（一）】用0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数
不相邻，且0不与另外 两个偶数相邻，这样的五位数一共有_______个.（用数字作答）
【答案】
【解析】 ①若末位数字为时，则共有
②若末位数字为时，则当十位数字为时，只有
有和两个五位数，共有 个五位数.
,；当十位数字为时，有和两个五位数；
个五位数；
；当十位数字为时 ，只有；当十位数字为时，
③若末位数为时，则当十位数字为时，只有
当十位数字为时，只有< br>综上，这样的五位数共有
故答案为.
，共有个五位数.
个.

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9．【腾远2018年（浙江卷）红卷】北 京两会期间，有甲、乙、丙、丁、戊位国家部委领导人要去个
分会场发言（每个分会场至少人），其中甲 和乙要求不再同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同
的安排方案共有__________种（ 用数字作答）.
【答案】30
【解析】分析：由题意甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一 分会场，所以有“
配方案，利用分类计数原理和排列组合的知识，即可求解.
详解：因为甲和丙在同一分会场，甲和乙不在同一分会场，
所以有“
当“
当“
”和“”两种分配方案：
种方案；
种方案，
”和“”两种分
”时，甲和丙为一组，余下人选出人为一组，有
” 时，在丁和戊中选出人与甲丙组成一组，有
种. 所以不同的安排方案共有
点睛：本题主要考查 分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是
两个原理及排列组合 问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出
隐含条件．解题过程 中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理
讨论时，既不能重复 交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正
难则反”的思维方式 ．
10．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月测试】有7个球，其中红色球2个（同色不加区分 ），白色，黄
色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起 ，黄色和红色
不相邻，则有______种不同的排法（用数字回答）．
【答案】408 < br>【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后< br>求和即可.
详解：
1 2 3 4 5 6
红色球个（同色不加区分），个红色排一起，把红色球看做一个，
本题相当于个球的排列，将它们排成一行，
最左边不排白色，个红色排一起，黄色和红色不相邻，
左侧号位置，放红色球，有：
号位置放红色球，则放球方法有：
，
，

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号位置放红色球，则放球方法有：
号位置放红色球，则放球方法有：
排列方法有：，故答案为
，
.
， 11．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】分配名水暖工去个不同的民居家里检查暖气
管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那
么分配的方案共有__________种（用数字作答）.
【答案】36.
【解 析】分析：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3
个不 同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．
详解：根据题意，分2步分析：①将4名水暖工分成3组 ，有
对应3个不同的居民家，有种分配方法.
种分组方法；②将分好的三组全排列，
∴共有6×6=36种不同的分配方案故答案为36．
点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步 ”
的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2) “分辨”
就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应 用题中的元
素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤 ，而每一步都
是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
12.【浙江省金华十校2018年 4月高考模拟】3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也
互不相邻且男生甲和女生乙必 须相邻，则这样的不同站法有__________种（用数字作答）．
【答案】40

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点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原 则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过
程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑
其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分
组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．