三湘人才网-新年的祝福语

排列与组合完美学案
1学习目标；掌握排列、组合问题的解题策略
2重点：
（1），特殊元素优先安排的策略：
（2），合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。
3难点
综合运用解题策略解决问题。
4学习过程:
(1)知识梳理
1．分类 计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有
m
中有
1
种 有不同的方法，在第2类
m
2
种不同的方法……在第n类型有
m
n< br>种不同的方法，那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
 m
n
种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分 成n个步骤，做第1步有m
1
种不同的方法，做第2
步有m
2
种不同 的方法……，做第n步有m
n
种不同的方法；那么完成这件事共有
N
种不同的 方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立 性和并列性；分步计
数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这 两个原理进行正确地
分类、分步，做到不重复、不遗漏。
3．排列：从n个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出
．．．．．．
m个元 素的一个排列.
4．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元 素中取出m个元素的一个
排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号
A
n
表示.
m
m
1
m
2
m
n
5．排列数公式：
An(n1)(nm1)
m
n!
(mn,n,mN)

(nm)!
特别提醒：
（1）规定0! = 1
（2）含有可重元素的排列问题.
．．．．．．
对含有相同元素求排列个数的方法是 ：设重集S有k个不同元素a
1
，a
2
,…...a
n
其中 限重复数为n
1
、n
2
……n
k
，

且n = n
1
+n
2
+……n
k
, 则S的排列个数等于
n
n!
.
n
1
!n2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排列个数
n 
3!
3
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数
1!2!< br>n
3!
1
.
3!
6．组合：从n个不同的元素中任 取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
组合.
m
7．组合数公式：
C
m

A
n
n(n1)

(nm1)
n
m
A
m
m!
C
m
n

n!

m!(nm)!
mn mm1mm
8．两个公式：①_
C
n
C
n
;
②
C
n
C
n
C
n1

特别提醒：排列与组合的联系与区别.
联系：都是从
n
个不同元素中取出
m
个元素.
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.


(2)典型例题
考点一:排列问题
例1,六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.












考点二:组合问题
例2, 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外 出比赛.在下列情形中各有多少种
选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；

（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
















考点三:综合问题
例3, 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？















10.1.5当堂测试
1，从5名男 医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组
队方案共有 （ ）
A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种

2，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名 志愿者中选派四人分别从事翻译、

导游、礼仪、司机四项不同工作 ，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，
则不同的选派方案共有 （ ）
A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种

3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的 四位数的个数为
（ ）
A,48 B, 12 C，180 D，162
.

4，甲组有5名男同学，3名 女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，
则选出的4人中恰有1名 女同学的不同选法共有（ ）
A，150种 B，180种 C，300种 D，345种

5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A，6 B，12 C 30 D36


6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B，328 C，360 D，648


7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的
总数为 （ ）
A，85 B，56 C，49 D，28

8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同 的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到
同一个班，则不同分法的总数为 （ ）
A，18 B，24 C，30 D，30

9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有 且只有两位女生相邻，则
不同排法的种数是 （ ）
A，360 B，288 C，216 D，96


10.1.6 参考答案
例1,解 （1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间 4个位置上任选1个，有A
1
4
种站法，然后
其余5人在另外5个位置上作全 排列有A
5
根据分步乘法计数原理，共有站法：A
1
A
5
（ 种）.
4
·
5
种站法，
5
=480
2
方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A
5
种站法，然后中间4人< br>24
有A
4
4
种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法：A
5
·A
4
=480（种）.

方法三 若对甲没有限制条件共有A
6
甲在两端共有2A
5
从总数中减去这两种情况的 排
6
种站法，
5
种站法，
列数，即共有站
5
法：A
6
6
-2A
5
=480（种）.
（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A
5< br>5
种站法，再把甲、
2
5
乙进行全排列，有A
2
2< br>种站法，根据分步乘法计数原理，共有A
5
·A
2
=240（种）站法 .
方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A
4
4
种站法，再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入，
242
1
有A
1
5
种方法 ，最后让甲、乙全排列，有A
2
种方法，共有A
4
·A
5
· A
2
=240（种）.
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第 一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A
4
4
种
22
站法；第二步再 将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A
5
种站法，故共有站法为A
4< br>A
5
=480
4
·
（种）.
2
5
也可用“间接法”，6个人全排列有A
6
6
种站法，由（2）知甲、乙相邻有A
5
·A
2
=240种站法，所以不相
2
5
邻的站法有A< br>6
6
-A
5
·A
2
=720-240=480（种） .
2
（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A
4
4
种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A
2
种，
故共有A
4
（3 A
2
4
·
2
）=144（种）站法.
方法二 先从甲、 乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A
2
4
种，然后把甲、乙
2
及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A
3
3
种方 法，最后对甲、乙进行排列，有A
2
种方
2
3
法，故共有A
2
4
·A
3
·A
2
=144（种）站法.
（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A
2
2
种，再让其 他4人在中间位置作全排列，有
24
A
4
4
种，根据分步乘法计数原 理，共有A
2
·A
4
=48（种）站法.
方法二 首先考虑两端 两个特殊位置，甲、乙去站有A
2
2
种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的424
人去站，有A
4
4
种站法，由分步乘法计数原理共有A
2< br>·A
4
=48（种）站法.
（6）方法一 甲在左端的站法有A
5
乙在右端的站法有A
5
且甲在左端而乙在右端的站法有A
4
4
种，
5
种，
5
种，
4
5
共有A
6
6
-2A
5
+A
4
=504（种）站法.

方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A
5
5
种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端
14114
5
有A
1
4
·A
4
·A
4
种，故共有A
5
+A
4
·A
4
·A
4
=504（种）站法.
例2, 解 （1）第一步：选3名男运动员，有C
3
6
种选法.
第二步：选2名女运动员，有C
2
4
种选法.
2
共有C
3
6
·C
4
=120种选法. 3分
（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
42
3
324
1
C
1
4
C
6
+C
4
C
6
+C
4
C
6
+C
4
C
6
=246种. 6分
方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
5
从10人中任选5人有 C
10
种选法，其中全是男运动员的选法有C
5
6
种.
5
所以“至少有1名女运动员”的选法为C
10
-C
5

6
=246种. 6分
（3）方法一 可分类求解：
4
“只有男队长”的选法为C
8
；
4
“只有女队长”的选法为C
8
；
3
“男、女队长都入选”的选法为C
8
；
4
3
所以共有2C
8
+C
8
=196种选法. 9分
方法二 间接法：
5
从10人中任选5人有C
10
种选法.
5
55
其中不选队长的方法有C
8
种.所以“至少1名队长”的选法为C
10
-C< br>8
=196种. 9分
44
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9
种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C
8
种选法.其
444中不含女运动员的选法有C
5
种，所以不选女队长时的选法共有C
8
-C
5
种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有
444
C
9
+C
8
-C
5
=191种.
例3,解 （1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个 球，3
个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3 个盒子
2
1
2
中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分 步乘法计数原理，共有C
1
4
C
4
C
3
×A
2
=144

种.
（2）“恰有1个盒内有2 个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子
中恰有一个空盒，因此， “恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144
种放法.
（3）确定2个空盒有C
2
4
种方法.
1
2
4个 球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C
3
4
C
1
A
2
种方法；第二类
有序均匀分组有
故共有C
2
4
( C
3
4
2
C
2
4
C2
A
2
2
2
C
1
1
A
2·A
2
2
种方法.
2
C
2
4
C2
+
A
2
2
·A
2
2
）=84种.
当堂检测答案
1，从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男 、女医生都有，则不同的组
队方案共有 （ ）
A，70 种 B，80种 C，100 种 D，140 种
解析：分为2男1女 ，和1男2女两大类，共有
C
5
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
2 ，2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、
导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A, 48 种 B，12种 C，18种 D36种
解析：合理分类，通过分析分为（1）小张和小王恰有1人入选， 先从两人中选1人，然后把这个人在前两
项工作中安排一个，最后剩余的三人进行全排列有
C< br>2
排这两个人，然后再剩余的3人中选2人排列有
共有24+12=36种选法。
解题策略：：1，特殊元素优先安排的策略。
2，合理分类与准确分步的策略。
3，排列、组合混合问题先选后排的策略。
3，从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个 数为
（ ）
A,48 B, 12 C，180 D，162
解析：分为两大类：（1）含有0，分步1，从另外两 个偶数中选一个，
C
2
种方法，2，从3个奇数中选两
个，有
C3
种方法；3，给0安排一个位置，只能在个、十、百位上选，有
C
3
种 方法；4，其他的3个数字
进行全排列，有
2
113
C
3
2
C
3
A
3
A
3
3
种排法，根据乘法 原理共
C
2
种方法。（2）不含0，分步，偶数必然是2，
4
A4
4
种排法，不含0 的排法有
C
3
2
A
4< br>种。根据
2
2112
C
4
C
5
C4
=70种，
113
C
2
A
3
种选法。 （2）小张和小赵都入选，首先安
2
A
3
2
A
2
种方法。
1
1
4 ；奇数有
C
3
种不同的选法，然后把4 个元素全排列，共
加法原理把两部分加一块得
C
2
C
3

121324
C
3
A
3
+
C
3
A
4
=180.

解题策略：1，特殊元素优先安排的策略。
2，合理分类与准确分步的策略。
3，排列、组合混合问题先选后排的策略。
4，甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同 学，
则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A，150种 B，180种 C，300种 D，345种
解析：4人中恰有1名女同 学的情况分为两种，即这1名女同学或来自甲组，或来自乙组，则所有不同的
选法共有
C
5
C
3
C
6
11211
C
5
2
C
6
C
2
种选法。
解题策略：合理分类与准确分步的策略。
5，甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A，6 B，12 C 30 D36
解析：可以先让甲、乙任意选择两门，有
C
4
2
22C
4
种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去掉，两
2
个人全不 相同，可以让甲选两门有
C
4
种选法，然后乙从剩余的两门选，有
C
2
种不同的选法，全不相同
的选法是
C
4
2
22
C
2
2
种方法，所以至少有一门不相同的选法为
C
4
C< br>4
—
C
4
2
C
2
2
=30种不同的选法。
解题策略：正难则反，等价转化的策略。


6，用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）
A．324 B，328 C，360 D，648

解析：
9

CCC

8 1
第一类个位是零，共
A
9
种不同的排法。
2

8 8 4
第二类个位不是零，共
C
4
111
C
8
C
8
种不同的解法。
解题策略：合理分类与准确分步的策略.
7，从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的
总数为 （ ）
A，85 B，56 C，49 D，28
解析：合理分类，甲乙全被选中，有
C
2
共
C
2
2
2112
C
7
种 选 法 ，甲乙有一个被选中，有
C
2
C
7
种不同的选法，
112
C
7
+
C
2
C
7
=49种不同的选法 。
解题策略：
（1）特殊元素优先安排的策略，
（2）合理分类与准确分步的策略.
8，将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个 班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到

同一个班，则不同分法的总数为 （ ）
A，18 B，24 C，30 D，30
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有
C4
种不同的分法，然后三组进行全排列共
2
33
A
3
3
种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共
A
3
种不同的 排法。所以总的排法为
C
4
A
3
2
—
A
3
3
=30种不同的排法。
注意:
这里有一个分组的问题，即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。
这里分为有序分组和无序分组，有兴趣的同学可以继续研究 ，这里不再详述。
解题策略：
1正难则反、等价转化的策略
2相邻问题捆绑处理的策略
3排列、组合混合问题先选后排的策略；
9，3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男 生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则
不同排法的种数是 （ ）
A，360 B，288 C，216 D，96
解析：分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3 个女生中选
两位，有
C
3
种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有
A
2
种方法；这样选出两名女生后，再考虑男生的
问题，先把三个男生任意排列，有< br>
然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有
22< br>A
3
2
中不同的排法，
A
4
2
种不同的排 法，共有
A
2
2
C
3
2
A
3
3< br>A
4
2
种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。



甲可能站左端，也可能是右端，有
C
2
种不同的方法， 然后其他两个男生排列有
A
2
种排法，最后把女生在
剩余的三个位置中排列， 有
1
A
3
2
种不同的排法。共
A
2
2C
3
2
C
2
A
2
2
A
32
种不同的排法， 故总的排法为
1
2
1
A
2
2
C
3
2
A
3
3
A
4
2
----
A
2
2
C
3
2
C
2
A< br>2
2
A
3
2
=288种不同的方法。
本题难度大，体现的排列组合的解题策略多：
（1）特殊元素优先安排的策略：
（2）合理分类与准确分步的策略；
（3）排列、组合混合问题先选后排的策略；
（4）正难则反、等价转化的策略；
（5）相邻问题捆绑处理的策略；
（6）不相邻问题插空处理的策略。