高中数学选修2-3基础知识归纳(排列组合、概率问题)复习过程
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高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题）
一．基本原理
1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n个不同元
素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个
排列，所有排列的个数记为。
四．处理排列组合应用题
1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
2．解排列、组合题的基本策略
（1）两种思路：
①直接法：
②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况
去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。
注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为
全集。
（3）分步处
理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，
再由分步计数原理解决。在处理排列
组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原
则是先分类，后分步。
（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。
3．排列应用题：
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（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；
(2)
特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；
例1.
电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广
告，要求首尾必须播放公
益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有
从而应当填＝48. 从而应填48．
种；中间4个为不同的商业广告有种，
例2.
6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？
解一：间接法：即
解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
（3）相邻问题：捆邦法：
对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起
来，看作一“大”元
素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
（4）全不相邻
问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可
采用插空法.即先安排好没有限制条件
的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元
素之间及两端的空隙之间插入。
（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插
解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列
问题，可先把这几个元素与其他元素一
同进行全排列，然后用总
的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。
解法二：在总位置中选出
定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩
余的几个位置放定序的元
素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，
则有2种排法；
例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女
生从矮到高排列，有
多少
种排法？
分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有
生，因要求“从矮到高”，
只有1种排法，故共有·1=840种.
种排法.剩余的3个位置排女
（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一
个元素与其余元素排
列，最后再进行“小团体”内部的排列。
（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
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（8）数字问题（组成无重复数字的整数）
①能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇
数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。
⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题：
（1）“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任
取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，
则不同的取法共有
解析1：逆向思考，至少各
一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的
电视机，故不同的取法共有种.
解析2：至少要甲型和乙
型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲
型2台乙型1台；故不同的取法有种.
（2）“含”与“不含” 用间接排除法或分类法:
2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法；
（2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法；
（3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1人在内，有 种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法
5．分组问题：
均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。
非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。
混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。
6．分配问题：
定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
随机分配：（
不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合
分堆后排，注意平均分堆除以均匀
分组组数的阶乘。
7．隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题
五． 二项式定理
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3.二项式定理的应用
求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整
数；
证明整除或求余数；
利用赋值法证明某些组合恒等式；
近似计算。
4.二项式系数的性质：
5．区分
（1）某一项的二项式系数与系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，
系数就是二项
式系数。
展开式中的系数就是二项式系数。
（2）二项式系数最大项与系数最大项
①二项式系数最大项是中间项
②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组
再求第k+1项值。
③系数的绝对值最大的项
求k。
二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1
项系数的
绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由
求r
注意：二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先
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求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若
这一项的系数符
号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式
中系数最小的项
（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和
应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。
注意：（1）二项展开式的各项系数绝对值的和相当于
的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。
（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系
数？
六．事件分类
七．对某一事件概率的求法：
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八.离散型随机变量
1.在的射击、产品检验等例子中
，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次
序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
2.离散型随机变量的分布列
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为
X取每一个值(i=1,2,）的概率
则称表
，
为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
性质：
③
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围
内各个值的概率之和。
公式：期望或平均数、均值 E(X)＝
方差:
说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
(2)的算术平方根为随机变量X的标准差，
(3)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分
散的程度。
(4)性质：
4．二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事件A发生的概率是p,
某
事件A发生的次数为X，
则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为
p(X=k)=
X的分布列为
此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).
若X～B(n,p)，则 ,
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