情感测试题-暑期社会实践个人总结

排列组合中的分组分配问题
一、内容回顾
1.不同元素的分组与分配问题
n
个不同元素按照某些条件分配给
k
个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问
题；将
n
个不同元素 按照某些条件分成
k
组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分
平 均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而
后 者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
2.相同元素的分组与分配问题
相同元素的分组与分配问题是排列组合中的一个重点和易错点 。要仔细审题，注意元素相同这一特点，
通常要使用隔板法来解决。另外，某些排列组合问题看似非分配 问题，实际上也可运用分配问题的思想方
法来解决。
二、典型例题
题型一 基本的分组问题
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
222
解析：(1)分组与顺序无关，是组合问 题。分组数是
C
6
C
4
C
2
90
(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考 察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与
(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀 分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种
分法。以上的分组方法实际上加入了 组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数
A
3
，
222< br>C
6
C
4
C
2
所以分法是
15
种 .
3
A
3
3
(2)先分组，方法是
C
6
C
5
C
3
，那么还要不要除以
A
3
？我们发现，由 于每组的书的本数是不一样的，因此
123
不会出现相同的分法，即共有
C
6
C
5
C
3
60
种分法.
411
(3) 分组方法是
C
6
C
2
C
1
30
种，那么 其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一
1233
本，因此这两组有了 顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是
411
C6
C
2
C
1
15
种.
2
A
2
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法.
结论1： 一般地，
n
个不同的元素分成
p
组，各组内元素数目分 别为
m
1
,m
2
,

,m
p
其中
k
组内元素数
1

m
3
m1
m
2
p
C
n
C
nm
1
C
nm
1
m
2
L
C
m
p
m目相等，那么分组方法数是
A
k
k
.
题型二 基本的分配的问题
(一)定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）甲两本、乙两本、丙两本.
（2）甲一本、乙两本、丙三本.
（3）甲四本、乙一本、丙一本.
解析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题 中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出:
222123411
（1）
C
6
C
4
C
2
90
(种) （2）
C
6
C
5
C
3
60
(种) （3）
C
6
C
2
C
1
30
(种)
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每人两本.
（2） 一人一本、一人两本、一人三本.
（3） 一人四本、一人一本、一人一本.
解析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的 问题。由于分配给三人，同一本书给
不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组 ，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，
因此只要将分组方法数再乘以
A
3
，即
222411
C
6
C
4
C
2
3
C
6
C
2
C
1
3
1233
CCCA360
（1）种， （2）种， （3）
A90A
3
90
种. 6533
3
32
A
3
A
2
3
结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，
那么实 际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组再分配。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
解析：六本书和甲、乙、丙三人 都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。
先分组，六本书怎么分为三组呢 ？有三类分法：第一类每组两本，第二类分别为一本、二本、三本，第三
222411
C
6
C
4
C
2
C
6
C
2
C
1
123
类两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是
CCC9 0
种。再考
653
32
A
3
A
2
虑排列， 即再乘以
A
3
。所以一共有540种不同的分法.
题型三 分配问题的变形问题
例5 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：恰有 一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分
112< br>C
4
C
3
C
2
为三组，两组各1个，另一组2个，分 组方法有
6
种，然后将这三组(即三个不同元素)分配给
2
A
2< br>3
1

112
C
4
C
3
C
2
3
四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有
A4
144
种.
2
A
2
例6有甲、乙、丙三项任务， 甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，
不同的选法有多少种？ < br>112
C
10
C
9
C
8
解析：先考虑分组， 即10人中选4人分为三组，其中两组各一人，另一组二人，共有
1260
种
2A
2
分法。再考虑排列，甲任务需2人承担，因此2人的那个组只能承担甲任务，而一个人 的两组既可承担乙
112
C
10
C
9
C
8
2
任务又可承担丙任务，所以共有
A
2
2520
种不同的选法.
2
A
2
例7设集合
A

1,2,3,4

,B

6,7,8

，
A
为定义域，
B
为值域，则从集合
A
到集合
B
的不同的函数有
多少个？
解析：由于集合A为定义域，B为值域，即集合A、B中的每个元素都有“归宿”，而集合B的每个元素 接
受集合A中对应的元素的数目不限，所以此问题实际上还是分组后分配的问题.先考虑分组，集合A中 4
112
C
4
C
3
C
2
个元素分为三组， 各组的元素数目分别为1、1、2，则共有
6
种分组方法。再考虑分配，即排
2A
2
112
C
4
C
3
C
2
3
列，再乘以
A
，所以共有
A
3
36
个不同的函 数.
2
A
2
3
3
例8 有四位司机、四个售票员分配到四 辆不同的汽车上，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分配
方案共有 种.
解析：首先我们需要对司机和售票员进行分组，我们可以让售票员先站好，司机与售票员的分组方案就是
司机的全排列
A
4
种，再将各组分配到四辆不同的汽车上有
A
4种，共有
A
4
A
4
=576
种不同的分配方案.
题型四 相同元素的分组分配问题
例8 六本相同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
（1）每人两本.
（2）一人一本、一人两本、一人三本.
（3）一人四本、一人一本、一人一本.
解析：（1）此组题属于分配中的相同元素的分配问题，要区分于不同元素的分配问题，由于相同的元素分
配给三人，只是单纯的数量分配问题，最简单的解释方法就是“6的分解”问题；每人两本，书都一样，
每人的数量有一样，就只有一种分法；
3
（2）一人一本、一人两本、一人三本，书相同数 量不同，不同的分配方案有
A
3
6
种；
1
（3）一人四 本、另两人都是一本只需要区分谁得了四本的问题，不同的分配方案有
C
3
3
种.
4444

1

三、方法归纳
要想快速准确的解决分组分配问题，我们可以将此类问题分两步来进行，先分组、再分配；需要注意
是 在分组过程中如果出现均分，每一组的事物数量一样，这就造成了：前面组中一定数量的事物在后面的
组 中仍然能数量不变的出现，即组中的成员不变但是出现在了不同组中，这也就是所谓的顺序变了，而这
种 顺序变了产生的方法数量就是组数的阶乘。因此平均分组时要除以组数的阶乘。例如4本不同的书平均
分 成两组，共有几种分法？
C
4
C
2
即为：
ab,cd;ac ,bd;ad,bc;cd,ab;bd,ac;bc,ad
，发现
ab,cd
和cd,ab
表示的是同一种分组分法，因为平均分成了两种，一共重复了
2!
种， 故需要除以平均组数的阶乘，即
2!

如果是非均分的分组，前面各组的成员并不能一 模一样地出现在后面的组中，并没有带来顺序问题，
也就无需除以组数的阶乘。因此审题是关键，方法很 重要。

四、高考链接
1.（2017课标II，理6）安排3名志愿者完成4项 工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则
不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
答案：D
解析：3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则说明 有一人需要完成两项
211
C
4
C
2
C
1
工作，先将4项工作分成3组，其中一组2人另两组都是一人，不同的分组方案有种，再分配给
2
A
2
211
C
4
C
2
C
1
32 3
ACA
3
=36
种.
34
2
A
2< br>22
3名志愿者有
A
3
3
种分配方案，所以说不同的分配方案 有
2.（2012全国，理8）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实 践活动，
每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
答案:A
2
C
4
解析：与司机售票员的匹配方案相同，先将老师固定，将4名学生先平均分成两 组有
2
种方案，与老师
A
2
22
C
4
C< br>4
222
组合
2
A
2
种分组方法，再分配到甲、乙两 地有
2
A
2
A
2
=12
种不同的安排方案.
A
2
A
2
五、巩固提高
1.有甲乙丙三项任务，甲需2人 承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的
选法种数是( )
A．1260种 B. 2025种 C. 2520种 D. 5040种
答案：C
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人 承担乙项任务，第三步从另外的7
211
人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C
8
C
7
2520
种.
2.(2 018豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平
均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，也不同的分配方
1

案有（ ）
A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种
答案：B
解析：2名内科医生，每个村一名，有2种方法 ；3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医
生和护士都有，则分1名外科、2名护士和2名 外科医生、1名护士，则不同的分配方案有
1112
A
2
(C
32
C
3
C
3
C
3
)36
种.
3.(福州八中2017高三质检8) 在第二届乌镇互联网大会中, 为了提高安保的级别同时又为了方便接待,
现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿, 这五个参会国要在
a
、
b
、
c
三家酒店选择一家, 且每家酒
店至少有一个参会国入住, 则这样的安排方法共有（ ）
A．96种 B．124种 C．130种 D．150种
答案：D
解析：第一步，先分组把五个参会国的人员分成三组，
113
C
5
C
4
C
3
3
C
一种是按照1、1、3分组有（或者是）种分 组方案；
5
2
A
2
122113122
C
5C
4
C
2
C
5
C
4
C
3C
5
C
4
C
2
另一种是按照1、2、2分组有种分组方 案.共有种分组方案
+
222
A
2
A
2
A
2
113122

C
5
C
4
C
3
C
5
C
4
C
2

3
第二步，再分配
+

A
3
150
种安排方法.
22
A
2

A
2

4.有5件不同的奖品发给4位先进工作者，每人至少1 件，不同的发法种数是（ ）
A. 240 B. 120 C. 60 D. 10
答案：A
11 1
C
5
2
C
3
C
2
C
1
解析：第一步：5件不同的奖品分成4个小组，分组方法数共有种； 第二步：再把4 个小
3
A
3
组的奖品分给4 个不同的先进工作者，分配方法数有
A
4
种；所以，要完成5件不同的奖品发给4位先进
111
C
5
2
C
3
C
2
C
1
4
工作者，需分两步骤 完成，利用乖法原理，发放奖品的方法数共有
•A
4
240
种.
3
A
3
4
5.(江西省新余市2017届高三全真模拟)某高校大 一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、
“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且 只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个
人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）
A. 3600 B. 1080 C. 1440 D. 2520
答案:C
解析:由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可 以将问题看成是将6
名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：
1

第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个 社团，不同的参加方法数为
2211
C
6
C
4
C
2
C
1
4
A
4
1080
种， 第二类：将6人平 均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任
22
A
2
A
2
222
C
6
C
4
C
2
3
意三个 社团，不同的参加方法数为
A
4
360
，所以由以上可知，不同的参加方 法数共有1440
3
A
3
种.

6.有甲乙丙三项任务， 甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的
选法种数是( )
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
答案:C
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务 ，第三步从另外的7
211
人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C
8
C
7
2520
种.
7.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种
答案：B 2323
解析：把四名学生分成3组有
C
4
种方法，再把三组学生分配到 三所学校有
A
3
种，故共有
C
4
A
3
3 6
种方
法.
8.(福建省莆田2017届高三二模)某学校需从3名男生和2名女生 中选出4人，分派到甲、乙、丙三地参
加义工活动，其中甲地需要选派2人且至少有1名女生，乙地和丙 地各需要选派1人，则不同的选派方法
的种数是（ ）
A. 18 B. 24 C. 36 D. 42
答案: D
解析：分两类：一是甲地只有一名女生，先考虑 甲地有
C
2
C
3
种情形，后考虑乙、丙两地有
A
3
种情形，
1122
2
共 有
C
2
C
3
A
3
36
种情形；二是甲地 只含有两名女生，甲地有
C
2
种情形，乙、丙两地
A
3
种情形，共
22
有
C
2
A
3
6
种情形，由分类计数原理可得共有42种情形.
112
9.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有 种不同分配方案.
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆 ，每堆至少一个，
可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共 有不同的分配方案
6
为
C
9
84
种.
10.四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法有 种.

1

211
C
4
C
2
C
1
解析：第一步： 4个小球分成3组的分组方法数共有种；第二步：再把3组分好的小球投入到
2
A
2< br>4个盒子中的任意3个小盒中，分配方法数共有
A
4
种；所以，要完成四个不同 的小球放入编号为1、2、3、
211
C
4
C
2
C
1
3
4的四个盒子中，需要两步骤完成，利用乖法原理，共有方法数
•A
4< br>144
种.
2
A
2
3
11.在中美组织的暑假中 学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙僧、唐僧、白龙马彩色陶
俑各一个送给来中国的美 国中学生汤姆、杰克、索菲亚，每个学生至少一个，且猪八戒不能送给索菲亚，
则不同的送法有 种.
解析:根据索菲亚所得彩色陶俑个数分为三类：第1类，索菲亚得3个，先在除猪八戒外4个中选 3个送
给索菲亚有
C
4
种不同方法，再将剩余两个分别送给杰克与汤姆有A
2
种不同方法，根据分步计数原理共有
22
C
3
AC
种不同方法；第2类，索菲亚得2个，先在除猪八戒外4个中选2个送给索菲亚有
424
种不同方法，
22
32
再将剩余的三个彩色陶俑分成两组有
C
3< br>种不同的分组方法，再将这两组分别送给杰克与汤姆有
A
2
种不同
22 2
方法，根据分步计数原理共有
C
4
C
3
A
2种不同方法；第3类，索菲亚得1个，先在除猪八戒外4个中选
2
C
2
4
C
2
1个送给索菲亚有
C
种不同方法，再将剩余的4个彩色陶俑分成 两组有
C
种不同的分组方法，
A
2
2
1
4
3
4
2
C
2
2
4
C
2
A
)
再将这两组分别送给杰克与汤姆有
A
种不同方法，共有
C
(C
2
种不同方法；根据分类计数
2
A
2
2
2
1
4
3
4
2
C
2
4
C
2
)
A
2
原理可得不同的送法种数为
CA
+
CCA
+
C
(C
2
100
．
2
A
2
3
4
2
2
2
4
2
3
2
2
1
4
3
4
12.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市 参加中国西部经济开发建设，其中甲同学
不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不 参加，则有派遣方案
A
8
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排 其余
学生有
A
8
方法，所以共有
3A
8
；③若乙参 加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲
乙，有7种方 法，然后再安排其余8人到另外两个城市有
A
8
种，共有
7A
8方法.所以共有不同的派遣方法
4332
总数为
A
8
3A8
3A
8
7A
8
4088
种.
22
333
4

1