排列组合用A还是C的技巧(3)
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排列组合用A还是C的技巧.
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，
或者
属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本
原理和公
式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种
常用的解题方
法和策略。
一、
合理分类与准确分步法
(
利用计数原理
)
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生
的
连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不 漏。
例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有
()
A
.120 种 B . 96种 C. 78种 D . 72 种
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩下四人
可
自由排，有P(4,4)=24种排法；2)若甲在第二，三，四位上，则有
C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54种排法，由分类计数原理，排法共有
78种，选C。
解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方
法解
答。
例2、4个不同小球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中，恰有一空盒
的方
法有多少种
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选：从四个球中选2个有
C(4,2)种，从4个盒中选3个盒有C(4,3)种；2)排：把选出的2个球看作一个
元素
与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有P(3,3)种，故所求放法 有
C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144 种。
二、
特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素
和
位置，再考虑其它元素和位置。
例3、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其 中
偶数共有()。
A . 24 个 B。30 个 C
o
40 个 D。60 个
［分析］由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为 0不能排首
位，故0
就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按 0排在末尾和0不排在
末尾分两类：1) 0排末尾时，有P(4,2)=12个，2) 0不排在末尾时，则有
C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18个，由分数计数原理，共有偶数 30个，选B。
例4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其
中的
三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，
那么满足
条件的关灯方法共有多少种
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分
类
讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题
设条件
的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在 5只亮灯的4个空中插入3
只暗灯”的问题。故关灯方法种数为 C(4,3)=4。
三、 插空法、捆绑法
对于某几个元素不相邻的排列问题， 可先将其他元素排好，再将不相邻
元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例5、7人站成一排照相，
若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同
的排法
分析：先将其余四人排好有P(4,4)种排法，再在这人之间及两端的 5
个
“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有 P(5,3)种方法，这样共有
P(4,4)*P(5,3)=1440 种不同排法。
对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一
个
元，与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。
例6、
7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法
分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余 4人共5个元作全
排
列，有P(5,5)种排法，而甲乙、丙、之间又有 P(3,3)种排法，故共有
P(5,5)*P(3,3)=720 种排法。
四、 排除法
对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去， 此时需
注意不能多减，也不能少减。
例如在例3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有
C(4,1)P(4,2)=48个，排好后发现0不能排首位，而且数字3, 5也不能排末位，
这
两种排法要除去，故有
C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30个偶数。
五、
顺序固定问题用“除法”
(
对等法
)
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素
一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。
例7、
6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方
法有多少种
分析：
不考虑附加条件，排队方法有 P(6,6)种，而其中甲、乙、丙的 种排
法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 P(6,6)P(3,3)=120种。
六、
构造模型“挡板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解
决
问题。
例& 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解
分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成
的
11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各
堆球
的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共 有
C(11,3)=165
。
例9、把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅
览
室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数
解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进
行
分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空
档”
内插入2块隔板共有C(6,2)=15种插法。
又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种不同的分配 方
法
经过转化后都可用此法解。
七、 分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列问题， 若没有其它的特殊要求，可采
取统一排成一排的方法来处理。
例9、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多 少
种
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作
一排
来处理，不同的坐法共有 P(7,7)=5040种。
八、
构造方程或不等式
例10：某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得 3分；平一场得1分;
负一场得0分。一球队打完15场积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情 况共
有()
种 种 种 种
解析：设该队胜x场，平y场，则负(15-x-y)场，由题意得3x+y=33
y=33-3x
( 0< x< 11 且 x+y < 15 )
因此，有以下三种情况：
x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6
故选 A
例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5元面值的人民币，
有
多少种不同的换法
解：设对换成1元的人民币x张，2元的人民币y张，5元的人民币z
张，
则 x+2y+5z=20
当z = 0时，x+2y=20 ,
x可以取0、2、4…20,有11种方法。
当z = 1时，x+2y=15 ,
x可以取1、3、5- 15,有8种方法。
当z = 2时，x+2y=10 ,
x可以取0、2、4- 10,有6种方法。
当z = 3时，x+2y=5 ,
x可以取1、3、5有3种方法。
当 z = 4 时，x+2y=0 , x=0，y=0, 1
种方法。
故共有11+8+6+3+仁29种方法。
九、 枚举法：
有些计数问题由于条件过多，从排列或组合的角度思考不太方便，可
以
尝试用枚举法，枚举时也要按照一定的思路进行，才能做到不重不漏。
例11:某寝室4名同学各写了一张新年贺卡，先集中起来，然后每人
从
中取走一张别人写的贺卡，问有多少种不同的取法
解: 设4位同学分别为A、B、C、
D，各人取别人贺卡的不同取法可罗列成下
表:
同学A 同学B 同学C 同学D
B A D C
1
2
3
4
5
6
7
B
B
C
C
C
D
C
D
A
D
D
A
D
A
D
A
B
B
A
B
A
C
B
B
A
C
B
A
8 D C
9 D C
故共有9种不同的取法。