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排列组合涂色题中问

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解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略
与涂色问题有 关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色
问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的 利于培养学生的创新思维能力、
分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问 题的
常见类型及求解方法。
一、 区域涂色问题
1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本
方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分
只涂一种颜色，相邻 部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少
种？





①
②
③
④
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给 ②号涂色有4种方法，接着给③
号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根 据分
步计数原理，不同的涂色方法有
5434240

2、根据共用 了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再
用加法原理求出不同的涂色方法种数。
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2

精品资料 例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻
两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
4
4
；
（4）③与⑤同色、②
色，则有
A
4
4
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
4
=120
例 3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地
图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的
着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
3
2) 区域3与5必须同色，故有
A
4
种；
⑤
⑥
②
①
④
③
与④同色，则有
A
4
4
；（5）②与④同色、③与⑥同
3
2
1
4
5
3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，
4) 则区域3与5不同色，有
A
4
4
种；若区域3与5同色，则区 域2与
4不同色，有
A
4
4
种，故用四种颜色时共有2
A< br>4
4
种。由加法原理可
3
知满足题意的着色方法共有
A
4
+2
A
4
4
=24+2

24=72
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3

精品资料 3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色
与不同色入手，分别计算出 两种情形的种数，再用加法原理求出不同
涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色 涂在如图所示的四个区域内，每
个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
4
；
（2） 有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
12
2C
5
A
4
；
2
3
1
4
5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
5
2
，
12
A
4
A
5
2
260

因 此，所求的涂法种数为
A
5
2
2C
5
4、根据相间区使用 颜色的种类分类
例5如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着
色， 要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜
C
B
D
色，现有4种不同的颜色可
A
1
解（1）当相间区域A、C、E着同一种
A
E
F
颜色时，
有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，
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4

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此时，B、D、F各有3种着色方法故有
4333108

种方法。
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有
C
3
2
A
4
2
种着色方
法，此时B、D、F有
322
种着色方法 ，故共有
C
3
2
A
4
2
322432种着色方法。
3
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有
A< br>4
种着色方法，
3
222192
种方
此时B、D、F 各有2种着色方法。此时共有
A
4
法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图， 把一个圆分成
n(n2)
个扇形，每个扇形用红、白、
蓝、黑四色之一染色，要求相 邻扇形不同色，有多少种染色方法？
A
1
A
2

解：设分成n个扇形时染色方法为
a
n
种
（1） 当n=2时A
1
、
A
2
有
A
4
2
=12 种，即
a
2
=12
A
3
A
n
A
4
A
3

（2） 当分成n个扇形，如图，
A
1
与
A
2
不同 色，
A
2
与
A
3
不同
色，，
A
n1

与
A
n
不同色，共有
43
n1
种染色方法， 但由于
A
n
与
A
1
邻，所以应排
除
An
与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A1
同色时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形，与前
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n2
个扇形加在一起为
n1
个扇形，此时有
a
n1
种染色法，故有如下递推关
系：
a
n
43
n1
a
n1

a< br>n
a
n1
43
n1
(a
n2< br>43
n2
)43
n1


a< br>n2
43
n2
43
n1
a
n3
43
n3
43
n2
43
n1
 4[3
n1
3
n2

nn
(1)
n
3]
(1)33
二、

点的涂色问题
方法有 ：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是
否同色分类讨论，（3）将空间问题 平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥
SABCD
的每个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱
的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数
是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1） 若恰用三种颜色，可先 从五种颜色中任选一种染顶点S，再
从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时
12
A
4
60
种方法。
只能A与C、B与D分别同色，故有
C
5
（2） 若恰用四种颜色染色，可以 先从五种颜色中任选一种颜色染
顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于
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A、B颜色 可以交换，故有
A
4
2
种染法；再从余下的两种颜色
中任选一种染D 或C，而D与C，而D与C中另一个只需
1211
A
4
C
2
C
2
240
种方法。
染与其相对顶点同色即可，故有
C
5
（3） 若恰用五种颜色染色，有
A
5
5
120
种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二： 设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
54360
种染色方 法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方
法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同
色，有3种选择；C与A不同 色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可
供选择，从而对C、D染色有
1322 7
种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
607420

解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
D
A
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
S
C
B
解答略。
三、 线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：
1) 根据共用了多少颜色分类讨论
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2) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只
涂一种颜色 ，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使
用，共有多少种不同的涂色方法？
解法一：（1）使用四颜色共有
A
4
4
种
（2） 使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故
112
C
2
A
3
种，
有
C
4
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有
A
4
2
种
4 1122
C
4
C
2
A
3
A
4
84
种
因此，所求的染色方法数为
A
4
解法二：涂色按 AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有
4312
种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取
方法数，故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则
DA有3种颜色可供选择C D与AB不同色时，CD有两种可供选择的
颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色 有
13227
种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为
12784
种
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例8、用六种颜色给正四面体
ABCD
的每条棱染色，要求每条棱只
染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间
的颜色不同，
故有
A
6
3
种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组 对棱中有二组对棱的组内对棱涂
34
A
6
种方法。
同色，但组与组之间不同色，故有
C
6
（3）若恰用五种颜 色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故
15
A
6
种方法。
有
C
3
（4）若恰用六种颜色涂色，则有
A
6
6
种不同的方法。
3156
C
3
2
A
6
4
C
3
A
6
A
6
4080
种。 综上，满足题意的总的染色方法数为
A
6
四、 面涂色问题
例9、从给定的 六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面
涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色， 则不同的涂色方案共有多
少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍 应考虑利用
加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
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种选择，在上、下底已涂好 后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为
左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理< br>n
1

5

3!

30

5

6
种方法，必有两面同色（必
（2）共用五种颜色，选定五种颜色有C
6
为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色
为左 侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通
过翻转交换）
5
n
2
C
6
5390

(3)共用四种颜色,仿上分析可得
2
n
3
C
6
4
C
4
90

3
20
(4)共用三种颜色 ,
n
4
C
6
例10、四棱锥
PABCD
，用4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要
P
求相邻不同色，有多少种涂法？



D



C


A
B


1
5
4
2
3
解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问 题，如右图，区域1、2、3、4
相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
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3
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有
A
4
种；
（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，
14
A
4
；
此时有
C
2
314
C
2
A
4
 72

故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
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